氣體動(dòng)理論習(xí)題解答

1、習(xí)題8-1 設(shè)想太陽(yáng)是由氫原子組成的理想氣體，其密度可當(dāng)成是均勻的。若此理想氣體的壓強(qiáng)為 1.351014 Pa。試估計(jì)太陽(yáng)的溫度。 （已知?dú)湓拥馁|(zhì)量 m = 1.6710-27 kg，太陽(yáng) 半徑 R = 6.96 10 8 m，太陽(yáng)質(zhì)量 M = 1.99 10 30 kg）解：MMn3 m Vm (4/3)R3m8-2 目前已可獲得 1.013 10 -10 Pa 的高真空，在此壓強(qiáng)下溫度為 27的 1cm3 體積內(nèi) 有多少個(gè)氣體分子？10解： N nV p V 1.013 213010 6 2.45 104 /cm 3kT 1.38 10 23 3008-3 容積 V1 m3的容器內(nèi)混有

2、 N11.01023個(gè)氫氣分子和 N24.01023個(gè)氧氣分子，混合氣體的溫度為 400 K ，求：（ 1） 氣體分子的平動(dòng)動(dòng)能總和； （2）混合氣體的壓強(qiáng)。解：（1）33t kT（N1 N2）1.38 10 23 400 5 1023 4.14 103J（ 2 ）22pnikT 1.38 10 23 400 5 1023 2.76 103Pa8-4 儲(chǔ)有 1mol 氧氣、容積為 1 m3的容器以 v=10 m/s 的速率運(yùn)動(dòng)。設(shè)容器突然停止， 其中氧氣的 80%的機(jī)械運(yùn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為氣體分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能。 問氣體的溫度及壓強(qiáng)各升高多 少？（將氧氣分子視為剛性分子）解：1mol 氧氣的質(zhì)量 M 3

3、2 10 3kg ， i 515由題意得 Mv 2 80% R T T 6.2 10 2K 228-5 一個(gè)具有活塞的容器中盛有一定量的氧氣，壓強(qiáng)為 1 atm 。如果壓縮氣體并對(duì)它 加熱，使溫度從 27 上升到 177 ，體積減少一半，則氣體的壓強(qiáng)變化多少？氣體分子 的平均平動(dòng)動(dòng)能變化多少？分子的方均根速率變化多少？解：已知p1 1atm、 T1 300K根據(jù) pV RTp1V1 p2V2 p2 3p1 3atmT1T22 18-6 溫度為 0 和 100 時(shí)理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能各為多少？欲使分子的平均 平動(dòng)動(dòng)能等于 1 eV ，氣體的溫度需多高？33解：（1） t1 3kT1 3 1

4、.38 10 23 273.15 5.65 10 21Jt1 2 1 2（2）1ev 1.6 10 J t 3kT28-7 一容積為 10 cm3的電子管，當(dāng)溫度為 300 K 時(shí)，用真空泵把管內(nèi)空氣抽成壓強(qiáng)為 510-4 mmHg的高真空，問此時(shí)（ 1）管內(nèi)有多少空氣分子？（ 2）這些空氣分子的平均平動(dòng) 動(dòng)能的總和是多少？ （3）平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的總和是多少？ （ 4）平均動(dòng)能的總和是多少？ （將 空氣分子視為剛性雙原子分子， 760mmHg = 1.013105 Pa ）51.013 10解： 1mmHg 133Pa760（1） N nV pV 1.61 1014 個(gè)kT3336（2）tN 3

5、kT3RT3 pV110 6Jt222（3）r N 2kT RT pV 6.65 10 7J2（4）t r 5 pV 1.65 10 6Jt r 28-8 水蒸氣分解為同溫度的氫氣和氧氣，即H2O H2 1 O22也就是 1mol 水蒸氣可分解成同溫度的 1mol 氫和 1/2mol 的氧。 當(dāng)不計(jì)振動(dòng)自由度時(shí)， 求此 過程的內(nèi)能增量。解： E i RT ， 1mol2若水蒸氣溫度是 100時(shí)8-9 已知在 273 K、1.0 10-2 atm 時(shí)，容器內(nèi)裝有一理想氣體，其密度為1.24 10 -2kg/m3。求：（1）方均根速率； （2）氣體的摩爾質(zhì)量，并確定它是什么氣體； （3）氣體分子

