絕對(duì)值常考題型分析

1、絕對(duì)值常考題型分析1. 理解絕對(duì)值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對(duì)值的非負(fù)性2. 體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用知識(shí)梳理一.知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖:二.絕對(duì)值的意義:(1) 幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值, 記作|a|。(2) 代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零。(當(dāng)4為正數(shù))也可以寫(xiě)成：11= 0(當(dāng)“為0)-。(當(dāng)a為負(fù)數(shù))說(shuō)明：(I ) a20即|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù); (ID |a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。例題精講【題目】已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：ba 0 c則代數(shù)式丨a丨+丨a+b ! + I c-a

2、 | - b-c |的值等于()【選項(xiàng)】A. -3a B. 2c-a C. 2a-2b D. b【答案】A【解析】 a I + I a+b + | ca - | b-c | =-a- (a+b) + (ca) +b-c=-3a分析：解絕對(duì)值的問(wèn)題時(shí)，往往需要脫去絕對(duì)值符號(hào)，化成一般的有理數(shù)計(jì)算。脫去絕對(duì)值 的符號(hào)時(shí)，必須先確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)各個(gè)數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義脫去絕對(duì)值 符號(hào)。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置判斷絕對(duì)值符 號(hào)內(nèi)數(shù)的符號(hào)，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)，完成化簡(jiǎn)。此題的求解使用了數(shù)形結(jié)合思想。【知識(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難

3、度系數(shù)】3【題目】已知：xO0,且 | y | |z | |x |,那么 x+z + y + z-x- y的值()【選項(xiàng)】A.是正數(shù)B.是負(fù)數(shù) C.是篆 D.不能確定符號(hào)【答案】C【解析】由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：所以卜+計(jì)+卜+十卜-y|= x+z-(y + z)-(x-y)-yqz*=0I分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個(gè)看似復(fù)雜的不等關(guān) 系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了 X、y、z三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡(jiǎn)鋪平了道路。 雖然例題中沒(méi)有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的意識(shí)?！局R(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3

4、【題目】已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的3倍.且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩 側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為&求這兩個(gè)數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢）【答案】（1） 6和-2或-6和2； （2） 12和4或-12和-4【解析】分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)” 意味著甲乙兩數(shù)符號(hào)相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰(shuí)是正數(shù)誰(shuí)是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論 的數(shù)學(xué)思想解決這一問(wèn)題。解：設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y由題意得：|x| = 3|y|,（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：若x在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即x0,則4y=8,所以y=2 ,x= -6若x在原點(diǎn)右側(cè)，y在

5、原點(diǎn)左側(cè)，即x0, y0,則-4y=8 ,所以y=2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即x0, y0, y0,則2y=8,所以y=4,x=12此題的解答使用了分類討論的思想?！局R(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【題目】方程卜一2008（ = 20087 的解的個(gè)數(shù)是（）【選項(xiàng)】A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D.無(wú)窮多個(gè)【解析】分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個(gè)整體，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求 方程a = -a的解，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對(duì)值等于它的相 反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題的

6、答案為D?！局R(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【題目】已知Iab-2i與51；互為相互數(shù)，試求下式的值.1 1 1 1+ + + . . +ab (a + l)(b + l) (a + 2)(b + 2)(a+ 2007)(/?+ 2007)【解析】分析:利用絕對(duì)值的非負(fù)性，我們可以得到：ab-2| = |a-l|=0，解得：a=l,b=271111T + + + 、 ab (a + l)(b + l) (a + 2)(b + 2)(a+ 2007)0 +2007)111 1=+F+2 2x3 3x42008x200911111 1 1=11J- 4223342008

7、2009=12009_ 2008-2009絕對(duì)值的非負(fù)性，是處理絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)，常常需要想到的。在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過(guò)程中，我們采用了裂項(xiàng)的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果.同學(xué)們可以再深入思考， 如果題目變成求1 1 1 1+F +值，你有辦法求解嗎有興趣的同2 x 44 x 66 x 82008 x 2010學(xué)可以在課下繼續(xù)探究?！局R(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】4【題目】觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離4與一2, 3與5, 2與一6, 4與 3.并回答下列各題：(1) 你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎答：.(2) 若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x,點(diǎn)B

