比例諧振控制算法分析

1、比例諧振控制算法分析比例諧振控制算法分析目錄0 前言 1 PR 控制器 2 準 PR 控制器 3 準 PR 控制器的參數(shù)設(shè)置 3.1 , 變化 3.2變化 , 4 準 PR 控制器的離散化 附錄 A 數(shù)字濾波器設(shè)計 A.1 脈沖響應(yīng)不變法 A.2 雙線性變換法 4591111121317182228附錄 B 雙線性變換法原理 B.1 連續(xù)時間系統(tǒng) H(s) 的最基本環(huán)節(jié) 28B.2 積分的數(shù)值計算與離散一階系統(tǒng) 29B.3 連續(xù)時間一階環(huán)節(jié)的離散實現(xiàn) .30B.4 高階連續(xù)時間系統(tǒng)的離散實現(xiàn) .310 前言在整流器和雙饋發(fā)電機的矢量控制系統(tǒng)中廣 泛地采用了坐標(biāo)變換技術(shù)， 將三相靜止坐標(biāo)系下 的

2、電流電壓等正弦量轉(zhuǎn)化為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下 的直流量， 這一方面是為了簡化系統(tǒng)的模型，實 現(xiàn)有功功率和和無功功率的解耦， 另一方面是因 為 PI 控制器無法對正弦量實現(xiàn)無靜差控制。坐 標(biāo)變換簡化了控制系統(tǒng)外環(huán)的設(shè)計， 卻使電流分 量互相耦合，造成內(nèi)環(huán)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，設(shè)計困難。PR 控制器可以實現(xiàn)對交流輸入的無靜差控 制。將PR 控制器用于網(wǎng)側(cè)變換器的控制系統(tǒng)中， 可在兩相靜止坐標(biāo)系下對電流進行調(diào)節(jié)。 可以簡 化控制過程中的坐標(biāo)變換， 消除兩相靜止坐標(biāo)系 下對電流進行調(diào)節(jié)。 可以簡化控制過程中的坐標(biāo) 變換，消除電流 d 、q 軸分量之間的耦合關(guān)系， 且可以忽略電網(wǎng)電壓對系統(tǒng)的擾動作用。此外， 應(yīng)用 PR

3、控制器，易于實現(xiàn)低次諧波補償，這些 都有助于簡化控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。1 PR 控制器PR 控制器，即比例諧振控制器，由比例環(huán)節(jié) 和諧振環(huán)節(jié)組成，可對正弦量實現(xiàn)無靜差控制。 理想 PR 控制器的傳遞函數(shù)如下式所示：式中 為比例項系數(shù)， 為諧振項系數(shù)， 為諧振頻率。 PR 控制器中的積分環(huán)節(jié)又稱廣義 積分器，可以對諧振頻率的正弦量進行幅值積對于同頻的輸入信號 ，該環(huán)節(jié)的)=時域響應(yīng)分析如下： 輸入信號的拉普拉斯變換為： 經(jīng)過 后的表達式為：分別推導(dǎo) 的拉普拉斯變換為（推導(dǎo)見下一頁）：，由上式可知，當(dāng)p=o時，輸出信號為* (t)sin(ot)與輸入信號相位相同，幅值呈時間線性上升。當(dāng)p = 90時，輸

4、出信號為:K時M2sin（t ） + t * cos（Dt）當(dāng)時間稍大時，該值貼近于cos(cot) ?從整體看，該諧振器(或稱之為廣義積分器)是對誤差 信號的按時間遞增觀察 的拉普拉斯變換：如下圖所示， PR 控制器中的積分部分，在諧振頻率點達到無窮大的增益， 在這個頻率點 之外幾乎沒有衰減。 因此，為了有選擇地補償諧 波，它可以作為一個直角濾波器。2 準 PR 控制器如上所述，與 PI 控制器相比， PR 控制器可以 達到零穩(wěn)態(tài)誤差， 提高有選擇地抗電網(wǎng)電壓干擾 的能力。但是在實際系統(tǒng)應(yīng)用中， PR 控制器的 實現(xiàn)存在兩個主要問題： 由于模擬系統(tǒng)元器件參數(shù)精度和數(shù)字系統(tǒng) 精度的限制， PR

5、 控制器不易實現(xiàn)PR 控制器在非基頻處增益非常小，當(dāng)電網(wǎng) 頻率產(chǎn)生偏移時， 就無法有效抑制電網(wǎng)產(chǎn)生 的諧波因此，在 PR 的基礎(chǔ)上，提出了一種易于實現(xiàn) 的準 PR 控制器，既可以保持 PR 控制器的高增 益，同時還可以有效減小電網(wǎng)頻率偏移對逆變器 輸出電感電流的影響。準 PR 控制器傳遞函數(shù)為：控制器波特圖如下圖所示， 從圖中所示， 控制 器在基波頻率處的幅頻特性為 同時相角裕度為無窮大， 因此基本可以實現(xiàn)零穩(wěn) 態(tài)誤差，同時具有很好的穩(wěn)態(tài)裕度和暫態(tài)性能。3 準 PR 控制器的參數(shù)設(shè)置由此可見，除了比例系數(shù)外，準 PR 控制器主 要有 、 兩個參數(shù)。為了分析每個參數(shù)對控 制器的影響， 可先假設(shè)其

