數學分析中不等式證明方法畢業(yè)論文

1、數學分析中不等式證明方法目 錄摘 要3英文摘要4第1章 不等式的定義及研究背景51.1不等式的定義51.2不等式的研究背景5第2章 數學分析中不等式的證明方法與舉例62.1構造變上限積分函數62.2利用拉格朗日中值定理進行證明72.3利用微分中值定理證明積分不等式82.4積分中值定理解不等式92.5利用泰勒公式證明不等式102.6用函數的極值進行證明12 2.7用函數凹凸性進行不等式的證明132.8利用函數單調性解不等式132.9利用條件極值求解不等式142.10利用兩邊夾法則證明不等式15第3章 不等式證明方法的歸納總結17第4章 論文的結論與展望18 致 謝21參考文獻22數學分析中不等式

2、的解法研究摘要：不等式是數學分析中在進行計算和證明時經常用到的且非常重要的工具，同時也是數學分析中主要研究的問題之一，可以說不等式的研究對數學分析發(fā)展起著巨大推動作用。本文章首先介紹了不等式的研究背景，然后主要研究如何求解數學分析中的不等式問題以及探討總結不等式的不同證明方法，并對不等式的證明方法進行歸類，通過“一題多解”如柯西不等式的求解過程, “一法多用”如泰勒公式與牛萊公式的綜合運用等例題。巧妙解決不等式的求解問題并最后歸納了不等式的多種解題技巧，為以后不等式的學習做了較為詳細的歸納總結，希望能對后來讀者的學習起到一定的幫助作用也是本人學習的一些心得。關鍵詞：數學分析；柯西不等式；泰勒公

3、式；牛萊公式mathematical analysis of the solution of inequality researchabstract : inequality is often used and a very important tool in the calculation and prove of mathematical analysis,and at the same time is also a main research problem of mathematical analysis.so it can be said that the study of ineq

4、uality plays a great role in promoting the development of mathematical analysis. this article first introduces the background of inequality study,then mainly studies how to solve the problem of inequality in mathematical analysis,summarizes the different methods to prove inequality,and classifies th

5、e proof of the inequality methods through the multi-solutions to one problem such as cauchy inequality solving process,a method of multi use such as the comprehensive application the taylor formula and the newtonian-leibniz formula and so on. this article skillfully solves the inequality problem and

6、 finally summarizes the various techniques for solving inequality, and does a more detailed summary for the subsequent inequality learning.and it is some my learning experiences and i hope it can play a certain help for the readers study. key words: mathematical analysis; cauchy inequality; taylor e

7、quation; newtonian - leibniz formula第1章 不等式的定義及研究背景1.1不等式的定義定義：用不等號將兩個解析式連結起來所成的式子。在一個式子中的數的關系,不全是等號,含不等符號的式子，那它就是一個不等式。不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地，用純粹的大于號、小于號“”“”連接的不等式稱為嚴格不等式，用不小于號（大于或等于號）、不大于號（小于或等于號）“”“”連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。1.2不等式的研究背景 數學不等式的研究首先從歐洲國家興起, 在數學不等式理論發(fā)展史上有兩個具有分水嶺意義的事件,:chebycheff 在 1882

8、年發(fā)表的論文和 1928 年hardy任倫敦數學會主席屆滿時的演講；hardy,littlewood和 plya的著作 inequalities的前言中對不等式的哲學給出了有見地的見解: 一般來講初等的不等式應該有初等的證明, 證明應該是“內在的”,而且應該給出等號成立的證明。a. m.fink認為, 人們應該盡量陳述和證明不能推廣的不等式. hardy認為, 基本的不等式是初等的.自從著名數學家 g. h. hardy,j. e. littlewood和g. plya的著作 inequalities由cambridge university press于1934年出版以來, 數學不等式理論及

9、其應用的研究正式粉墨登場, 成為一門新興的數學學科, 從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合, 它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學理論。 20世紀70年代以來, 國際上每四年在德國召開一次一般不等式 ( general inequalities) 國際學術會議,并出版專門的會議論文集。不等式理論也是 2000 年在意大利召開的第三屆世界非線性分析學家大會 (“the thirdworld congress of nonlinear analyst s” ( wcna - 2000) )的主題之一。 華人數學家在不等式領域做出過重要貢獻 ,最近幾年我國有許多數學工作者始終活躍在國際數學不等式理論

