李同林彈塑性力學(xué)平面問題極坐標(biāo)解答講解

1、第六章 平面問題極坐標(biāo)解答6 1 平面問題基本方程的極坐標(biāo)表示極坐標(biāo)系 or 與直角坐標(biāo)系 o x y間的關(guān)系式如圖 61 所示。x r cos ； y rsi n ；r2 x2 y2； tg 1 y（a）x1. 平衡微分方程我們在物體中取一單位厚度的微分體 abcd，如圖 體力分量分別為 Fr ， F 。該微分單元體 abcd 的中心角為 d ，內(nèi)半徑為 r，6 2 所示，其在 r ， 方向的外半徑為 r+dr 。列出平衡方程 Fr 0 和 F 0 ，即d dr s i nd2drsi nd2rrdr (r dr)dr rdrrrr r d dr cosdr dr cosd Fr (rd )

2、dr 0r2r 2 rdd dr c o s db）rco s r r dr (r dr)d r rd 2rr d dr sin d2r drsinF rd dr 0由于 d 是個小量，故取 sind d ，及 cosd 1，并略去三階以上微量，整理后2 2 2可得：r1rrFr 0rrr1r2 r F 0（61）rrr式（6 1）第一式中r r及r項為面積增大及方向變化而引起的，第二式中的 2 rr項則兩者兼有之。再由 Mc 0（C 為微分體形心） ，并略去高階微量，將再次證得剪應(yīng)力互等定理成立： r r 。2. 幾何方程在極坐標(biāo)中，用 u，v 分別代表 A 點的徑向位移和切向位移，即為極坐

3、標(biāo)的位 移分量。用 r 、 分別代表徑向正應(yīng)變和切向正應(yīng)變，用 r 、 r 代表剪應(yīng)變。它 們都是位置坐標(biāo) r ， 的函數(shù)。圖 6 3根據(jù)小變形條件，位移均為微量，在導(dǎo)出的過程中都略去高階微量，不計 的偏轉(zhuǎn)對其長度的影響。于是由圖 63 可得微元體的各應(yīng)變分量。 u u dr u ru r vA B AB BB AA r AB ABdrd)ADA D AD (D D GA A A ) AD AD AD vu rrd (r u)d v rdrde)r 1 2 BAF D A HDD AAA G A A GH在上幾式中，由于中均可略去。因此， u r r ；vdrrudr drru r故 u 1，

4、r u r ， r用極坐標(biāo)表示的幾何方程則為：vu；r r ；B E A A A B oAB E EF D HA B A H ud u v v u rd v d r r ru vruv rd，故 vr，于是在計算r u 項為徑向位移使半徑增大而引起的弧長增大部分； r 項為由于切向位置移動使徑向半徑偏斜而引起的整體剛性角位移，應(yīng)予減去。式( 6 2)第二式中62)第三式的 vr3. 本構(gòu)方程( Hooke 定律)是一個直角坐標(biāo)系x、y 分別換成 r 、 即可。于是有：因而只需將用由于極坐標(biāo)系也是正交坐標(biāo)系， 所以用極坐標(biāo)表示的 Hooke 定律與用直角坐標(biāo) 表示的形式不變。 顯然由于局部一點的

5、 r 坐標(biāo)仍 直角坐標(biāo)系表示的公式中的( 1)平面應(yīng)力問題E 2 r 1 2 rE263)r2(1 ) r用應(yīng)力分量表示應(yīng)變分量，則為：1r E ( r )2)平面應(yīng)變問題：E(1(1 )(1 2 )1r )；64)r1Gr6 5)E(1 ) (1 )(1 2 ) E r 2(1 ) r若用應(yīng)力分量表示應(yīng)變分量，則為：1E (1 )1；E (1 )1 Grr；66)4. 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程515)及平面問題直角坐標(biāo)系中，當(dāng)無體積力、或體積力為常量時，由式(式( 5 18)，可用應(yīng)力或應(yīng)力函數(shù)表示的連續(xù)性方程分別為)0g)面我們將上列方程變換成用極坐標(biāo)表示的形式。據(jù)式(a)得：co

