二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)和各種題型歸納帶答案

1、二項(xiàng)式定理1二項(xiàng)式定理：(a b)n =C0an Canb |cnan=br - C；bn(n N ),2. 基本概念： 二項(xiàng)式展開(kāi)式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a - b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式。 二項(xiàng)式系數(shù)：展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù) cn (r =0,1,2, n). 項(xiàng)數(shù)：共(r 1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式 通項(xiàng)：展開(kāi)式中的第 r 1項(xiàng)cnan-br叫做二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)。用丁 i =C；anbr表示。3. 注意關(guān)鍵點(diǎn)： 項(xiàng)數(shù)：展開(kāi)式中總共有 (n 1)項(xiàng)。 順序：注意正確選擇 a , b ,其順序不能更改。(a b)n與(b a)n是不同的。 指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0，是降幕排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)

2、減到n，是升幕排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n . 系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是cnwc：,C；,cn.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4. 常用的結(jié)論：令 a =1,b 二x, (1 - x)n =c0 C：x C；x2 十| Qxr Fl C；xn(n N )令 a =1,b = -x, (1 -x)n =C -C：x C；x2 -川 C：xr |( (-1)nC：xn(n N )5. 性質(zhì)： 二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即c0 - cn , CnCnJ 二項(xiàng)式系數(shù)和：令 a=b=1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為 c0 c1 Cn- C

3、； Jll c； -2n ,變形式 cn C2-CnH c； =21。 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 =偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令 a =1,b = 1，貝y C0cn +c2 Cj+川 +(_1)ncn =(1_1)n = 0 ,從而得到：C： +C： +C：+- = cn +C；+IH+c：r41 + 二丄X2n = 2n_l2奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和:nOnO 小Jn2n _22.nOn12ln(a x)CnaxCnaxC*ax . C*a xa。aixa2Xa*x(x a)Cna x Cnax 一 Cna xCna xanxa2xa1x a0令x =1,貝V a0- a1a

4、2a a(a 1)n令x - -1,貝卩 a0- a1a2_a3 川 an= (a _1)n得,a0 a2 a4川 an = (a_ (奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2-得,a1 a3 a5“| an = _卩(- (偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2n 二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的幕指數(shù) n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) Cj取得最大值。nVn -1如果二項(xiàng)式的幕指數(shù) n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C,C同時(shí)取得最大值。 系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a bx)n展開(kāi)式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別A 4 丄 Ar 為A1,A2,，An十，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有g(shù) A A，從而解出r來(lái)。Ar A

5、26二項(xiàng)式定理的十一種考題的解法：題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：C： c2 6 C； 62 川 V： 6n=.解：(1 6)n =C0 C1 -6 C： 62 C3 6| - C； 6n與已知的有一些差距， Cc； 662 川-C； 6；(C6 C； 62 訂II C： 6；)6= (c0+cn 6+C； 62+|i+C： 6n-1)V(1+6)n-1 = (7n-1)6 6 6練：C1 - 3Cn - 9C3 Jll - 3；JC： =.解：設(shè) Sn 二C： UC； 9C3 1 3ndCn，則3Sn =U3 十C：32 +C；33 州| 十Cn3n =C： +Cn3+C：32 +C；33 +

6、川+ cn3n _1 = (1 + 3)n_1(1 3)n -1 _ 4n -1題型二：利用通項(xiàng)公式求 xn的系數(shù);例：在二項(xiàng)式(/1+x2)n的展開(kāi)式中倒數(shù)第 3項(xiàng)的系數(shù)為45，求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)?解：由條件知 C； -45，即 卩 C；=45,. n2-n- 90 = 0，解得 n =-9(舍去)或 n =10，由1210 丄 2“mnk，由題意-罟旨=3,解得r=6，則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6 1二CiX3 =210x3,系數(shù)為210。)9展開(kāi)式中x9的系數(shù)？2x解: Tr 1 二C；(x2)9(一丄)r 二 c9x18r( 一丄)rx2x21 21故x9的系數(shù)為c r解得，化簡(jiǎn)得到6

7、.3乞k乞7.3，又r +1 2(10 r)汀乞10, . r=7,展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 TCw27x 15360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng);例：求當(dāng)25(x 3x 2)的展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)?解法:2525r 25 rr(x 3x 2)二(x2) 3x , Tr 二C5(x 2)(3x)，當(dāng)且僅當(dāng) r =1 時(shí)，Tr i 的展開(kāi)式中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)T=T2 =C；(x2+2)43x，所以x得一次項(xiàng)為C；C：243x它的系數(shù)為C；C：243 = 240 。解法:(x2 +3x + 2)5 =(x+1)5(x + 2)5 =(C；0x5 +C；x4 + 弋訂心蹊 + C；x42+ +