6、余參數(shù)不變， 然后觀察 這個參數(shù)變化時間對系統(tǒng)性能的影響。3.1 , 變化控制器傳遞函數(shù)的波特圖如下圖所示， 從圖中 可以看出， 參數(shù)增大時，控制器的峰值增益 也增大，而控制器的帶寬卻沒有變化。 因此 參 數(shù)和控制器的峰值增益成正比3.2 變化 ,由下圖可知，參數(shù) 不僅影響控制器的增益同時還影響控制器截止頻率的帶寬。 隨著 的增 加，控制器的增益和帶寬都會增加（基頻增益為不變）。將 代入傳遞函數(shù)，則有：根據(jù)對帶寬的定義， 時，此 時計算得到的兩個頻率之差即為帶寬,經(jīng)過計算得到準諧振控制器的帶寬為：Hz 。設(shè)電網(wǎng)電壓頻率允許波動范圍為 0.8Hz, 則 有 , 即4 準 PR 控制器的離散化模擬

7、控制器的離散化有兩種方式， 分別為脈沖 響應(yīng)不變法與雙線性變換法， 此處采用脈沖響應(yīng) 不變法對其進行離散化PR 控制器的數(shù)字實現(xiàn)方法主要有兩種，分別是采用 Z 算符和采用 算符對其進行離散化其中將上式通過脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)成 z 變換，得：設(shè)C=，則：=中設(shè) Y=GX ，則轉(zhuǎn)成差分函數(shù)后， 該式可表達成：其附錄 A 數(shù)字濾波器設(shè)計通常利用模擬濾波器的理論和設(shè)計方法來設(shè) 計 IIR 數(shù)字濾波器。其設(shè)計的過程是：先根據(jù)技 術(shù)指標(biāo)要求設(shè)計出一個相應(yīng)的模擬低通濾波器， 得到模擬低通濾波器的傳遞函數(shù),然后再按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將設(shè)計好的模擬濾波器的傳 輸函數(shù) 轉(zhuǎn)換成為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。轉(zhuǎn)換方法有兩種：

8、 脈沖響應(yīng)不變法和雙線 性映射法。利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器， 就是從已知 的模擬濾波器傳遞函數(shù) 設(shè)計數(shù)字濾波器傳 遞函數(shù)，這是一個由 s 平面到 z 平面的映射變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個基本原則：1. 的頻響要能模仿 的頻響，即 S 平 面的虛軸應(yīng)能映射到 z 平面的單位圓 上2. 的因果穩(wěn)定性映射到后保持不變，即 S 平面從左半平面 映射到 z 平面的單位圓內(nèi)A.1 脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器理論設(shè)計數(shù)字濾波器， 也就是 使得數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性， 這種 模仿可從不同角度出發(fā)。 脈沖響應(yīng)不變法就是從 濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)， 使數(shù)字濾波器的單位脈 沖響應(yīng)序列 模仿模擬濾波器

9、的沖擊響應(yīng) ，使 正好等于 的采樣值，即：T 為采樣周期。如以 和 分別表示 的拉氏變換及 的 z 變換，即：，按照采樣序列 z 變換及模擬信號拉氏變換的 關(guān)系，得：上式表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器 變換為數(shù)字濾波器時， 它所完成的 s 平面到 z 平 面的變換， 正是以前討論的拉氏變換到 z 變換的 標(biāo)準變換關(guān)系，即首先對 作周期延拓，然 后再經(jīng)過 的映射關(guān)系映射到 z 平面上。的映射關(guān)系表明，s平面上每一條 的橫帶部分，都將重疊地映射到 Z 平面的全部平 面上。每個橫帶在左半部分映射到 z 平面單位圓 以內(nèi)，每個橫帶的右半部分映射到 z 平面單位圓 以外， 軸映射在單位圓上，但 軸

10、上每一段 都對應(yīng)于繞單位圓一周。如下圖所示，相應(yīng)的頻率變換關(guān)系為： ，顯然 之間 為線性關(guān)系。（其中 為數(shù)字域頻率； 為模擬域 頻率）應(yīng)當(dāng)指出， 的映射關(guān)系反映的是 的周期延拓與 的關(guān)系，而不是 本身與 的關(guān)系，因此，在使用脈沖響應(yīng)不變法時， 從 到 并沒有一個由 S 平面到 Z 平面的 簡單代數(shù)映射關(guān)系，即沒有一個 的代數(shù) 關(guān)系式。另外，數(shù)字濾波器的頻響也不是簡單地重現(xiàn)模 擬濾波器的頻響應(yīng)， 而是模擬濾波器頻響的周期 延拓，周期為 。即根據(jù)香農(nóng)采樣定律， 如果模擬濾波器的頻響帶 限于折疊頻率 以內(nèi)，即,這時，數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模 擬濾波器的頻響（在折疊頻率以內(nèi)）,但任何一個實際

