概率論與隨機過程復習參考

1、概率論與隨機過程 復習參考 可參考從中取題做為考試題概率基本概念1需掌握概念： 隨機試驗，樣本空間。隨機事件，基本事件，必然事件，不可能事件，事件間的關(guān)系(包含，相等，和，積，差， 互斥，互逆) ，完備事件組(全包含，不重復) ，運算律(德摩根律) ，事件的描述及轉(zhuǎn)換。是否有序)，分配問題，記數(shù)法則 (乘法定理、 加法定理)，古典概型， 抽樣問題(可否放回、 幾何概型 概率的性質(zhì)， 條件概率 (兩種理解方式) ，全概率公式， 貝葉斯公式 (先驗概率， 后驗概率)。事件獨立性，兩兩獨立與相互獨立2公式P(A) 1 P(A)P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A B) P(A) P(A

2、B)P(B A) 1 P(B A) ，注意條件不變P(B |A)P(AB)P(A)條件概率P(AB) P(A)P(B |A) P(B)P(A|B) 乘法定理nP(A)P(Bi)P(A|Bi) 全概率公式i1P(Bi |A) nP(Bi )P(A|Bi)貝葉斯公式P(Bi)P(A|Bi) i1P(AB) P(A)P(B|A) P(A)P(B)獨立3習題3設 A,B 是兩件事件且 P(A)=0.6, P(B)=0.7. 問：(1)在什么條件下 P(AB) 取得最大值， 最大值1 / 26是多少？( 2)在什么條件下 (AB) 取得最小值，最小值是多少？解： P(AB) P(A) P(B) P(A

3、B) ，且 P(A) P(B) P(A B)當A B時，P( A B)取最小值， P(AB) 取最大值， P(AB) P(A) 0.6當 A B S時， P(A B) =1 取最大值， P(AB) 取最小值， P(AB) 0.310在 11 張卡片上分別寫上 Probability ，從中任意連抽 7 張，求其排列結(jié)果為 ability 的概率。 解： A .樣本空間 P171 ，但由于正確排列中有重復字母正確排列的樣本點數(shù)為 C11 C21 C21 C1/ 26 C11 C11 C11 44P(A) P4171 0.0000024 11將 3 個球隨機的放入 4 個杯子中，求杯子中球的最大個

4、數(shù)分別為1， 2， 3 的概率。解： 3個球放入 4 個杯子有 43種放法(每個球有 4 種選擇，共 3只球)杯中最大個數(shù)為 1：從 4 只杯中任選 3 只，每只杯中一個球，則P(A)C43P3364316杯中最大個數(shù)為 2：從 4 只杯中任選一只，從 3 只球中任選兩只放入，剩余 1 球放入另外 3個杯中的某一個中，則121P(B)C41C32C3194316杯中最大個數(shù)為3： 3 只球放入 4 只杯子的任一個中P(C)C41431617已知在 10只晶體管中有 2 只次品，在其中取兩次，每次任取一只，作不放回抽樣，求下列 事件的概率：(1) 兩只都是正品(2) 兩只都是次品(3) 一只是正

5、品，一只是次品(4) 第二次取出的是次品解：首先建模。設 Ai =第 i 次取出的是正品 Bi =第 i 次取出的是次品 (i 1,2)8 7 28(1) P(A1A2) P(A1)P(A2 |A1)10 9 452 1 1 (2) P(B1B2) P(B1)P(B2 |B1)10 9 451645(3)P(A1B2 B1A2) P(A1B2) P(B1A2)P(A1)P(B2|A1) P(B1)P(A2 |B1) 8 2 2 81 2 1 1 2 1 10 9 10 9(4) P(B2 ) P( A1B2 B1B2) P(A1B2) P(B1B2)P(A1)P(B2|A1) P(B1)P(B

6、2 |B1)10 9 10 94521已知男子有 5% 是色盲患者，女子有 0.25% 是色盲者，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機挑選 一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：建模。設 A= 是男性 ，B= 是女性 C= 是色盲 11P(C) P(C|A)P(A) P(C|B)P(B) 5% 0.25% 2.625% (全概率公式) 1且 P(AC) P(A)P(C |A) 5% 2.5%P(AC) 20P(A|C)P(C) 2134將 A,B,C 三個字母一一輸入信道，輸出為原字母的概率為 ，而輸出為其它一字母的概率 都是 (1 ) / 2 ，今將字母串 AAAA, BBBB, CC

