lesson9插值與數(shù)據(jù)擬合建模

1、插值與數(shù)據(jù)擬合建模 插值與數(shù)據(jù)擬合就是通過一些已知數(shù) 據(jù)去確定某類函數(shù)的參數(shù)或?qū)ふ夷硞€近似 函數(shù)，使所得的函數(shù)與已知數(shù)據(jù)具有較高 的精度，并且能夠使用數(shù)學(xué)分析的工具分 析數(shù)據(jù)所反映的對象的性質(zhì) 幾種常用的方法： 1、一般插值法 2、樣條插值法 3、最小二乘曲線 4、曲面的擬合 一、基本概念 1、插值問題： 不知道某一函數(shù)f(x)在待定范圍a,b上 的具體表達(dá)式，而只能通過實(shí)驗(yàn)測量得到該 函數(shù)在一系列點(diǎn)ax1, x2 , ., xn b上的值 y0, y1, y2, ., yn，需要找一個簡單的函數(shù)p(x) 來近似地代替f(x)，要求滿足： p(xi)=yi (i=1,2,.,n) 2、插值函數(shù)

2、：p(x) ， 3、插值法：求插值函數(shù)p(x)的方法 二、常用插值函數(shù) 1、多項(xiàng)式函數(shù) 2、樣條函數(shù) 1、多項(xiàng)式插值方法 （1）n次代數(shù)插值 （2）拉格朗日插值 幾點(diǎn)說明： （1）拉格朗日插值基函數(shù)僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而 與被插值函數(shù)f(x)無關(guān)。 （2）拉格朗日插值多項(xiàng)式僅由數(shù)對(xi,yi)(i 1,2,n)確定，而與數(shù)對排列次序無關(guān)。 （3）多項(xiàng)式插值除了上述插值法外還有其它 插值法，如newton插值法、hermite插 值法等。 二、常用插值函數(shù) 1、多項(xiàng)式函數(shù) 2、樣條函數(shù) 2、樣條插值方法 （1）樣條函數(shù)m次半截冪函數(shù) （2）k次b樣條或k次基本樣條函數(shù)的定義 （一）廣泛使用的樣條函數(shù)

3、 （1）廣泛采用：二次樣條、三次樣條及二次樣條、三次樣條及b樣條樣條。 （2）力學(xué)意義： a:二次樣條在力學(xué)上解釋為集中力偶作用 下的彈性細(xì)梁撓度曲線。 b:彈性細(xì)梁受集中載荷作用形成的撓度曲 線，在小撓度的情況下，恰好表示為三 次樣條函數(shù)，集中載荷的作用點(diǎn)，恰好 就是三次樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)。 （1）二次樣條的定義 設(shè)a,b 的一個劃分：a=x0 x1, x2 , ., xn= b， 函數(shù)f ( x )各節(jié)點(diǎn)的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果二次樣條函數(shù)： 滿足： s ( xi )=yi (i=1,2,.,n) （2）三次樣條函數(shù)的定義 設(shè)a,b 的一個劃分：a=x

4、0 x1, x2 , ., xn= b， 函數(shù)f ( x )各節(jié)點(diǎn)的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果三次樣條函數(shù)： 3 滿足： s ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 三、曲線擬合最小二乘法 最小二乘法的一般提法是： 對給定的一組數(shù)據(jù)(x i , y i )(i0，1， 2，m)，要求在函數(shù)類=1， 2， n中找一個函數(shù)ys*(x)，使誤差平方和最 ?。?其中： 例1 在一個scs系統(tǒng)中，根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得輸 出信號與時間關(guān)系如下表所示，求輸出信號 y與時間t的擬臺曲線yf ( t )。 案例1 估計(jì)水箱的水流量模型 長度單位：e(3024cm) 容積單位：g

5、(=3.785l(升) 某些鎮(zhèn)的用水管理機(jī)構(gòu)需估計(jì)公眾的用水速度(單 位是g/h)和每天總用水量的數(shù)據(jù)許多地方?jīng)]有測量 流入或流出水箱流量的設(shè)備，而只能測量水箱中的水 位(誤差不超過5%)當(dāng)水箱水位低于某最低水位l時， 水泵抽水，灌入水箱，直至水位達(dá)到最高水位h為止。 但這也無法測量水泵的流量，因此在水泵啟動時不易 建立水箱中水位和水泵工作時用水量之間關(guān)系。水泵 一天灌水12次，每次約2h。試估計(jì)在任意時刻(包括 水泵灌水期間)t流出水箱的流量f(t)，并估計(jì)一天的總 用水量。 案例1數(shù)據(jù) 表中給出了某鎮(zhèn)中某一天的真實(shí)用水?dāng)?shù)據(jù)，表中測 量時間以s為單位，水位以10-2 e為單位例如3316s以

6、 后，水箱中的水深降至3110 e時，水泵自動啟動把水 輸入水箱；而當(dāng)水位回升至35.5e時水泵停止工作。 1、模型假設(shè)（1） 1）除了問題中特別說明的數(shù)據(jù)以外，其它給 定的數(shù)據(jù)其測量誤差不超過5 2）影響水箱流量的唯一因素是該鎮(zhèn)公眾對水 的普通需要所給的數(shù)據(jù)反映該鎮(zhèn)在通常 情況下一天的用水量，不包括任何非常情 況如水箱中水的短缺、水管破裂、自然 災(zāi)害等 一個物理定理 1、模型假設(shè)（2） 3）水泵的灌水速度為常數(shù)，不隨時間變化也 不是巳灌水量的函數(shù)，因此假設(shè)水泵大約 在水位27e時開始灌水，在水位355e時 停止灌水同時假設(shè)水泵不會損壞或不需 要維護(hù) 4）從水箱中流出的最大流速小于水泵的灌水

7、速度為了滿足公眾的用水需求不讓水棺 中的水流盡 1、模型假設(shè)（3） 5）每天的用水量分布都是相似的因?yàn)楣?對水的消耗量是以全天的活動(諸如洗澡、 做飯、洗衣服等)為基礎(chǔ)的，所以每日用水 類型是相似的 6）水箱的流水速度可用光滑曲線來近似每 個用戶的用水需求量與整個鎮(zhèn)的用水需求 量相比是微不足道的，而且它與整個鎮(zhèn)需 求量的增減情況是不相似的 2、問題分析 3、水流量與時間關(guān)系 中心差分公式： 用來計(jì)算每一組的中間數(shù)據(jù)點(diǎn)的水流量。 對每一組數(shù)據(jù)的前兩個和最后兩個數(shù)據(jù)點(diǎn)， 采用向前和向后差分公式 4、數(shù)值決定的水流量-時間圖 5、三次樣條擬合 6、對水泵兩段充水時間的處理 （1）第一次平均水流量： （2）第二次平均水流量： （3）平均水流量： 7、一天總用水量 8、檢驗(yàn) 以不同的時間為起點(diǎn)得到的一天總用水量相差多少 一個物理定理 由托里查里(torricelli)定律知，從水箱中 流出水的最大速度與水位高的平方成正