定積分的背景教學(xué)設(shè)計(jì)省優(yōu)質(zhì)課

1、定積分的背景數(shù)學(xué) 王乃雪 江西高安二中【教學(xué)目標(biāo)】1.知識(shí)目標(biāo)通過(guò)曲邊梯形的面積問(wèn)題、變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程問(wèn)題、變力做功問(wèn)題理解定積分概念的形成的基本思想，初步了解、感受定積分 的實(shí)際背景。2.能力目標(biāo)通過(guò)探索求曲邊梯形的面積的過(guò)程，了解用“分割、近似代替、求和、取極限”的步驟分析問(wèn)題的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；體會(huì)“以直代曲”，“逼近”的思想，理解用極限的思想方法思考 與處理問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。3. .情感目標(biāo)對(duì)不同背景下的問(wèn)題中蘊(yùn)含的統(tǒng)一數(shù)學(xué)內(nèi)涵的過(guò)程的揭示，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系和數(shù)學(xué)在實(shí)用性方面的巨大力量，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)中 蘊(yùn)含的理性美產(chǎn)生發(fā)自內(nèi)心的欣賞情感?！窘虒W(xué)重難

2、點(diǎn)】1.教學(xué)重點(diǎn)了解以直代曲、逼近的數(shù)學(xué)思想，初步掌握求曲邊梯形面積的步 驟。2.教學(xué)難點(diǎn)曲邊梯形的不足近似和過(guò)剩近似兩種近似面積的求法。1 / 7【教學(xué)過(guò)程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課介紹我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽以及他的“割圓 術(shù)”：劉徽(約公元 225 年295 年)，山東臨淄人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一。他的杰作九章算術(shù)，是中國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，影響、支配中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展1000 余年，是劉徽（約公元225年295年）東方數(shù)學(xué)的典范之一，與希臘歐幾里得的幾何原本所代表的古代 西方數(shù)學(xué)交相輝映。他對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造十進(jìn)小數(shù)、證了有關(guān)勾股定理與解勾股形的計(jì)算原理；

3、定義許多重要數(shù)學(xué)概念解決了多種幾何形、幾何體的面積、體積計(jì)算問(wèn)題；創(chuàng)造了割圓術(shù)，運(yùn)用極限觀念計(jì)算圓面積和 圓周率。在右圖中的圓內(nèi)作內(nèi)接正多邊形，通過(guò)變量來(lái)改變正多邊形的邊數(shù)，用正多邊形面積來(lái)近似估計(jì)圓的面積。o o提問(wèn)：圓內(nèi)接正6邊形圓內(nèi)接正 12邊形1. 可以用正六邊形的面積來(lái)表示圓的面積嗎？可以用正 12 邊形 來(lái)表示嗎？2. 要使用多邊形的面積近似表示圓的面積更精確，應(yīng)該怎么辦？3. 用內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)表示圓的面積，怎么計(jì)算圓周率？2 / 7割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體無(wú)所失矣。 劉徽二、新課講授曲邊梯形的概念：yy = f ( x )由三條直線 x 軸、x=

4、a、x=b 和一條曲線y =x2圍成的封閉圖形，就叫做曲邊梯形。ox = a x = b x提問(wèn)：我們知道多邊形、圓形、扇形等規(guī)則圖形的面積求法，那 怎么求曲邊梯形的面積？探究一、求曲邊梯形的面積yy=x2問(wèn)題 1：求由 x 軸、直線 x=1 和曲線y =x2圍成圖形的面積1 x（一）分割為了計(jì)算曲邊梯形的面積 s，將它分割成許多小曲邊梯形，如下 圖所示。yyyy=x2 y=x2y=x2o 1 x圖1o 1 x圖2o 1 x圖3（二）近似代替3 / 71 1 2 i -1 i n -1, ,l , ,10, , , ,l 1 i -11 2n提問(wèn)：1.我們將曲邊梯形分割后，可以用圖 1 或者圖

5、 2 中的小矩形的面積和來(lái)代替由 x 軸、x=a、x=b 和曲線y =x2圍成的圖形的面積嗎？2. 如果還有比較大的誤差，我們可以怎么做使誤差變?。?. 將區(qū)間0,1分的越細(xì)，誤差越小嗎？在圖 1 和圖 2 中不斷增加小矩形的數(shù)量，得到的陰影部分的面積會(huì)越來(lái)越接近由 x 軸、直線 x=1 和曲線y =x2圍成的面積，而圖 3 中的面積會(huì)越來(lái)越小，yy=x2直至無(wú)限接近于 0.因此，只要區(qū)間分的夠細(xì)小，我們就可以用圖 1 或者圖 2 中的矩形的面積來(lái)近似代替由 x 軸、x=a、x=b 和曲線(i-1n)2y =x2圍成的圖形的面積。下面以圖 1 為例求oi-1 i1 x不足近似的面積。n n把區(qū)