7、CC 之一輸入信道， 輸入 AAAA, BBBB, CCCC 的概率分別為 p1,p2,p3(p1 p2 p3 1)，已知輸出為 ABCA ，問輸入的是 AAAA 的概率 是多少？解：設 A= 輸入 AAAAB= 輸入 BBBBC= 輸入 CCCCH= 輸出 ABCA則 P(A) p1,P(B) p2,P(C) p33 / 26P(H |A) 12222(1 )2411P(H |B) 121231 (1 )281P(H |C) 1231 (1 )28由貝葉斯公式：P(A|H)P(H |A)P(A)P(H |A)P(A) P(H |B)P(B) P(H |C)P(C)2 p1 (3 1)p1 1

8、4 / 26隨機變量及其分布1 需掌握概念 復習下微積分公式(以及其他相關(guān)數(shù)學，比如隨機過程要用的三角變換等)隨機變量，分布函數(shù)，分布函數(shù)性質(zhì)(不減、右連續(xù)、0,1 ，-，) 離散型隨機變量， 分布律 ，性質(zhì)(求和 =1)。常見分布的分布律( 0-1 分布 ， 二項分布 ，超 幾何分布， 泊松分布 ，幾何分布) ，二項分布泊松分布，幾何分布無記憶性 連續(xù)型隨機變量， 概率密度函數(shù) ，概率密度函數(shù)的性質(zhì)(非負，積分 =1)，事件的概率， 分 布函數(shù)與概率密度的關(guān)系 ，常用的概率分布( 均勻分布 ， 指數(shù)分布 ， 正態(tài)分布 )，正態(tài)分布 性質(zhì)，正態(tài)分布標準化，(分段)公式法求隨機變量函數(shù)，一般方法

9、(離散型、連續(xù)型)2公式Px1 X x2 F(x2) F(x1)pk 1k1 f(t)dt 1PA= Af(t)dtP x1 X x2f(t)dtx1fx h( y)| h(y)|,0cyd其它3習題4 進行重復獨立試驗，設每次試驗成功的概率位p，失敗的概率為 q=1-p (0p1).(1) 將試驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以 X 表示所需的試驗次數(shù)，求 X 的分布律。(2) 將試驗進行到出現(xiàn) r次成功為止，以 Y 表示所需的試驗次數(shù)，求 Y 的分布律。(3) 一籃球運動員的投籃命中率為 45%，以 X 表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)， 寫出 X 的分布律，并計算 X 取偶數(shù)的概率。解：(1)

10、 事件X=k 表示前 k-1次試驗失敗，第 k次成功，因此 X 的分布律為PX k pqk 1 p(1 p)k 1,k 1,2,(1) 事件Y=k 表示前 k-1次中成功 r-1次，第 k 次成功，因此 Y 的分布律為PY k Ckr 11pr 1qk r p Ckr 11prqk r ,k r,r 1,5 / 26(2) 事件X=k 表示前 k-1次投籃失敗，第 k次投籃成功，則 X 的分布律為PX k pqk 1 p(1 p)k 1 45% (55%)k 1,k 1,2,X 取偶數(shù)的概率P P(X 2k) 0.45 (0.55) 2k 1 k 1 k15 一房間有 3 扇窗戶，只有一扇打開

11、，有一只鳥要飛出房間，設它選擇窗戶是隨機的，求：1) 以 X 表示鳥飛出房間試飛的次數(shù)，求 X 分布律2) 假設鳥有記憶，沒扇窗戶嘗試次數(shù)不多于一次，以Y 表示鳥飛出房間試飛的次數(shù)，求 X分布律3) 求 PXY1)PX,k (23)2)PY,1PY,221PY,32132*1orPY,31 PY,2PY,13)PXY=1-PXY+X=Y=1- 27 PX,1PY,1 PX,2 PY,2 PX,3 PY,33881124 的泊松分布，求：一電話交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為(1) 每分鐘恰有 8 次呼喚的概率；(2) 每分鐘的呼喚次數(shù)大于 10 的概率。 解：設 X 為每分鐘收到呼喚的次數(shù)

12、4k 4則 P X ke 4,k 0,1,2,k!6 / 26(1) PX 8 48 e 4 0.0298 8!(2) PX 10 4 e 4 0.00284 k 11 k!20 設隨機變量 X 的分布函數(shù)為0,x 1FX (x) ln x,1 x e1,x e5(1) 試求 P(X 2), P(0 X 3) , P(2 X )(2) 求概率密度函數(shù) fX (x).(1) P( X 2) FX (2) ln2解： P(0 X 3) FX(3) FX (0) 15 5 55P(2 X ) FX ( ) FX (2) ln ln2 ln2 X 2X 24(2)fX (x) FX(x) 1/0x,