8、C；25)45544故展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為C5xC5 2 C5x2 = 240x，故展開(kāi)式中x的系數(shù)為240.練：求式子(x-丄-2)3的常數(shù)項(xiàng)?x解：(x6，設(shè)第* -2)3 =C. x -r 1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則x6丄1r(n)= (-1)6c；xlxlrrTr 1 二。6(-1)6 _2r3 3，得 6-2r =0, r =3,T31 = (-1)3C； 20題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘;例:求(1 2x)3(1-x)4展開(kāi)式中x2的系數(shù).解：(1 2x)3的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Cm (2x)C3n -2m xm(1-X)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)是 C4 -x)C4 -1n xn,其中 m=0,1,2,3, n

9、-0,1,2,3, 4,令m n =2,則 m = 0且 n =2,m =1 且 n =1,m 二 2且 n 二 0,因此(12x)3(1x)4的展開(kāi)式中 X2的系數(shù)等于C3020C：(1)2 +c321c4(T)122C：(-1) = 一6.練：求(1 3 X)6(1 丄)10展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)Vxmn4m _3n解:（1 3、X）6（1 4l）10展開(kāi)式的通項(xiàng)為 cjx3 Gn0X 4 =C（m C；0 X 12Vxm = 0, m = 3, m = 6, 其中m =0,1,2，,6, n =0,1,2，,10，當(dāng)且僅當(dāng)4m =3n,即卩或或n = 0, n = 4, n = 8,時(shí)得展開(kāi)式

10、中的常數(shù)項(xiàng)為C； C10 C63 G； C65 C80 = 4246.練：1已知(1+x+x2)(x+丄)n的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，n N且2n 8,則門(mén)=.X解:(x)n展開(kāi)式的通項(xiàng)為Cn x： xJ3r二C： v 通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得XCn -xn-r,Cn -xn-r1,Cn xn-r2A，展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng) 2乞n乞8.n =4r且n =4r - 1且 n =4r 2, 即卩 n = 4,8且n =3,7 且n = 2,6,. n =5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：在(x- . 2 ) 2006的二項(xiàng)展開(kāi)式中,含X的奇次幕的項(xiàng)之和為 S,當(dāng)Xi2時(shí),S解： 設(shè)（x

11、- ： 2） 2006=a0 - a1x1 a2x2 - a3x| a2006x2006 720061232006（-x - 2） =a - a）x a?x a3Xa2006x -得2（a1x asx3 a5X5 a205X2005） = （x- 2）2006 -（x -三）2006（X-一2）2006展開(kāi)式的奇次幕項(xiàng)之和為S（x） =l（x-、2） 2006 -（x 門(mén)）200623：2006當(dāng)x 二 &時(shí),s（-、2）J（、2 -、2）2006 十2 2）2006 - - -2 30082 2題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式（33.X 丄）“的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s,

12、若xp s =272 ,則n等于多少？解:若（33 x 丄）“ =a0 a1x a2x2 “ anxn，有 P = a ai a*, S = C： C： = 2n，x令 x =1 得 P =4n，又 p s =272 ,即 4n 2n =272二（2n 17）（2： -16） =0解得2n =16或2n = -17（舍去）， n =4.練:(1 丫若 3jx -十 的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為多少? I 仮丿解:令2，則3:的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為264，所以n = 6 ,則展開(kāi)式的常數(shù)例:解:練:項(xiàng)為 Cl(3 .x)3 (_ 1 )3 = 540.若(1-2x)20二 a a/1 a?x2 a3X3 |H a2009X2009 (xR),則號(hào)，|f ，開(kāi)!的值為1a1 a2a2009a1 a282009令X =2,可得a0石虧.科 = ，2.22 . 009二-a。在令x = 0可得a0 = 1,因而蟲(chóng)-0|l009 = -1.2 2 2若(x 2)5 =a5x5 +a4x4 +a3x3 +a2x2 ta/1 +a0,貝Vai +a2 +a3 +a4 +a5 =.解:令x 二0得 a。-32,令x=1得 aoaia2a3a4a -1,.印 a2 a3 a4 a5 = 31.題型十一：整除性；例：證明：