10、及其應用的領域 , 他們在相關方面做出了獨特的貢獻 , 引起國內外同行的注意和重視。20世紀80年代以來在中國大地上出現了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。將我國幾何不等式的研究推向高潮；在代數不等式方面，王挽瀾教授對fan ky不等式的深人研究達到國際領先水平。祁鋒教授及其所領導的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在中國科學上的論文論一個不等式及其若干應用，針對holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數學評論稱之為一個杰出的非凡的新的不等式，現在稱之為胡克(hk)不等式。 目前我國關于數學不等式理論及其應用的研究也有

11、較豐富的成果。如常用不等式（匡繼昌）。矩陣論中不等式（王松桂、賈忠貞）。另外 , 國內還有一個不等式研究小組, 主辦不等式研究通訊的內部交流刊物。第2章 數學分析中不等式的證明方法與舉例2.1構造變上限積分函數變限積分的定義 設在上可積，對于任給,在 和 上均可積，分別稱和為變上限的積分和變下限的積分，統(tǒng)稱為變限積分。若在上連續(xù)，則其變限積分作為關于x的函數，在上處處可導，且更一般的有例1.柯西不等式及柯西不等式的證明 證明:柯西不等式為：。設:顯然在上連續(xù)，在內可導，且 所以在上單調減少，則，即 得到結論。例2.設f(x)在a,b上連續(xù),且單調遞增,試證：，證明：顯然 f(a)=0 對任意的

12、 t 有 因為f(x)單調遞增,則f(t)0 ,則f(t)單調遞增,所以f(b)f(a)=0(ba).因此例3設為上的非負單調非增連續(xù)函數（即當時，）分析：可化為 將換成，于是輔助函數 令 (因為單調遞減)所以單增，又因為所以 。即故。2.2 利用拉格朗日中值定理進行證明拉格朗日中值定理 設函數f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內可導.則至少存在一點(a,b),使得 即f(b)-f(a)=f()(b-a)，(ab0,n1)證明:構造函數f(x)=x,在區(qū)間b,a上滿足拉格朗中值定理,且f(x)=，所以有，即=n(a-b),(b b 0,n1,則有 nbnn

13、a.故nb(a-b) n（a-b）= a-b = n(a-b) 0時,試證不等式ln(1+x)x.證明:構造函數f(x)=ln(1+x),則在區(qū)間0,x上滿足拉格朗中值定理,且f(x)=,故有l(wèi)n(1+ x)-ln1 = f()(x-0)(0,x) ,即 又(0,x)則x ln (1 + x) =x x即 ln (1 + x) 0,則為極小值點,記()=c,則f(x)- g(x)()= c;若f(x)1，則對0，l上的任意x有證明: 取函數,則有 令=0，得，于是有x=1-x即x=由于f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，因而f(x)在0,1上取得最大值和最小值，又f(x)在0,1上可導，且有唯一的駐

14、點，并且f(0)=f(1)=1 所以f(x)在0,1上的最小值是，最大值是1從而對0，1上的任意x有即2.7用函數凹凸性進行不等式的證明定義：凹函數：設函數f(x)在區(qū)間i上定義，若對i中的任意兩點和,和任意(0,1)，都有則稱f(x)是i上的凹函數。凸函數：設函數f(x)在區(qū)間i上定義，若對i中的任意兩點和,和任意(0,1)，都有則稱f(x)是i上的凸函數。 若不等號嚴格成立，則稱f(x)在i上是嚴格凹(凸)函數。定理(曲線弧凹向的判定法) 設函數y=f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內二階可導.1)若在(a,b)內f(x)0,則曲線弧在a,b內為上凸的;2)若在(a,b)內f(x)0,則

15、曲線弧在a,b內為下凹的.例1: 證明:(x+y)ln0,y0,x y).證明: 構造函數f(x)=xlnx,其定義域為 x 0.這時,f(x) =0,即有f(x)在區(qū)間(0,+)內是上凹的.所以,x0,y0,xy時,有f即故(x+y)ln0,y0,x y). 2.8利用函數單調性解不等式定理:設函數f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內可導,則有1) 如果在(a,b)內f(x) 0,那么,函數f (x)在a,b上單調增加.2) 如果在(a,b)內f(x) 2x.證明：構造函數f(x)= sinx + tanx - 2x,則有f(x)= cosx + secx-2=cosx + tanx -