13、,0,1xe其他22(1) 由統(tǒng)計物理學知，分子運動速度的絕對值X 服從 Maxwell 分布，其概率密度為2Ax2e x2/ b, x 0 0, 其他其中 b m ， k 為 Boltzmann 常數(shù)， T 為絕對溫度， m 是分子的質(zhì)量，試確定常數(shù) A。 2kT(2) 研究了項格蘭在 18751951 年期間，在礦山發(fā)生導致 10 人或 10 人以上死亡的事故的頻 繁程度，得知相繼兩次事故之間的時間T( 以日計 )服從指數(shù)分布，其概率密度為1 t/ 241t0其他e t/ 241 fT (t)2410,求分布函數(shù) FT (t) ，并求概率 P50 T 100 .解： (1) f(x)dx

14、17 / 262 x2 /bAx2e x /bdx 1t(2) FT (t)fT(x)dxt 1 x/241 t/2412141e x/241dx 1 e t/241,t 0t 0時 ,FT (t) 0P( 50 T100)FT(1 0F0T )(e55 00 /)2 4 1100226設 X N (3,22) ，(1) 求 P2 X 5, P 4 X 10, P| X | 2, PX 3 ；(2) 確定 C使得 PX C PX C .解：pX (x)122(x 3)2 /8 e(1)2 3 x 3 5 3 1 1P(2 X 5) P( ) (1) ( ) (1) (1 ( ) 0.53282

15、 2 2 2 24 3 x 3 10 3 7 7 7 7P( 4 X 10) P( ) ( ) ( ) ( ) (1 ( ) 0.9996P(|X | 2) P(X2)P(X 2) 1 P(X 2)P(X 2)1 P(X 3 23)P(X3 2 3) 1 (1)( 5)0.69772 2 2 2 2 2X 3 3 3P(X 3) 1 P(X 3) 1 P( ) 1 (0) 0.5 (2) 由 PX C PX C 得1 P X C PX C 則 PX C P( X 3 C 3) 12 2 2(C 3) 1 22C32C = 3.8 / 26某種型號的電子管的壽命 X( 以小時計 )，具有以下的概

16、率密度，x 1000其他1000 f(x)x20,2 只壽命現(xiàn)有一大批此種管子(設各電子管損壞與否相互獨立) ，任取 5 只，問其中至少有 大于 1500 小時的概率是多少？解： 電子管壽命大于 1500 小時的概率： 150010002P(X 1500) 1 P(X 1500) 1 2 dx x3設 A=5 只中至少有兩只壽命大于 1500 小時 ，P( A) 1 P (A) 113 5( ) 51C 23 ( 13)4( )22 34. 233 3 3 243設隨機變量 X 在(0,1) 服從均勻分布X(1) 求Y eX 的概率密度(2) 求 Y2ln X 的概率密度解：fX(x) 10,

17、其他(1) y ex, x lny,x 1/ y(y 0)dx 1 1/y , 1 y e fY(y) fX (y ) dd|yx |1y fX y ( ) 0, 其他-y/2(2) y=-2lnx x=efY(y) fX(y) | ddxy | 12e y/2fX(e y/2)1e y/ 22ey/20,y0y09 / 26多維隨機變量及其分布1需掌握概念： 聯(lián)合分布函數(shù)，分布函數(shù)性質(zhì)（ 0,1 ， -，）聯(lián)合分布律 ，分布律性質(zhì)（求和 =1 ），分布律分布函數(shù)，聯(lián)合邊際分布律（注意求和范 圍），邊際分布律 聯(lián)合， 條件分布律（性質(zhì)）聯(lián)合概率密度函數(shù) ，聯(lián)合密度函數(shù)分布函數(shù)（注意積分順序的影

18、響） ，密度函數(shù)性質(zhì)（非 負，積分 =1），典型分布（ 均勻分布 ，正態(tài)分布性質(zhì)） ，聯(lián)合邊際分布（密度）函數(shù)，條 件密度（分布）函數(shù)，獨立判定，聯(lián)合、條件、邊際關(guān)系：聯(lián)合 F x,y ，F(xiàn)X x 邊際 ，F(xiàn)Y y 條件 FX|Y x|y ， 關(guān)系:f x,y ，f X x fY ypijpiipjpijF x,y 積積 f x,y 積pjfX|Y x| yFX|Y x| y多維隨機 變量函數(shù)分布 ，離散型，一般方法， X+Y 型(注意積分范圍 )， MAX/MIN 型，公式 法2 公式F(x,y) P X x,Y ypijxi xyij ypipij邊際分布律p jpijiFX xpipijxi xxi x jFY y p jpijyj yyj y iFX (x)=F(x, )10 / 26P X xi |Y yjP X xi ,Y yjpijpjP X xi |Y yj 1 i1yxF(x,y) f (u, v)dudvP (X,Y) Gf (x, y)dxdyGfX xf x,y dyfY yf x,y dxFX