高中數(shù)學(xué)50個(gè)解題小技巧

1、高中數(shù)學(xué) 50 個(gè)解題小技巧1 . 適用條件直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)，必有 ecosa=(x-1)/(x+1)，其中 a 為直線(xiàn)與焦點(diǎn)所在軸夾角，是銳角。x 為分離比， 必須大于 1。注：上述公式適合一切圓錐曲線(xiàn)。如果焦點(diǎn)內(nèi)分(指的是焦點(diǎn)在所截線(xiàn)段上)，用該公式;如果外分 (焦點(diǎn)在所截線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上)，右邊為(x+1)/(x-1)，其他不變。2 . 函數(shù)的周期性問(wèn)題 (記憶三個(gè) )(1)若 f(x)=-f(x+k)，則 t=2k;(2)若 f(x)=m/(x+k)(m 不為 0)，則 t=2k;(3)若 f(x)=f(x+k)+f(x-k)，則 t=6k。注意點(diǎn)：a.周期函數(shù)，周期必?zé)o限 b.周期函數(shù)未必存在

2、最小周期，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周 期函數(shù)未必是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin 派 x 相加不是周期函數(shù)。3 . 關(guān)于對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 (無(wú)數(shù)人搞不懂的問(wèn)題 )總結(jié)如下(1)若在 r 上(下同)滿(mǎn)足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對(duì)稱(chēng)軸為 x=(a+b)/2(2)函數(shù) y=f(a+x)與 y=f(b-x)的圖 像關(guān)于 x=(b-a)/2 對(duì)稱(chēng);(3)若 f(a+x)+f(a-x)=2b，則 f(x)圖像關(guān)于(a，b)中心對(duì)稱(chēng)4 . 函數(shù)奇偶性(1)對(duì)于屬于 r 上的奇函數(shù)有 f(0)=0;(2)對(duì)于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒(méi)有偶次方項(xiàng)，偶函數(shù)沒(méi)有奇次方項(xiàng) (3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空

3、5 . 數(shù)列爆強(qiáng)定律(1)等差數(shù)列中：s 奇=na 中，例如 s13=13a7(13 和 7 為下角標(biāo));(2)等差數(shù)列中：s(n)、s(2n)-s(n)、 s(3n)-s(2n)成等差(3)等比數(shù)列中，上述 2 中各項(xiàng)在公比不為負(fù)一時(shí)成等比，在 q=-1 時(shí)，未必成立 (4)等比數(shù)列爆強(qiáng)公式：s(n+m)=s(m)+qms(n)可以迅速求 q6 . 數(shù)列的終極利器，特征根方程首先介紹公式：對(duì)于 an+1=pan+q(n+1 為下角標(biāo)，n 為下角標(biāo))，a1 已知，那么特征根 x=q/(1-p)， 則數(shù)列通項(xiàng)公式為 an=(a1-x)p(n-1)+x，這是一階特征根方程的運(yùn)用。二階有點(diǎn)麻煩，且不

4、常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。當(dāng)然這種類(lèi)型的數(shù)列可以構(gòu) 造(兩邊同時(shí)加數(shù))7 . 函數(shù)詳解補(bǔ)充1、復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外 2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減 3、重點(diǎn)知識(shí)關(guān)于三次 函數(shù)：恐怕沒(méi)有多少人知道三次函數(shù)曲線(xiàn)其實(shí)是中心對(duì)稱(chēng)圖形。它有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為 0，根 x 即為中心橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)可以用 x 帶入原函 數(shù)界定。另外，必有唯一一條過(guò)該中心的直線(xiàn)與兩旁相切。8 . 常用數(shù)列 bn=n(2n)求和 sn=(n-1)(2(n+1)+2前面減去一個(gè) 1，后面加一個(gè)，再整體加一個(gè) 29 . 適用于標(biāo)準(zhǔn)方程 (焦點(diǎn)在 x 軸)爆強(qiáng)公式k 橢=-(b)xo/(a)

5、yok 雙=(b)xo/(a)yok 拋=p/yo注：(xo，yo)均為直線(xiàn)過(guò)圓錐曲線(xiàn)所截段的中點(diǎn)。10 . 強(qiáng)烈推薦一個(gè)兩直線(xiàn)垂直或平行的必殺技已知直線(xiàn) l1：a1x+b1y+c1=0 直線(xiàn) l2：a2x+b2y+c2=0 若它們垂直：(充要條件)a1a2+b1b2=0;若它 們平行：(充要條件)a1b2=a2b1 且 a1c2a2c1這個(gè)條件為了防止兩直線(xiàn)重合)注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺!11 . 經(jīng)典中的經(jīng)典相信鄰項(xiàng)相消大家都知道。下面看隔項(xiàng)相消：對(duì)于sn=1/(13)+1/(24)+1/(35)+1/n(n+2)=1/21+1/2 -1/(n+1)-1/(n+2)