6、ssinx21sin現(xiàn)求應(yīng)力函數(shù)cosh)(r, ) 對 x 及 y 的微分：yryy按照式(i)和( j )，則有11cossi ncossinxrrrr11si ncossincosyrrrr可得出的二階偏微分：211cossincossinj)i)也即：cossin2xysincossin cos sin2 sinsin cos 2 sin22coscossincos 2cos(k)cossin cossin22 sin cos應(yīng)用上式( k )中第一及第二式相加，并利用三角公式得l)因此，按照上式，在極坐標(biāo)中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程可表示為下式：1 1 22 2 2r 2 r r

7、r 2 212212 2 22 r r r 2 20 ( 6 7)此式即為極坐標(biāo)中平面問題的雙調(diào)和方程。若將此式展開，可得：4 4 24 2 444 22 2r r r42r4233rr2332rr1214 2 3r r r此外根據(jù)坐標(biāo)的幾何條件式(可以得出 以應(yīng)變表示的所應(yīng)滿足的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程62)，68)采用導(dǎo)出直角坐標(biāo)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的方法，則為：222 1 2 r 22 2 2r 2 r 2 2 r r21 r 1 2 r 1 r2r r r r r 269)為在極坐標(biāo)中將各應(yīng)力分量用應(yīng)力函數(shù)表示，可使 x 軸與 r 軸重合， y 軸與 軸重合(參考圖 61)，也就是使 = 0，則：2r (

8、 x) 0 2 y0 2( y ) 0 2 x02m)r ( xy ) 0x y 0應(yīng)用式( k)，并令式中 = 0 ，得21 1 22r r r 22r212rrr2610)若將上式代入平衡方程（ 6 1）將自動滿足。這就是極坐標(biāo)中 用應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)力 分量的表達(dá)式 。6 2 平面問題的極坐標(biāo)解法極坐標(biāo)軸對稱問題一、求解步驟與應(yīng)力邊界條件在極坐標(biāo)中，彈性力學(xué)邊值問題的解法仍然歸結(jié)為尋求一個應(yīng)力函數(shù) （r, ） ， 它除了必須滿足雙調(diào)和方程式（ 6 7）以外，還應(yīng)由式（ 610）求得的應(yīng)力分量 滿足應(yīng)力邊界條件。根據(jù)極坐標(biāo)的基本方程，其求解問題（應(yīng)力法）的步驟為：1）確定體力面力；2）選取以待

9、定系數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù)；3）寫出應(yīng)力分量的表達(dá)式，根據(jù)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程和應(yīng)力邊界條件確定待定常數(shù)二、軸對稱平面問題如果應(yīng)力分布對稱于 o 點且垂直于 r 平面的垂直軸：z 軸，應(yīng)力分量不依賴于 ，而只是r 的函數(shù)，則稱為 應(yīng)力分布軸對稱問題由于對稱， r 必定是零。這時平衡微分方程式（ 6 1）變?yōu)椋海ú挥嬻w力）d r r 0dr r當(dāng)應(yīng)力分布軸對稱的同時，如果位移也是軸對稱的，則稱為611）完全軸對稱問題 。對于平面問題則為完全軸對稱平面問題u u（r） ，6 2）變?yōu)椋河捎谳S對稱，這時有v0于是幾何方程式（durdr612）對于應(yīng)力分布軸對稱或完全軸對稱問題，d2 ； dr 2其應(yīng)力分量都由式（

10、610）得：1dr dr613）同時，雙調(diào)和方程（6 7）可以簡化為d2dr21 d d 21dd4r dr dr2 r dr1 d22d34 3 2 2 3dr r dr r dr r1ddr0 （ 6 14）這是一個變系數(shù)微分方程，也稱為 Euler 方程。將方程（ 614）化為常系數(shù)性微分方程，可引入一個新的參數(shù)t ln rt，并令：tre于是可得：dd dt1ddt drdd 1 ddr dtdr r dtdrd2ddr 2 d3d d2dr3r dt1 d 1 d d 1 d2r 2 dt 2d4d1dr dr2 dr r 21 d4d3d 26 11 dr4 r4 dt4 6 dt

11、3 11dt2 將上列各式代入式（ 6 14）則有： d4d34 dt 4 4 dt344 r dt其特征方程為：2r 2 dt r dr dtd1dtd6dtK 4 4K 3 4K 2d dt d3 3d2 2d3 3 3 2 2r 3 dt 3dt2 dtdd2t 2 0dt20，c）d）e）22或 K 2（K 2）2 0（f）這個方程有兩個重根，則 K = 0，K = 2，與重根對應(yīng)的積分為：0 t 0 t 2t e 1 ， te t ； e ，2t te ；所以式（a）的通解為At Bte2t Ce2t D（g）將tln r 代入，則上述通解可改寫為：22Alnr Br 2 lnr C