16、1,f(x)=-sinx + 2 tanxsecx = sinx 0 ,所以f(x)在區(qū)間內是增函數,所以f(x)f(0)=0.故f(x)在區(qū)間內也是增函數,從而有f(x) f(0)= 0.2.9利用條件極值求解不等式例1.證明n個正數的幾何平均值不超過算術平均 值即設是n個正數。證明分析 記則不等式等價于 于是只需證明在下，函數的最大 值是即可。證明 記，作輔助函數 令解得或代入方程組解得 （）按實際問題乘積有上界，所以必有最大值存在，因此所求的點必定是最大值點，此時最大值是，于是對任意n個正數有即2.10利用兩邊夾法則證明不等式兩邊夾法則：設、為收斂數列，且：當n趨于無窮大時，數列，的極限

17、均為：a 若存在n，使得當nn時，都有,則數列收斂，且極限為a。例1.證明1.2. 證明：取k=1、2、3設 則有成立， （1）。 因為， （1）式等價于 所以有：成立。2.利用兩邊夾法則，因為，所以取極限有成立。待添加的隱藏文字內容1第3章 不等式證明方法的歸納總結證明不等式的方法很多,但我們在解決問題時, 如何選擇正確的方法, 無疑是至關重要的. 這不僅要求我們要熟悉各種方法的應用條件和適用范圍,同時還要求我們要學會綜合應用。1.構造變上限積分函數：構造變上限積分函數進行證明，對于含有定積分的不等式,可把常數變?yōu)樽償禈嬙燧o助函數,通過構造新的函數利用變上限積分及函數的單調性解決此類不等式。

18、2.利用拉格朗日中值定理:拉格朗日中值定理不僅可以解決代數不等式的證明,同樣亦能拓展到證明形如m(x-a)f(x)-f(a)m(x-a) 函數表達式.3.積分中值定理求解不等式：尋找一個滿足條件且存在的值，4.利用泰勒公式、微分中值定理證明不等式：可利用放縮法求解；泰勒公式揭示了多項式與函數之間的關系，由已知條件,圍繞證明目標,選取恰當的點,取恰當位數進行泰勒展開，將函數在這些點展成泰勒展開式。如下例：設在上二階可導，且，求證：取證明：令，則 ， 所以，。特別的有。即。利用泰勒公式證明不等式時，需要對原函數選取適當的近似位數進行放縮，構造泰勒級數，從而比較函數大小。5.用函數凹凸性進行不等式的

19、證明：凹向性的幾何意義是很明顯的:對于i內的任意兩點, ,如果f(x)在區(qū)間i內是上凹的,一定有f。根據此不等式可以利用函數的凹凸性，求解當比較函數中間值與兩邊值平均數大小的不等式類型。6.利用函數單調性：利用函數單調性解不等式一般對所求兩式做差、求導、求穩(wěn)定點等一系列步驟之后，看導數所在的單調區(qū)間，經分析后判斷原兩式的大小，此法一般方便易行，但有時對于求導討論取值范圍較繁瑣的式子不易采用。7.利用條件極值求解不等式：用函數的極值進行證明利用函數的極值和最值若函數f在區(qū)間l取得最小值m和最大值m，則對任意xi，都有mf(x)m8. 利用兩邊夾法則證明不等式：兩邊夾法則適用于對所求式子極限不好求

20、解時所用，尋找合適的兩個數列且兩數列極限相同，在有限項比較中所求數列各項正好落在相應的兩數列的各對應項之間。則所求數列的極限就與兩數列的極限相同。 總之，不等式的求解問題是靈活多變的，在每個不同類型的不等式求解問題中要活學活用、綜合運用各類方法。泰勒公式、中值定理等公式極為重要，在今后的學習工作中要多多總結，靈活掌握各個章節(jié)的聯系與區(qū)別。做到知其然，知其所以然！第4章 論文的結論與展望4.1 論文的結論：4.1. 1本文主要通過介紹幾種求解積分不等式的方法的過程，完成了一下工作： 本文回顧了不等式理論發(fā)展的歷史并介紹了中外數學家在不等式理論發(fā)展中進行的研究和貢獻；列舉了幾種求解數學分析中不等式方法；歸納總結了數學分析中的各類不等式求解的方法技巧。4.1.2總結：不等式在數學研究、計算和證明中經常用到的且非常重要的工具，同時也是數學中主要研究的問題之一，可以說不等式的研究對數學的發(fā)展起著巨大推動作用。在以后的科學研究及讀者們的學習中掌握好不等式的問題無疑使至關重要的。4.2論文的展望 在本次論文寫作當中前后歷時數月之久，我通過網上查閱資料及圖書館翻閱文獻等工作，初步總結