6、間0，1等分成 n 個(gè)小區(qū)間：n n n n n n；每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為 ，第 i 個(gè)小矩形的高度為 ( ) 2 ，所以第 i 個(gè)小矩形n n的面積為1 i -1( )n n2。（三）求和1 0 1 i -1 n -1s =s +s +s=( ) 2 +( ) 2 +l +( ) 2 +l +( ) 2 n n n n n1 1 1= 0 2 +12 +2 2 +(n-1)2= (n -1)n(2n -1)n 3 n 3 6（四）逼近(求極限)當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即 n +時(shí)，4 / 71 1 1 s = (n -1)n(2n -1) n3 6 3，所以1所求曲邊梯形的面積為 。3練習(xí) 1：仿照上面求

7、不足近似面積的方y(tǒng)y=x2法求圖 2 中由 x 軸、直線 x=1 和曲線y =x2圍i( )n2成的圖形的過(guò)剩近似面積探究二、變速運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題oi-1 in n1 x提問(wèn):1. 勻速直線運(yùn)動(dòng)路程公式是什么？2. 若以時(shí)間為橫坐標(biāo)，速度為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，那么路程可以 用什么表示？3. 如果是變速直線運(yùn)動(dòng)，路程怎么求？問(wèn)題 2：一輛汽車的司機(jī)猛踩剎車，汽車滑行 5s 后停下，在這一過(guò)程中汽車的速度 v 是時(shí)間 t 的函數(shù)：v (t ) =t 2 -10t +25(0 t 計(jì)汽車在剎車過(guò)程中滑行的距離 s。速度v25用橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示速度，可以得到速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象如右圖所示。5)

8、,請(qǐng)估o 5時(shí)間t提問(wèn):1. 仿照問(wèn)題 1 中的近似方法將時(shí)間區(qū)間0,55 等分，得到的不足近似面積和過(guò)剩近似面積分別怎么計(jì)算？將區(qū)間0,510 等分呢？2. 哪種分法得到的面積誤差較?。?，如果還要使誤差更小，怎 么辦？首先將滑行時(shí)間 5 等分，若用v(0), v(1), v(2), v(3), v(4)近似表示各時(shí)5 / 7=v(1)(2)間區(qū)間的平均速度，得到滑行距離是s = v(0) +v (1) +v (2) +v (3) +v (4) 1 =55( m) 1；若用v(1), v(2), v(3), v(4), v (5)近似表示各時(shí)間區(qū)間的平均速度，得到滑行距離是s=v(1) +v

9、(2) +v (3) +v (4) +v (5) 1 =30( m ) 1。為了使誤差更小，將滑行時(shí)間 10 等分，用類似的方法求得過(guò)剩近似值為s =2v(0)+v(0.5)+v(1)+v(1.5)+l+v(4)+v(4.5)0.5=48.125( m)；不足近似值為s2 (0.5)+v +v(1.5)+v +l+v(4.5)+v (5) 0.5 =35.625( m )。按照這樣的思路繼續(xù)將時(shí)間分細(xì)，我們就會(huì)得到更精確的估計(jì)值，當(dāng)小時(shí)間間隔長(zhǎng)度趨于 0 時(shí)，這兩種估計(jì)值就都趨于汽車滑行的 路程。方法歸納總結(jié):求曲邊梯形的面積分為以下幾個(gè)步驟1. 將區(qū)間分割；2. 近似代替(一般用不足近似和過(guò)剩近似兩種代替方法)；3. 求近似面積和；4. 求極限，讓練習(xí) 2：n +，得到準(zhǔn)確面積。由直線 x=1,y=0 和曲線y =x3圍成一個(gè)曲邊yy=x3梯形，將區(qū)間0,14 等分，則曲邊梯形面積的近 似值(過(guò)剩近似)是( ).a.1b.111c.110d.25o 0.25 0.5 0.75 1 x19 256 270 646 / 7三、小結(jié)求曲邊梯形面積四步曲：1. 分割化整為零2. 近似代替 以直代曲3. 求和 積零為整4. 逼近 刨光磨平四、作業(yè)：（思考題）一根彈性系數(shù)為 0.4n/cm 的彈簧，其拉力隨著彈簧拉伸的長(zhǎng)