12、r 2 D（615）將式（ 6 15）代入應(yīng)力分量表達(dá)式（ 6 13）得，Ar 2 B（1 2lnr） 2C r2A2 B（3 2lnr） 2Cr 2（ 6 16）r r 0式中的待定系數(shù) A， B，C 可根據(jù)具體問題所給定的邊界條件予以確定。下節(jié)我們 舉厚壁圓筒問題為例。6 3 厚壁圓筒問題的彈性解考察一厚壁圓筒，管內(nèi)外沿軸向受均勻分布徑向壓力p1和 p2 （圖 65），其內(nèi)外半徑分別為 a 和 b 。厚壁筒一般認(rèn)為 b a 1.1 。管子長度很長，以致可以 認(rèn)為離兩端足夠遠(yuǎn)處的應(yīng)力和應(yīng)變分布沿長度方向沒有差異。9由對稱性可知，原來的任一橫截面變形后仍保持平面，沿管軸z 向可以假定沒有位 移

13、，即 w = 0。又由于構(gòu)件外形及載荷對稱于筒軸 z，因而應(yīng)力與應(yīng)變的分布對稱于圓筒中心軸線。則每一點的位移僅有徑向位移u，而環(huán)向位移 v = 0 ，且 u 僅是坐標(biāo) r 的函數(shù)于是 厚壁筒問題是一個完全軸對稱的平面應(yīng)變問題 。其應(yīng)力分量可由式( 6 16)來確定，Ar2B(1 2lnr) 2Cr2B(3 2lnr) 2Cr0而式中的特定系數(shù)A、B、 C 可由下述邊界條件來確定，即： () r r a代入上式有：A2 B(1 2lna) 2C a2 Ap1 ；( r )r bp1；p22 B(1 2lnb) 2Cp2b2上式中有三個待定系數(shù)，而只有兩個邊界條件。因為這是一個多連域問題，還應(yīng)考

14、查位移單值條件。b)10u 與極角 無關(guān)，所以幾何方程式（ 6 2）可簡化由環(huán)向位移 v = 0，且徑向位移 為式（ 612）：dudrE (1 )(1 )rd）再將應(yīng)力分量的表達(dá)式6 16）代入上式（ d）的第一式，并對其積分得：u1 rEB2(1 2 )lnr 1 2C(1 2 ) De）duur；dr ； r；r0（c）將平面應(yīng)變的物理方程代入上式，則有式中的 D 為積分常數(shù)。將式（ 6 17）再代入式（ e）的第二式，則有：f）1A2 B2(1 2 )lnr (3 4 ) 2C(1 2 )Er 2比較式（ e）與式（ f），可以看出由它們算得的同一點的位移u 是不相同的，這說明對多連域

15、出現(xiàn)了位移的多值解答。顯然根據(jù)位移的單值性條件， 則必須使上述兩位移表達(dá)式一致，D = 0 。由此，徑向位移表達(dá)式，可寫為u 1 A因此必有 B = 0，2 C（1 2 ）Er6 16），則應(yīng)力分量為A2r把 B = 0 代入式（A2r以 B = 0 代入邊界條件式（ c）可解得： Aa2b2（p1 p2）2C ；2C ；617)g）22ba把 A 、 C 值代入式（ h ），并由 z力公式解為（ Lame 公式）：a2 p1b2 p20，2(b2 a2 )則得承受內(nèi)、外均勻壓力的厚壁圓筒的應(yīng)1122p1ap2b(p1 p2 )a2b2b2 ap1a2 p2b2 2 2(b a )r22(p1

16、 p2)a b把 A、C 值代入式E (1b2 a22 2 2(b2 a2)r 2618)617）得到平面應(yīng)變軸對稱問題的徑向位移公式：2 )(p1a2 p2b2)r (p1 p2)a2b22 ) 2 2 2 2b a (b a )r619)如果為厚壁圓環(huán)，即平面應(yīng)力問題，則應(yīng)力分量為：p1a2p2b2(p122p2)a br b2a2(b2a2)r2p1a2p2b2(p1p2)a2b2b2a2(b2a2)r2z0其徑向位移公式推導(dǎo)方法相似，而徑向位移公式則變?yōu)椋?(p1a2 p2b2)r(p1 p2)a2b2(1 2 ) 1 2 22(1 ) 1 2 2 2Eb2 a2(b2 a2 )r62