6、注：隔項(xiàng)相加保留四項(xiàng)，即首兩項(xiàng)，尾兩項(xiàng)。自己把式子寫(xiě)在草稿紙上，那樣看起來(lái)會(huì)很清爽以 及整潔!12 . 爆強(qiáng)面積公式s=1/2mq-np其中向量 ab=(m，n)，向量 bc=(p，q)注：這個(gè)公式可以解決已知三角形三點(diǎn)坐標(biāo)求面積的問(wèn)題13 . 你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯(cuò)(1)空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面(2)垂直同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行(3)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平 行四邊形(4)如果一條直線(xiàn)與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)垂直平面(5)有兩個(gè)面互相平行，其余 各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱(6)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱 錐注：對(duì)初中生不適用。14 . 一

7、個(gè)小知識(shí)點(diǎn)所有棱長(zhǎng)均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。15 . 求 f(x)=x-1+x-2+x-3+x-n(n 為正整數(shù) )的最小值答案為：當(dāng) n 為奇數(shù)，最小值為(n-1)/4，在 x=(n+1)/2 時(shí)取到;當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，最小值為 n/4，在 x=n/2 或 n/2+1 時(shí)取到。16. (a+b)/2(a+b)/2ab2ab/(a+b)(a、b 為正數(shù)，是統(tǒng)一定義域)16. 橢圓中焦點(diǎn)三角形面積公式s=btan(a/2)在雙曲線(xiàn)中：s=b/tan(a/2)說(shuō)明：適用于焦點(diǎn)在 x 軸，且標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線(xiàn)。a 為兩焦半徑夾角。18 . 爆強(qiáng)定理空間向量三公式解決所有題目：cosa=|向量 a

8、.向量 b/ 向量 a 的模向量 b 的模(1)a 為線(xiàn)線(xiàn)夾角 (2)a 為線(xiàn)面夾角(但是公式中 cos 換成 sin)(3)a 為面面夾角注：以上角范圍均為0，派/2。19 . 爆強(qiáng)公式1+2+3+n=1/6(n)(n+1)(2n+1)13+23+33+n3=1/4(n)(n+1)20 . 爆強(qiáng)切線(xiàn)方程記憶方法寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)形式，換一個(gè) x ，換一個(gè) y舉例說(shuō)明：對(duì)于 y=2px 可以寫(xiě)成 yy=px+px 再把(xo，yo)帶入其中一個(gè)得： yyo=pxo+px 21 . 爆強(qiáng)定理(a+b+c)n 的展開(kāi)式合并之后的項(xiàng)數(shù)為：cn+22，n+2 在下，2 在上22 . 轉(zhuǎn)化思想切線(xiàn)長(zhǎng) l=(d-r

9、)d 表示圓外一點(diǎn)到圓心得距離，r 為圓半徑，而 d 最小為圓心到直線(xiàn)的距離。 23 . 對(duì)于 y=2px過(guò)焦點(diǎn)的互相垂直的兩弦 ab、cd，它們的和最小為 8p。爆強(qiáng)定理的證明：對(duì)于 y=2px，設(shè)過(guò)焦 點(diǎn)的弦傾斜角為 a 那么弦長(zhǎng)可表示為 2p/(sina)，所以與之垂直的弦長(zhǎng)為 2p/(cosa)所以求 和再據(jù)三角知識(shí)可知。(題目的意思就是弦 ab 過(guò)焦點(diǎn)，cd 過(guò)焦點(diǎn)，且 ab 垂直于 cd)24 . 關(guān)于一個(gè)重要絕對(duì)值不等式的介紹爆強(qiáng)|a|-|b|aba+b25 . 關(guān)于解決證明含 ln 的不等式的一種思路舉例說(shuō)明：證明 1+1/2+1/3+1/nln(n+1)把左邊看成是 1/n

10、求和，右邊看成是 sn。解：令 an=1/n，令 sn=ln(n+1)，則 bn=ln(n+1)-lnn ，那么只需證 anbn 即可，根據(jù)定積分知識(shí)畫(huà)出 y=1/x 的圖。an=11/n= 矩形面積曲線(xiàn)下面積=bn。當(dāng)然前面要證明 1ln2。注：僅供有能力的童鞋參考!另外對(duì)于這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求和， 證面積大小即可。說(shuō)明：前提是含 ln。26 . 爆強(qiáng)簡(jiǎn)潔公式向量 a 在向量 b 上的射影是：向量 a向量 b 的數(shù)量積/向量 b 的模。記憶方法：在哪投影除 以哪個(gè)的模27 . 說(shuō)明一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)若 f(x+a)a 任意為奇函數(shù)，那么得到的結(jié)論是 f(x+a)=-f(-x