6、的平均平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能各為多少？ （ 4）容器單位體積內(nèi)分子的總平動(dòng)動(dòng)能是多少？ （ 5） 若該氣體有 0.3 mol ，其內(nèi)能是多少？解：1） p494m/s3RT3p1 v23RT3RT28g所以此氣體分子為 CO或 N2（3） t 3kT 5.65 10 21J t233 （ 4） t n kT P 1.52 10 Jt 2 2 （5） E 5 RT 1701J28-10 一容器內(nèi)儲(chǔ)有氧氣，其壓強(qiáng)為 1.01105 Pa，溫度為 27.0 ，求：（1）分子數(shù)密度；（2）氧氣的密度；（ 3）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能； （ 4）分子間的平均距離。 （設(shè)分子間均勻等距排列）解：（1） n kpT

7、2.44 1025/m33p 3p P 1.297kg/m 3 v23RT RT3）4）3t kT 6.21 10 21J2d3 1 d 3.45 10 9m n8-11設(shè)容器內(nèi)盛有質(zhì)量為 M1 和M 2的兩種不同的單原子理想氣體， 此混合氣體處在平衡態(tài)時(shí)內(nèi)能相等，均為 E ，若容器體積為 V試求：（1）兩種氣體分子平均速率 v1與v2 之比；（2）混合氣體的壓強(qiáng)。解：（1）E 23M11 RT 23M2 RTV 3 3V2） pnikT N1kT N2kT 2N1kT 2 2E 4Ei V V V8-12 在容積為 2.0 10 -3 m3的容器中，有內(nèi)能為 6.75 102 J 的剛性雙原

8、子分子理想氣體。（1）求氣體的壓強(qiáng)； （2）設(shè)分子總數(shù)為 5.4 1022個(gè)，求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能及氣體的溫度。解：（1） E i RT i pV p 2E 1.35 105pa2 2 iVNk1.35 105 2 10 35.4 1022 1.38 10 23362.3K8-13 已知 f （v） 是速率分布函數(shù)，說明以下各式的物理意義：vp（1） f（v）dv；（2） Nf （v） d v ；（ 3） 0 f（v）dv 解：（1） v v dv范圍內(nèi)的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比；2） v v dv 范圍內(nèi)的粒子數(shù)3）速率小于 vp 的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比8-14 圖中 I 、II 兩條曲

9、線是兩種不同氣體氫氣和氧氣） 在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線。試由圖中數(shù)據(jù)求：最概然速率；（2）兩種氣體所處解：（ 1）由習(xí)題 8-14（2）由vpvp22R235002 32 10 32 8.31習(xí)題 8-14 圖481.3K（ 1 ）氫氣分子和氧氣分子的的溫度。圖可知：8-15 在容積為 3.0 10 -2 m3 的容器中裝有2.0 10-2 kg 氣體，容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為5.06 104 Pa ，求氣體分子的最概然速率。解：由 pV M RTRTpVM8-16 質(zhì)量 m =6.2 10-14 g 的微粒懸浮在 27的液體中，觀察到懸浮粒子的方均根速率為 1.4 cm/s ，假設(shè)粒子服

10、從麥克斯韋速率分布函數(shù)，求阿伏伽德羅常數(shù)8-17 有 N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為 f（v） c （v0 v 0） 0 （v v0）1）作速率分布曲線； （2）由 v0 求常數(shù) c；（3）求粒子平均速率v01解：( 2) cdv 1 cv0v03) vvf (v)dv0v0v0 cv2布曲線如圖所示， 當(dāng) v 2v08-18 有 N個(gè)粒子， 其速率分習(xí)題 8-18 圖時(shí) f （v） 0 。求：（1）常數(shù) a；（2）速率大于 v0 和小于v0 的粒子數(shù)；（3）求粒子平均速率。解：（1）由速率分布函數(shù)的歸一化條件可得2） v v0 時(shí)：v v0時(shí)： N2 N N1 2N32kv2 v v v03v0

11、223) f (v) av0 v 2v03v00 v v08-19 質(zhì)點(diǎn)離開地球引力作用所需的逃逸速率為 v 2gr ，其中 r 為地球半徑。1）若使氫氣分子和氧氣分子的平均速率分別與逃逸速率相等，它們各自應(yīng)有多高的溫度；2）說明大氣層中為什么氫氣比氧氣要少。 （取 r =6.40 10 6 m）解：（1）由題意知 v8RT 2gr T 2g8rR又 O 32 10 3 kg/molH 2 10 3 kg/mol2）根據(jù)上述分析，當(dāng)溫度相同時(shí)，氫氣的平均速率比氧氣的要大（約為4 倍），因此達(dá)到逃逸速率的氫氣分子比氧氣分子多。按大爆炸理論，宇宙在形成過程中經(jīng)歷了一個(gè)極 高溫過程。在地球形成的初期