17、0)在實際問題中最常見的是只有內(nèi)壓的情況，如壓力油缸、高壓容器、油氣井和 煤層氣井的水力壓裂等都屬于這種情況。這時在公式（ 到應(yīng)力公式為：618）中，令 p2 0 ，得2p1a222ba2 p1a 22 ba22 p1a b 2 2 2(b2 a2)r 222p1a b(b2 a2)r 2122p1a222ba2 p1a 22 bab22 r b2 r2621) 0，永為拉應(yīng)力 。式中的 r 值恒滿足 arb，所以此時： r z r 。因此 1 ， 2r。當(dāng) p 逐漸增大，圓筒開始屈服時，應(yīng)力應(yīng)該滿足屈服條件。把式（ 條件：a）代入 Mises3b2sprb）b22 1a2 1c）圓筒首先在r

18、 = a 處屈服，這時的壓力p pe，即為 彈性極限載荷：psa1 ab23622)當(dāng) b 時， pe 3 ，由此可知，在彈性無限空間內(nèi)的圓柱形孔洞受內(nèi)壓時（如隧道），其內(nèi)表面開始屈服時的壓力值與內(nèi)孔的半徑無關(guān)。實際上，對于厚壁來說，b 比較小，只加大筒的外半徑b，并不會明顯提14高圓筒的彈性極限壓力s時， pe3 ，只提高彈性93a 1 8 s例如當(dāng) b 3 時， pe。而當(dāng)極限荷載約 11%因此，不能只是加大筒的厚度來提高厚壁筒的強(qiáng)度。如采用兩個或兩個以上的 圓筒以過盈配合的方法構(gòu)成組合厚壁筒，其應(yīng)力分布將比單一的整體厚壁筒合理。、彈塑性解 （ pe p ps ）：當(dāng)內(nèi)壓力達(dá)到 pe 時，

19、在圓筒的內(nèi)壁開始產(chǎn)生塑性變形。隨著p 的增大，將在c的crb 為彈性靠近內(nèi)壁處形成塑性區(qū)。由于對稱，彈塑性區(qū)交界線必為一個半徑為某一數(shù)值 圓。于是圓筒分為兩個環(huán)狀區(qū)域（見圖67）：arc 為塑性區(qū)；區(qū)。如略去體力，在塑性區(qū)平衡方程為d r r dr r 將 Mises 屈服條件（ b ）代入（ d） d2r 2 s 0 ； dr 3 r ；為得式中 A 為積分常數(shù)，由邊界條件定出。2r s ln p3a上式（ f ）代入式（ b），得：22r s s p23ralnr A時， rd）e）p A ，因此：3 3 3 在彈塑性交界處 r = c 處的應(yīng)力為：2 cpln r 2 sa3r1 ln

20、ra p （ g）ln cah）15因而，對于外層彈性區(qū)來說，c 就是作用到該區(qū)內(nèi)側(cè)的徑向壓力，此時問題轉(zhuǎn)化為外半徑為 b，內(nèi)半徑為 c的圓筒， 受內(nèi)壓力 c作用的彈性極限問題， 見圖 67 也即按式 622，將 a 換成 c， pr 換為 c得：因而在 r = c 處，c2b2r 必連續(xù)，由式（i）與（ h）相等，可得3p2s s c應(yīng)滿足的方程，此乃一超越方程，當(dāng)給定ln c 1a2 c b2這是彈塑性交界線 出 c 值。當(dāng) c 和 c 算出后，容易由彈性公式計算出彈性區(qū)的應(yīng)力 綜上所述，塑性區(qū)（arc）的應(yīng)力解為：2rln p ；3 a ；（i）（ 6 23）p 時，可用數(shù)值法求s(1