11、+a)等式右邊不是-f(-x-a)同理如果 f(x+a)為偶函數(shù)，可得 f(x+a)=f(-x+a) 牢記28 . 離心率爆強(qiáng)公式e=sina/(sinm+sinn)注：p 為橢圓上一點(diǎn)，其中 a 為角 f1pf2，兩腰角為 m，n29 . 橢圓的參數(shù)方程也是一個(gè)很好的東西，它可以解決一些最值問(wèn)題。比如 x/4+y=1 求 z=x+y 的最值。解：令 x=2cosay=sina 再利用三角有界即可。比你去=0 不知道快 多少倍!30 . 僅供有能力的童鞋參考的爆強(qiáng)公式和差化積 sin+sin=2sin(+)/2cos( -)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=

12、2cos(+)/2cos( -)/2cos -cos=-2sin(+)/2sin(-)/2積化和差 sinsin=cos(-)-cos(+)/2coscos=cos(+)+cos( -)/2sincos=sin(+)+sin(- )/2cossin=sin(+) -sin(-)/231 . 爆強(qiáng)定理直觀圖的面積是原圖的2/4 倍。32 . 三角形垂心爆強(qiáng)定理(1) 向量 oh=向量 oa+向量 ob+向量 oc(o 為三角形外心，h 為垂心)(2) 若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù) y=1/x 的圖象上，則它的垂心也在這個(gè)函數(shù)圖象上。33 . 維維安尼定理 (不是很重要(僅供娛樂(lè) )正三角形內(nèi)(或邊

13、界上)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。34 . 爆強(qiáng)思路如果出現(xiàn)兩根之積 x1x2=m，兩根之和 x1+x2=n我們應(yīng)當(dāng)形成一種思路，那就是返回去構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù)再利用大于等于 0，可以得到 m、n 范 圍。35 . 常用結(jié)論過(guò)(2p，0)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn) y=2px 于 a、b 兩點(diǎn)。o 為原點(diǎn)，連接 ao.bo。必有角 aob=90 度36 . 爆強(qiáng)公式ln(x+1)x(x-1)該式能有效解決不等式的證明問(wèn)題。舉例說(shuō)明：ln(1/(2)+1)+ln(1/(3)+1)+ln(1/(n)+1)1(n2) 證明如下：令 x=1/(n)，根據(jù) ln(x+1)x 有左右累和右邊再

14、放縮得：左和1-1/n1 證畢!37 . 函數(shù) y=(sinx)/x 是偶函數(shù)在(0，派)上它單調(diào)遞減，(-派，0)上單調(diào)遞增。利用上述性質(zhì)可以比較大小。38 . 函數(shù)y=(lnx)/x 在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+無(wú)窮)上單調(diào)遞減。另外 y=x(1/x)與該函數(shù)的單調(diào)性一致。39 . 幾個(gè)數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)(1)f(x)0,y0),則 f(x)= ax(2)若 f(xy)=f(x)f(y)(x0,y0),則 f(x)=xu(u 由初值給出)(3)f(x+y)=f(x)f(y)則 f(x)=ax(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則 f(x)=ax2+bx(5)若 f(x+y)+f

15、(x-y)=2f(x), 則 f(x)=ax+b 特別的若 f(x)+f(y)=f(x+y)，則 f(x)=kx45 . 與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何最基本的圖形就是三角形正切定理(我自己取的，因?yàn)椴恢烂?：在非 rt 中，有 tana+tanb+tanc=tanatanbtanc任 意三角形射影定理(又稱(chēng)第一余弦定理)：在 abc 中， a=bcosc+ccosb;b=ccosa+acosc;c=acosb+bcosa任意三角形內(nèi)切圓半徑 r=2s/a+b+c(s 為面積)， 外接圓半徑應(yīng)該都知道了吧梅涅勞斯定理：設(shè) a1,b1，c1 分別是 abc 三邊 bc，ca，ab

16、所 在直線(xiàn)的上的點(diǎn)，則 a1，b1，c1 共線(xiàn)的充要條件是 cb1/b1aba1/a1cac1/c1b=1 46 . 易錯(cuò)點(diǎn)(5)數(shù)列求和中，常常使用的錯(cuò)位相減總是粗心算錯(cuò)規(guī)避方法：在寫(xiě)第二步時(shí)，提出公差，括號(hào)內(nèi) 等比數(shù)列求和，最后除掉系數(shù);(6)數(shù)列中常用變形公式不清楚，如：an=1/n(n+2)的求和保留四項(xiàng)47 . 易錯(cuò)點(diǎn)(7)數(shù)列未考慮 a1 是否符合根據(jù) sn-sn-1 求得的通項(xiàng)公式;(8)數(shù)列并不是簡(jiǎn)單的全體實(shí)數(shù)函數(shù)，即注 意求導(dǎo)研究數(shù)列的最值問(wèn)題過(guò)程中是否取到問(wèn)題48 . 易錯(cuò)點(diǎn)(9)向量的運(yùn)算不完全等價(jià)于代數(shù)運(yùn)算;(10)在求向量的模運(yùn)算過(guò)程中平方之后，忘記開(kāi)方。比如這 種選擇題中常常出現(xiàn) 2，2 的答案，基本就是選2，選 2 的就是因?yàn)闆](méi)有開(kāi)方;(11)復(fù)