全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法有答案

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法 （ 有答案 ）總論：全等三角形問題最主要的是構造全等三角形，構造二條邊之間的相等，構造二個角 之間的相等1. 等腰三角形“三線合一”法： 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線 合一”的性質解題2. 倍長中線： 倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形3. 角平分線在三種添輔助線4. 垂直平分線聯結線段兩端5. 用“截長法”或“補短法” ： 遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6. 圖形補全法： 有一個角為 60 度或 120 度的把該角添線后構成等邊三角形7. 角度數為 30、60 度的作垂線法： 遇到三角形中的一個角為 30 度或 60

2、 度，可 以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后計 算邊的長度與角的度數，這樣可以得到在數值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等 三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8. 計算數值法： 遇到等腰直角三角形，正方形時，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形 , 常計算邊的長度與角的度數， 這樣可以得到在數值上相等的二 條邊或二個角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構造全等三角形，構造二條邊之間的相等，二 個角之間的相等。1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“

3、三線合一”的性質解題，思維模式是全等變 換中的“對折”法 構造全等三角形 2）遇到三角形的中線， 倍長中線， 使延長線段與原中線長相等， 構造全等三角形，利用的 思維模式是全等變換中的“旋轉”法 構造全等三角形 3）遇到角平分線在三種添輔助線的方法， （1）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理.（2）可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相 交，形成一對全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置 上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構造一對全等三角形。4

4、）過圖形上某一點作特定的平分線， 構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的 “平移”或“翻轉折疊”5）截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.6）已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5 AC=3

5、則中線AD的取值范圍是 例2、如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上, DEL DF, D是中點，試比較 BE+CF與EF的 大小.例3、如圖， ABC中，BD=DC=A, E是DC的中點，求證： AD平分/ BAE.應用：1、（ 09崇文二模）以 AB C的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰R2ABD和等腰Rt ACE, BAD = CAE =90 ,連接 dE , m、N 分別是 BC、DE 的中點.探究：AM 與 DE 的位置關系及數量關系.（1） 如圖 當 ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ,線段AM與DE的數量關系是 ;（2）將圖中的等腰R2ABD繞點A沿逆時針方向旋

6、轉 二（0八90）后，如圖所示，（1） 問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由.C、截長補短1 如圖， MBC 中，AB=2AC AD平分 N BAC，且 AD=BD 求證：CDL AC2、如圖,CAD/ BC, EA,EB分別平分/ DAB,/ CBA CD過點 E,求證;AB = AD+BC0 03、如圖，已知在|_ABC內，.BAC =60 , C =40, P, Q分別在BC, CA上，并且AP,4、Q求證：ZA LC =1805、如圖在 ABC中，AB AC / 1 = / 2, P 為 AD上任意一點，求證；AB-AC PB-PC EBC周長記為PB .求證PB PA.NBDC

7、應用:如亂在B邊形ABCD中tADBCt點E是朋上一個動點若H -砂,AB = BCt R 0腦斗60暮判斷AD h 4 J j BC的關系并證圈你的結論解;、平移變換例1 ADABC的角平分線，直線 MNL AD于A.E為MN上一點， ABC周長記為PA ,例2如圖，在 ABC的邊上取兩點 D E,且BD=CE求證：AB+AOAD+AE.四、借助角平分線造全等1如圖，已知在厶 ABC中，/ B=60,A ABC的角平分線 AD,CE相交于點 0,求證：0E=0D2、如圖， ABC中，AD平分/ BACDGL BC且平分 BC, DEI AB于 E,DF丄 AC于 F.(1)說明BE=CF的理

8、由；(2)如果AB=a , AC=b，求AE、BE的長.BDF應用：1如圖，0P是/ MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以0P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：(1) 如圖，在厶ABC中，/ ACB是直角，/ B=60 , AD、CE分別是/ BAC、/ BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出 FE與FD之間的數量關系；(2) 如圖，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你N五、旋轉例1正方形ABCD中, E為BC上的一點,F為CD上的一點,BE+DF=EF 求/ EAF 的度數.例2 D為等腰Rt AB

9、C斜邊AB的中點,DML DN,DM,DN分別交 BC,CA于點 E,F。BAECFA(1) 當.MDN繞點D轉動時，求證DE=DF (2) 若AB=2求四邊形DECF勺面積。例3如圖， ABC是邊長為3的等邊三角形，.BDC是等腰三角形，且.BDC =120,以D為頂點做一個60角，使其兩邊分別交AB于點M交AC于點N,連接MN則也AMN的周長為C應用:已知四邊形ABCD中，AB_ AD， BC _CD ,AB =BC , Z ABC =120 ,AD, DC （或它們的延長線）Z MBN =6 , Z MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交于 E, F 當ZMBN繞B點旋轉到AE=CF時（如圖1

10、）,易證AE+CF = EF .當ZMBN繞B點旋轉到AE = CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成 立？若成立，請給予證明；若不成立，線段 AE, CF , EF又有怎樣的數量關系？請寫出 你的猜想，不需證明.NnC（圖1）（圖2）（圖3）2、(西城09年一模)已知:PA= .2 ,PB=4,以AB為一邊作正方形 ABCD使P、D兩點落在 直線AB的兩側.(1) 如圖,當/ APB=45時,求AB及PD的長；(2) 當/ APB變化,且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應/ APB的大小.3、在等邊 ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點 M、N , D為L ABC外一點，