12、，雖然溫度已大大降低，但溫度值還是很高。因而，在氣體 分子產(chǎn)生過程中就開始有分子逃逸地球，其中氫氣分子比氧氣分子更易逃逸。另外，雖然 目前的大氣層溫度不可能達(dá)到上述計(jì)算結(jié)果中逃逸速率所需的溫度，但由麥克斯韋分子速 率分布曲線可知，在任一溫度下，總有一些氣體分子的運(yùn)動(dòng)速率大于逃逸速率。從分布曲線也可知道在相同溫度下氫氣分子能達(dá)到逃逸速率的可能性大于氧氣分子。8-20 試求上升到什么高度時(shí)大氣壓強(qiáng)減至地面的75%？設(shè)空氣溫度為 0，空氣的摩爾質(zhì)量為 0.0289 kg/mol 。解：由 p p0 exp（ gz） z RT ln p0RT g p8-21 （1）求氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞次數(shù)和平

13、均自由程； （ 2）若溫度不變，氣壓 降低到 1.33 10 -4 Pa ，平均碰撞次數(shù)又為多少？平均自由程為多少？（設(shè)分子有效直徑為 10-10 m）解： v 1 2kT 2 8.38 10 7mZ 2 d2n2 d2 p8-22 真空管的線度為 10-2 m，真空度為 1.33 10 -3 Pa，設(shè)空氣分子有效直徑為 310-10 m，求 27時(shí)單位體積內(nèi)的空氣分子數(shù)、平均自由程和平均碰撞頻率。解： n p 1.33 12303.21 1017 /m 3kT 1.38 10 23 300由 v 1 2kT 2 ，當(dāng)容器足夠大時(shí)，取 d 3 10 10mZ 2 d 2n2 d 2p代入可得

14、7.8m 10 2m （真空管線度）所以空氣分子間實(shí)際不會(huì)發(fā)生碰撞， 而只能與管壁碰撞， 因此平均自由程就是真空管的線度，即10 2m8-23 在氣體放電管中， 電子不斷與氣體分子碰撞。 因電子速率遠(yuǎn)大于氣體分子的平均 速率，所以可以認(rèn)為氣體分子不動(dòng)。設(shè)氣體分子有效直徑為 d ，電子的“有效直徑”比起 氣體分子來可以忽略不計(jì)，求： （ 1）電子與氣體分子的碰撞截面； （2）電子與氣體分子碰 撞的平均自由程。 （氣體分子數(shù)密度為 n）解：(1) (d de )2 d2 2 4veveZ nu其中 u 為電子相對(duì)于分子的平均相對(duì)速率由于 vev分子 ，所以 u ve8-24 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氦氣（

15、He）的內(nèi)摩擦系數(shù) = 1.89 10 -5 Pas，求：（ 1）在此把 p 0.18kg/m 3v8RT 1202m/s代入狀態(tài)下氦原子的平均自由程； （2）氦原子半徑。解：標(biāo)況：p 1.01 105 pa、 T 273.15K3111)nmv v33得 2.62 10 7m12)212 d2nkT2 d2pd 2 kT2p8-25 熱水瓶膽的兩壁間距 L =-3410 m，其間充滿溫度為 27的氮?dú)?，氮分子的有效直徑?d = 3.1 10-10 m，問瓶膽兩壁間的壓強(qiáng)降低到多大數(shù)值以下時(shí)，氮的熱傳導(dǎo)系數(shù)才會(huì)比它在一個(gè)大氣壓下的數(shù)值小？解：熱傳導(dǎo)系數(shù) K 1 cV v32dn由于 nm ，1 2 ，所以 m 2 與壓強(qiáng)無關(guān)，即熱傳導(dǎo)系數(shù)與壓強(qiáng)無關(guān)。然2 d n 2d而在抽真空的容器中當(dāng)壓強(qiáng)降到一定程度時(shí)， 平均自由程 會(huì)大于容器本身的線度， 這時(shí)取為容器的線度不變，當(dāng)真空度進(jìn)一步提高時(shí)，因不變，所以 p 時(shí)， ，則 K ，于是熱傳導(dǎo)系數(shù)就小于一個(gè)大氣壓下的數(shù)值了。因此當(dāng)2 d2p L 時(shí)傳導(dǎo)系數(shù)開始發(fā)生變化8-26由范德瓦耳斯方程（p a V2）（V b） RT ，證明氣體在臨界狀態(tài)下溫度Tk 、壓強(qiáng) pk 及體積 Vk 為8a ，a26bR