正四面體性質(zhì)及其應(yīng)用

1、正四面體的性質(zhì)及其應(yīng)用正四面體是四個(gè)面都是等邊三角形的凸多面體，它是一個(gè)很規(guī)則的幾何體，因此具有一些特有的性質(zhì)，設(shè)正四面體的棱長為a，則1)全面積 S 全= 3 a2；2)高 h= 36 a ；3)體積 V= 122 a 3；4)對棱中點(diǎn)的連線是對棱的公垂線，其長為5)1相鄰兩面所成的二面角 =arccos 3；6)棱與其相交的面所成的角 =arctan 2 ；7)正四面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合，內(nèi)切球半徑r162 a，外接球8)B半徑 R 46 a，rR=13；正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值(等于正四面體的高) 將正四面體置于正方體中，結(jié)合正方體的性質(zhì)以上諸性質(zhì)容易得到證明?？?/p>

2、查正四面體的性質(zhì)多出選擇或填空題，熟記以上八條性質(zhì)對快速求解相關(guān)問題有很大幫助，例如： 例 1：已知半徑為 1 的球面上有 A、B、C 三個(gè)點(diǎn)，且它們之間的球面距離都為 3 ，則球心 O 到平面 ABC的距離為(3解析：如右圖所示，12 D271OA=OB=O=1C 又 AB BC CA，球的半徑 r=13AOB= BOC= COA=3 ，則 AB=BC=C=A13所以 O- ABC為棱長為 1 的正四面體，則由正四面體的性質(zhì)得球心O到平面 ABC的距離即其高為 36 ，答案 B。例 2：（05 年湖南省十所示范校聯(lián)考）已知棱長為a 的正四面體ABCD有內(nèi)切球 O，經(jīng)過該棱錐 A- BCD的中

3、截面為 M，則 O到平面 M的距離為（a 6 6 2 A 4 B 6 a C 12 aD 8 a解析 ：直接運(yùn)用正四面體的性質(zhì)，內(nèi)切球的半徑r= 162 a，中截面到底面的距離為高的一半 66a，則 O到平面 M的距離為 66 a 162 a= 162 a，因此選 C。例 3：（06 年陜西卷）將半徑為 R的四個(gè)球兩兩相切地放在桌面上，則上面一個(gè)球的球心到桌面的距離為解析 ：注意分析四個(gè)球的球心的位置關(guān)系。設(shè)四個(gè)球心分B 別為DA、 B、C、D，因?yàn)樗膫€(gè)球兩兩相切，則 ABCD是棱長為 C262R的正四面體， A 到面 BCD的距離為 2 36 R，則上面一個(gè)球的球心 A到桌面的距離為 R+2

4、 36 R=（ 1+2 36 ） R。例 4：（06 年山東卷）如圖 1，在等腰梯形 ABCD中， AB=2DC=2， DAB=60，E為 AC的中點(diǎn)，將 ADE與 BEC分別沿 ED、EC向上折起，使 A、 B重合于點(diǎn) P，則三棱錐 P- DCE的外接球的體積為（）27 224 解析：三棱錐 P- DCE實(shí)質(zhì)上是棱長為 1 的正四面體， 則其外接球的體積為V= 4R3= 4（ 6 ） 3= 6 。V= 3 R= 3（ 4 ） = 8 。B例 5：（ 06 年湖南卷）棱長為 2 的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若的面積是 （ ）C2過該球球心的一個(gè)截面如圖 1，則圖中三角形 （正四面體的截

5、解析：由截面圖形可知，正四面體恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)在球面上，且截面圓經(jīng)過其外接球的球心（正四面體的中心） ，由正四面體的對稱性可知 M為 AB對棱 CD的中點(diǎn)， M 到 AB的距離即為正四面體對棱公垂線的長22 a ，所以SABC= 2 2 2 2 2 。例 6： （07 年安徽卷 ） 半徑為 1 的球面上的四點(diǎn) A、B、C、D是正四面體的頂點(diǎn)，則 A 與 B 兩點(diǎn)間的球面距離為（A arccos(3B arccos(C arccos( ) D3arccos( )4解析：由題意可知，此球 O為正四面體的外接球，且外接球的半徑為1，則113,所以13) 1=正四面體的棱長為 3 ，根據(jù)余弦定理得1+1(2 3