21、ln a) p ；624)三、塑性解 （ p ps ）：當(dāng)載荷繼續(xù)增加時， 塑性區(qū)逐漸向外擴(kuò)大。 當(dāng)其前沿一直擴(kuò)展到圓筒的外側(cè)時， 整個圓筒全部進(jìn)入塑性狀態(tài)，這種狀態(tài)稱為 塑性 極限狀態(tài) 。在極限狀態(tài)以前，由于有外側(cè)彈性區(qū)的約束，圓筒內(nèi)側(cè)塑性區(qū)的變形與彈性變 形為同量級。從極限狀態(tài)開始，圓筒將開始產(chǎn)生較大的塑性變形，成為無約束性流動。16極限狀態(tài)是從正常工作狀態(tài)轉(zhuǎn)向喪失工作能力的一種臨界狀態(tài)，與之對應(yīng)的載 荷，稱為 （塑性）極限荷載 ，用 Ps 表示。ps由（ 6 23），使 c = b，得 ps為：625)本節(jié)計算過程中采用了Mises 條件，如采用 Tresca條件，則屈服條件為：當(dāng) 12

22、 時，2sMises 條件為 r 3 ）在所有公式中將6 5 半無限平面體問題對于地基土體承受建筑物作用和大尺寸薄板邊界受作用于板的中面載荷等問 題，均屬于 半無限平面體受載問題 。以下按平面應(yīng)力問題來討論，其結(jié)果同樣可轉(zhuǎn)化到平面應(yīng)變問題。我們先從楔 形尖頂承受載荷作用這一問題著手。一、楔形尖頂承受載荷 P 作用如圖 69 所示楔形截面的長柱（取單位厚度的柱體研究） ，在頂端受均布垂直 荷載 P 力的作用?？筛鶕?jù)量綱分析，選取應(yīng)力函數(shù)為：Ar sin（a）上式滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 40 ，且由式（ 6 10），得：2Ar cos ； r；0 ； r 0（b）17r 的分布其上的分布顯然上述應(yīng)力分量

23、，滿足在楔形體的外緣邊上無外力作用的邊界條件，且 對稱于 x軸，M 點的應(yīng)力隨 r 增大而減小。現(xiàn)在我們來確定待定常數(shù) A。為此我們?nèi)∫话霃綖?r 的弧形面 mn， 應(yīng)力的合力應(yīng)與 P 力相平衡，得：18ar cos rd P 0c）代入式（ b），積分得2AP( sin2 )2，所以1si2cosn2 )r627)在上式中 r0， r 。這說明，在楔頂載荷 P 作用點處應(yīng)力無窮大，此解答不適用。但根據(jù)圣維南原理除去在作用點附近的一個小扇形區(qū)，其解答仍然不失為精確 解。二、半無限平面體邊界上承受載荷P 作用現(xiàn)在來考察一半無限大板，在其水平邊界 AB 上受力 P 的作用，見圖 6 10 取板厚為

24、單位厚度， P 為均勻分布在單位厚度上的力。1. 應(yīng)力： 利用式（ 6 26），設(shè)/ 2 ，則可得到上述問題應(yīng)力解答2P cos628)這個解滿足邊界r設(shè)作直徑為 d 的圓周，圓心在 圓周上任一點 M ， r dcosx 軸上，與 y 軸相切于 o 點，見圖 6 10，對于這從式（ 6 28）得2Pd）19由此可知，除荷載作用點外，此圓上各點的應(yīng)力 r 均相等，即此圓為徑向應(yīng)力等值 軌跡線。在光彈性試驗中稱為 等差線（等色線） ，線上各主應(yīng)力之差相等。上述用極坐標(biāo)系表示的各應(yīng)力分量轉(zhuǎn)變到直角坐標(biāo)系上去：xyr cos22 r sinr sin cos2Pcos32P x32 2 2r (x y

25、 )2Psin 2 cos 2Pxy22 2 2r(x2 y2 )22Psin cos22P x2 y2 2 2r(x2 y2 )2629)當(dāng) = 0 時，應(yīng)力x 為最大，這時 r = x ，則x )max2P Px 1.57xe）yx3 時，應(yīng)力xy 為最大，其值為202. 位移： 現(xiàn)在來求位移分量。將廣義虎克定律和幾何方程代入式（627）得u 2PcosEru 1 v 2 PcosrrErg）rr將式（ g）的第一式積分，得：2Ph）cos lnr將式（ h）代入（ g）的第二式，并積分得：v 2 PsinE2PEsin ln r f( )d g(r)將式（ h）、（ i）代入（ g）的第