11、的模擬濾波器， 其頻響應(yīng)都不 可能是真正帶限的， 因此不可避免地存在頻譜的 交疊， 即頻譜混淆， 這時數(shù)字濾波器的頻響將不 同于原模擬濾波器的頻響而帶來一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大， 失真則越小，這時采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字 濾波器才能有良好的效果。A.2 雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是頻譜交疊產(chǎn)生 的混淆，這是從 S 平面到 Z 平面的標(biāo)準變換 的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的， 為了克服這一缺 點，設(shè)想變換分為兩步：1.將整個 S平面壓縮到 S1 平面的一條橫帶2. 通過標(biāo)準變換將此橫帶變換到整個 Z 平面 上去由此建立的 S 平面與 Z 平面一一對應(yīng)的單值 關(guān)系，消除

12、了多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。為 了將 S 平面的 軸壓縮到 S1 平面的 軸上的 一段上，可通過以下正切變換實現(xiàn)：此處 C 是待定系數(shù)，通常取 C=2/T 。用不同 的方法確定 C，可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù) 字濾波器的頻率特性在不同的頻率點有對應(yīng)關(guān) 系。經(jīng)過這樣的頻率變換，當(dāng) 在 段變化 時， 在 段變動，映射了整個 軸。將這 一解析關(guān)系延拓到整個 S 平面，即得到 S 平面 - S1 平面的映射關(guān)系：再將 S1 平面通過標(biāo)準變換映射到 Z 平面，即 令：最后得到 S 平面到 Z 平面的單值映射關(guān)系= 稱為雙線性變換雙線性變換法的主要優(yōu)點是不存在頻率混迭。 由于 S 平面與 Z 平面一一

13、單值對應(yīng)， S 平面的虛 軸（整個 ）對應(yīng)于 Z 平面單位圓的一周， S 平 面的 對應(yīng)于 Z 平面的 ； 對應(yīng) 于 Z 平面的 ，即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終 止于折疊頻率處， 所以雙線性變換不存在頻譜混 迭效應(yīng)?？款l率的嚴重非線性關(guān)系得到 S平面與 Z 平面 的單值一一對應(yīng)關(guān)系， 整個 軸單值對應(yīng)于單位 圓一周，這個頻率關(guān)系是 ，其中從左圖可以看出，在 0 頻率附近，和 接近于線性關(guān)系，當(dāng) 進一步增加時， 增長變得緩慢。當(dāng) 時， ， 終止于折疊頻 率處。所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超 過折疊頻率而混淆低頻部分的現(xiàn)象。正由于 和 之間的非線性關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的

14、幅頻響應(yīng) 有畸變。例如一個模擬微分器，它的幅度與頻率 是線性關(guān)系， 但是通過雙線性變換后， 不可能得 到 數(shù) 字 微 分 器 。 若 ： , 則另外，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)過雙線 性變換后， 濾波器不再有線性相位特征。 雖然雙 線性變換有這樣的缺點， 但它目前仍是使用最普 遍，最有成效的一種設(shè)計工具。這是因為大多數(shù) 濾波器都有分段常數(shù)的頻響特性， 如低通、高通、 帶通和帶阻等，他們在通帶內(nèi)要求一個衰減為 0 的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為 的常書特性， 這種特性的濾波器經(jīng)過雙線性變換 后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性 仍保持分段常數(shù)的特性。例如，一個考爾型的模擬濾波器

15、，雙線 性變換后，得到的 在通帶與阻帶內(nèi)都保持原 模擬濾波器相同的起伏特性，只有通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率以及起伏的峰 點、谷點頻率等臨 界頻率點發(fā)生了非 線性變化這種頻率點的畸變可通過預(yù)畸來加以校正。即將模擬濾波器的臨界頻率事 先加以畸變，通過雙線性變換后正好映射到所需 要的數(shù)字頻率上。附錄 B 雙線性變換法原理B.1 連續(xù)時間系統(tǒng) H(s) 的最基本環(huán)節(jié)連續(xù)時間系統(tǒng) H(s) 的極點有兩種情況；單重極點和多重極點。 但是一個多重極點環(huán)節(jié)可以看 成由多個單重極點環(huán)節(jié)級聯(lián)構(gòu)成， 例如對二重極 點有：因此，可以將一階環(huán)節(jié)看成是構(gòu)成 的最基本環(huán)節(jié)。 它對應(yīng)于一階 微分方程。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。若要將該系統(tǒng)離散化， 主要是對一次積分運算的離散化B.2 積分的數(shù)值計算與離散一階系統(tǒng)一次積分運算可以用梯形法做數(shù)值運算，即：將上式第二行的積分用梯形法近似，則有：該式即為一次積分運算離散化后的數(shù)值計算 公式，其中 T為取樣間隔。 將自變量符號中的 T 隱去，可寫成差分方程的習(xí)慣表達形式：兩 邊 取 單 邊 z 變 換 ， 并 考 慮 到y(tǒng)(-1)=x(-1)=0 ，有：整理得：也就是說，一次積分單元離散后是一個以系統(tǒng) 函數(shù) 表示的離散時間系統(tǒng)。因此，一次積 分運算可以用下圖所示的離散系統(tǒng)實現(xiàn)其數(shù)值 計算。B.3