11、且.MDN =60 BDC =120 ,BD=DC.探究：當 M、N分別在直線 AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及 AMN的周長Q與等邊 ABC的周長L的關系.圖1圖2圖3(I) 如圖1,當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN 時，BM、NC、MN之間的數量關系是;此時Q =；L(II) 如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DM = DN時，猜想(I)問的兩個結論還 成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；(III ) 如圖3,當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN= X，貝U Q= (用x、L表示).、倍長中線（線段）造全等參考答案與提示例1、（“希望杯”試題）已知，如圖

12、ABC中，AB=5 AC=3則中線AD的取值范圍是 解：延長 AD至E使AE= 2AD,連BE,由三角形性質知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范圍是 1AD4例2、如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上, DEL DF, D是中點，試比較 BE+CF與 EF的大小.解：（倍長中線,等腰三角形“三線合一”法 ）延長FD至G使FG= 2EF,連BQ EE顯然BG= FC,在厶EFG中，注意到DEI DF,由等腰三角形的三線合一知AFDEG= EF在厶BEG中，由三角形性質知EGBG+BE故：EF AC, / 1 = Z 2, P 為 AD上任意一點，求證;AB-AC PB-PC解

13、：（補短法）延長 AC至F,使AF= AB連PD ABP AFP （ SAS故 BP= PF由三角形性質知PB- PC= PF PC PA.,宀 解：（鏡面反射法）延長 BA至F,使AF= AC,連FEABC的角平分線，MN丄AD知/ FAE=Z CAE故有 FAEA CAE( SAS故 EF= CE在厶 BEF 中有：BE+EFBF=BA+AF=BA+AC從而 Pb二BE+CE+BCBF+BC二BA+ACPBC二例2如圖，在 ABC的邊上取兩點 D E,且BD=CE求證：AB+AOAD+AE. 證明：取BC中點M,連AM并延長至N,使MN=AM,連BN,DN.ABE BD=CE, DM=EM

14、, DMN EMA(SAS), DN=AE,同理BN=CA.延長 ND 交 AB 于 P,貝U BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各減去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE 。四、借助角平分線造全等AC1 如圖，已知在厶 ABC中，/ B=60A ABC的角平分線 AD,CE相交于點 0,求證：0E=0DDC+AE =AC證明（角平分線在三種添輔助線，計算數值法）/ B=60 則/ BAC+ / BCA=120 度；AD,CE均為角平分線，貝U/ 0AC+ / OCA=60 度=Z A0E= / COD;/ AOC=120 度.B 在

15、AC上截取線段AF=AE,連接OF.又 AO=AO; / OAE= / OAF .則/ OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/ AOF= / AOE=60 度.貝U/ COF= / AOC- / AOF=60 度=/ COD; 又 CO=CO; / OCD= / OCF.故/ OCD 也 A OCF(SAS), OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC,DEI AB于 E,DF丄 AC于 F.F（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b，求AE、BE的長.解：（垂直平分線聯結

16、線段兩端）連接BD, DCDG垂直平分BC,故BD= DC由于AD平分/ BAC DE丄AB于E, DF丄AC于F,故有ED= DF故 RT DBE RT DFC （ HL）故有BE= CFoAB+AC= 2AEAE=( a+b) /2BE=(a-b)/2應用：1如圖，0P是/ MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以0P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：(1) 如圖，在厶ABC中，/ ACB是直角，/ B=60 , AD、CE分別是/ BAC、/ BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出 FE與FD之間的數量關系；(2) 如圖，在 ABC中

17、，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你(第23題圖)五、旋轉BE+DF=EF 求/ EAF 的度數.例1正方形ABCD中, E為BC上的一點，F為CD上的一點,證明：將三角形ADF繞點A順時針旋轉90度，至三角形ABG貝U GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF= / GAE= / BAE+ / GAB= / BAE+ / DAF又/ EAF+ / BAE+ / DAF=90所以/ EAF=45度例2 D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點，DML DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。 (1)當.

18、MDN繞點D轉動時，求證 DE=DF(2)若AB=2,求四邊形DECF勺面積。M /f解：（計算數值法）（1）連接DCND為等腰Rt.lABC斜邊AB的中點，故有 CD AB, CD- DACD平分/ BCA = 90,/ ECD = Z DCA = 45由于 DML DN 有/ EDN= 90 由于 CD丄AB,有/ CDA = 90從而/ CDE=/ FDA =故有 CDEA ADF （ASA故有DE=DF（2） Saabc=2, S 四 dec= S aaceFI例3如圖， ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且.BDC =120,以D為頂點做一個600角，使其兩邊分別交

19、AB于點M交AC于點N,連接MN則 AMN的周長為;F解：（圖形補全法，“截長法”或“補短法”，計算數值法）AC的延長線與BD的延長線交 于點F，在線段 CF上取點E,使CE = BM/ ABC為等邊三角形， BCD為等腰三角形，且/BDC=120,/ MBD= / MBC+ / DBC=60 +30 =90 ,/ DCE=180 - / ACD=180 - / ABD=90 ,又 BM=CE , BD=CD , CDE BDM ,/ CDE= / BDM , DE=DM ,/ NDE= / NDC+ / CDE= / NDC+ / BDM= / BDC- / MDN=12 -60 =60 , 在 DMN和厶DEN中，DM=DE/ MDN= / EDN=60DN=DN DMN DEN , MN=NE在 DMA和厶DEF中,DM=DE/ MDA=60 - / MDB=60 - / CDE=/ EDF（/ CDE= / BDM）/ DAM= / DFE=30 DMN DEN （AAS）, MA=FE.AMN 的周長為 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6AB =BC ,