26、三式，簡化并乘以 r 后得：g(r) rg (r) f ( )f ( )d2(1 )PEsin 0j）上式前兩項只是 r 的函數(shù)，方括號中各項只是 的函數(shù)，而 r、 又是互不依賴的兩 個變量，因此要上式（ j ）成立，必有下列兩個方程：21g(r) rg (r) K 2(1 )f ( ) f ( )d Psin K(k)E式中 K 為常數(shù)。解微分方程( k)得g(r) Cr K(1 )Pf ( ) As i n Bc o s s i n(l)E其中 K、A、B、C 均為任意常數(shù)， 可由問題的約束條件與對稱性來確定。先將式(l)分別代入式( h)、( i)得2P (1 )P u cos ln r

27、 sin Asin Bcosm)EE2P (1 )P (1 )Pv sin lnr cos sin Acos Bsin Cr E E E面我們來確定式中常數(shù) A、 B、 C(1)首先，我們假定半無限平面體受到約束，不能沿x或 y方向作剛體位移。又由于問題的對稱性，因而在對稱軸( x 軸)上各點沒有側(cè)向位移，即：在 = 0 處，v = 0。于是根據(jù)式( m)第二式得： A + Cr = 0，因為此式中的 r 可以是任意值， 故欲使此式成立，必有：A = 0 ； C = 0(n)2) 從實際位移情況，我們假設(shè)在x 軸上距 o 點足夠遠(yuǎn)的 h 處無豎向位移，即徑向位移 u = 0。將 = 0，r =

28、 h以及 A = 0 代入式( m)第一式得2PB ln hE將所求得積分常數(shù)代入式( m)，得各位移分量為2P h (1 )Pu cos ln sinE r E2P h (1 )P (1 )Pv sin ln cos sinE r E Eo)629)請注意半無限平面體內(nèi)各點位移分量符號及其正方向，如圖6 13 所示22現(xiàn)在我們應(yīng)用上式（。于是有629）來求自由邊界 AB 上各點的豎向位移（即所謂沉陷(v)22EP ln hr (1 E)P( )(630)當(dāng) r = 0，得 v ，因此必須假定力 P 作用點附近區(qū)域被小半徑的圓柱面切去， 而不予考慮。邊界 AB 上各點豎向位移的大略圖線，如圖

29、6 14 所示，其中所示的漸近線為x 軸的對數(shù)曲線。還應(yīng)當(dāng)指出，一般為了實際應(yīng)用的目的（例如在土力學(xué)中，求地基的沉陷），我們可以取自由邊界上的一點作為基點（如圖614 中的 B 點），求任 意點 M 對該點的相對位移（即 相對沉陷量 ） ，消去 h 得：p）631)E、 換為2P slnEr對于平面應(yīng)變問題，將上述平面應(yīng)力問題所得結(jié)果的位移分量公式中的23E2(1 2 )（1 ） 即可。例如在平面應(yīng)變情況下，式（ 631）應(yīng)改寫為2(1 2)Pln sr632)三、半無限平面體邊界上承受分布載荷q 作用由以上結(jié)果不難利用疊加原理推廣到半無限平面體上邊界有多個載荷或分布載 荷作用的情況。6 15

30、），則由圖得出： dy設(shè)在上邊界有分布載荷作用rdcos，于是有：qdyqrdq）cos以 qdy代替式（ 628）中的 P，便得到 qdy 作用下各點之應(yīng)力。如載荷從 布到 b，且 q 為常數(shù)，則任一點的應(yīng)力由下列公式確定：a 均勻分2 2 2 qcos d12 2 qsin2 d1xy22qsin cos1q2 q (2 sin2 ) 212q (2 sin2 )2dqcos22633)為以后引出塑性平面應(yīng)變問題，以上為彈性解。見圖 6 15，則根據(jù)二維空間的主應(yīng)力計算可得1在此作進(jìn)一步討論： 如令 2 1 ，24q ( si n )q( si n )r）對于不可壓縮材料，平面應(yīng)變問題，其

31、垂直半無限體方向 （即 z 向）的應(yīng)力 z，（因 為對稱）必為主應(yīng)力。且有：z) 1()2s）由此可見 z 數(shù)值上等于 與 的平均值，故必為中間主應(yīng)力。則知2 z ， 3 ，由此得最大剪應(yīng)力max 1( 1 3) q sin2634)當(dāng) 2 時，最大剪應(yīng)力達(dá)最大值。當(dāng)外載荷不斷增加，則必將當(dāng)荷載達(dá)到某一數(shù)值時，在介質(zhì)中的某一點處，開 始出現(xiàn)塑性區(qū)。由式（ 634）可知，材料的屈服首先在 a、b 兩點發(fā)生，并且由于 應(yīng)力集中， a、b 點的實際應(yīng)力將高出于計算應(yīng)力數(shù)倍（圖6 16），材料在此處首先屈服。這一問題的進(jìn)一步塑性分析及極限狀態(tài)的討論請參閱第十二章。6 6 圓孔孔邊應(yīng)力集中在工程結(jié)構(gòu)中，

32、經(jīng)常要求在構(gòu)件中加工開孔。由于孔口的存在破壞了材料的連 續(xù)性，從而引起了在孔邊應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象，這就是材料力學(xué)中介紹過的 應(yīng)力集 中。應(yīng)力集中對于構(gòu)件的強(qiáng)度，特別是對交變應(yīng)力下的持久極限產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。25彈性力學(xué)的方法可以對孔邊應(yīng)力集中作定量的計算。 本節(jié)討論左右邊界受均勻拉力作用帶孔平板的應(yīng)力集中問題。 設(shè)孔為圓形，半徑為 a，且半徑 a 遠(yuǎn)小于板的長度與寬度，故可將該平板作為 無限大平板處理。然后再討論相對有限大平板解的精確性(圖6 17)。由圣維南原理可知，在遠(yuǎn)離小孔的地方，孔邊局部應(yīng)力集中的影響將消失 于無孔板來說，板中應(yīng)力為：x q ； y 與之相應(yīng)的用極坐標(biāo)的應(yīng)力函數(shù)則為：1

33、2 1 2 2 1 20 qy2qr2s i 2nqr2(1 c o2s )2 2 40 ； xy 0a)b)用極坐標(biāo)表現(xiàn)在參照上述無孔板來選取一個應(yīng)力函數(shù) ，使它適用于有孔板 示的應(yīng)力函數(shù)為：f1(r) f2(r)cos2c)將式( d)代入應(yīng)變協(xié)調(diào)方程40，即( 6 7)，得：d221ddrd2 f22drd2 f12r dr dr1 df2 r dr 2因上式要求對所有的1 df1 r dr4f22rddr22dr 21dr drr2cos2 0d)均應(yīng)滿足，則 co s2 0，故有：26d2dr2d2dr21dr dr1 d 4 r dr r 2d2 f1 1 df1dr 2 r dr

34、d2 f2 1df2 4f2dr 2 r dr r 2e）上式（ e）第一式為歐拉線性方程，已于軸對稱問題中解得，則由式（ 解為：615）得通22f1 C1 C2 lnr C3r 2 C4r 2 lnr上式( e)第二式也為歐拉線性方程。現(xiàn)采用特解法，設(shè)其特解為2 2 2d f2 1 df 4f n 2222 n(n 1) (n 4)r n 2 (n 2)(n 2)rdr r dr rd2 1 d 4 n 22 2 (n 2)(n 2)rdr 2 r dr r 2f2 rn2（f），于是有：g）(n 2)(n 2)(n 2)(n 3) (n 2) 4r n 4 (n 2)n(n 2)(n 4)

35、r其特征方程為：n1 于是得式（ e）n 4 0(n 2)n(n 2)(n 4) 0 ，因而得：2 ， n2 0 ，第二式的通解為：C52 C6rn3 2 ， n4 4。C7r 2 C8r4h）i）則由式（ c）得：C1 C2 ln r C3r 2 C4r2 lnr C25 C6 C7r 2 C8r4 cos25r2j）代入式6 10)求得應(yīng)力分量為：1C2 2 2C3 C4(1 2ln r) r21C2 2 2C3 C4(3 2ln r) r26C5 2C624526 2C7 6C8r 2rr可以根據(jù)下列條件確定：上式中的常數(shù)6C5 4C4r6C54r2C72C7 cos212C8r2 c o2ss i 2n（ 1）當(dāng) r 時，應(yīng)力應(yīng)保持有限值，不能無限制地增長，因此 的系數(shù)應(yīng)為零，即： C4 C8 0 。ln r 、r 2 項前2）當(dāng) r a 時， r r 0，則有：272C3 C22 0 ； a6C5 4C62C74526 0