8、表示的數(shù)為一1,則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為(3) 結(jié)合數(shù)軸求得卜一2|+卜+3|的最小值為,取得最小值時(shí)x的取值范圍為(4) 滿足卜+ 1| +卜+ 4|3的兀的取值范圍為【答案】(1)相等；(2) lx-(-l)l=lx + ll;(3) 5； 3WxW2； (4) x:0-10 x當(dāng)x-l時(shí)，距離為-x-1,當(dāng)-lx0,距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為| x+1 | x-2|即x與2的差的絕對(duì)值，它可以表示數(shù)軸上x(chóng)與2之間的距離。卜+ 3| =卜一（一3）|即x與-3的差的絕對(duì)值，它也可以表示數(shù)軸上x(chóng)與-3之間的距 離。如圖，X在數(shù)軸上的位置有三種可能:圖2符合題

9、意同理|x + l|表示數(shù)軸上x(chóng)與-1之間的距離，|x + 4|表示數(shù)軸上x(chóng)與-4之間的距離。本題 即求，當(dāng)x是什么數(shù)時(shí)x與-1之間的距離加上x(chóng)與-4之間的距離會(huì)大于3。借助數(shù) 軸，我們可以得到正確答案：x-lo說(shuō)明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對(duì)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問(wèn)題，反之，有關(guān)數(shù)軸上 的距離問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值問(wèn)題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問(wèn)題時(shí)可以帶來(lái)方便。事實(shí) 上，|4 B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離。這是一個(gè)很 有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識(shí)解決了（3）、（4）這兩道難題?！局R(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】4

10、習(xí)題演練【題目】若 “2黑則 lxl + lx-ll + lx-2l + lx-3l + lx-4l+lx-5l + lx-6l=【答案】1212002【解析】lxl + lx-ll + lx-2l + lx-3l + lx-4l + lx-5l + lx-6l= x+x- + x-2+3-x+4-x+5-x+6-x=15-戈=12!2002【知識(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【題目】數(shù)2003是()【選項(xiàng)】A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非正數(shù) D零【答案】cI f斗【解析】利用k/l，40,知一0,則=不為正整數(shù)；4x4x 2亠l3x-IxII 13x + xI -4x十看

11、罰若*0,則=一1不為正整數(shù).4x4x 4xI 3 r_ I v II故使代數(shù)式竺空的值為正整數(shù)的X值不存在。 4%【知識(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【題目】已知a,b,c都是負(fù)數(shù)，并且lx dl + ly4 + lz小=0,則心它是()【選項(xiàng)】A負(fù)數(shù) B非負(fù)數(shù) C正數(shù) D非正數(shù)【答案】A【解析】由絕對(duì)值的非負(fù)性，I x-a|=O. | y-b|=O, z-c =0故 x=a, y=b, z=c, xyz=abc 為負(fù)數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí) 【難度系數(shù)】3【題目】已知dl,15c5O,avbc,貝 ia + b + c-b-c-

12、a-c- 的最小值是,敲大值是【答案】2, -1【解析】I d+/?+cl l 方cl I ac II =(a + b + c) + (b-c)+(ac l) = -3c-ll-lc0,則 b0, I丄一11 + 1 匕一21=1 巴一 1I + I_#_2I bbbb=| 一丄-ll + l 丄一2|=32 2【知識(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【題目】如果“ + /?-c0,G-b + c0,-+b + c0,/ b 2002 仿)【選項(xiàng)】【答案】A【解析】已芻？占均為1或t，于是口嚴(yán)，(芻嚴(yán),(嚴(yán)均為i.即可得答案。11 b Iclab I cl【知識(shí)點(diǎn)】和

13、絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【題目】If a.b, c, d are rational numbers,and16/ - Z? - c + i/1= 25, then b-a-d c 1=【答案】-7【解析】近年來(lái)，每年希望杯都會(huì)有英語(yǔ)題。這需要學(xué)生對(duì)于一些數(shù)學(xué)名詞的英語(yǔ)要了解, 比如rational numbers是實(shí)數(shù)的意思。另外還需要知道lx ylSlxl + lyl (畫(huà)出數(shù)軸，分析可得)于是 25 = |(a-b)-(c-d)|6/-/?l + lc-JI-7【知識(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【題目】已知a,b,c都是整數(shù)，匸

14、l + 4 + cl + ld cl,那么【選項(xiàng)】A .m 定是奇數(shù).一定是偶數(shù).C.僅當(dāng)a,b,c同奇或同偶時(shí)，m是偶數(shù).的奇偶性不能確定【答案】B【解析】若a,b奇偶性相同，則b-cfa-c奇偶性相同，a+b,b-c + a-c為 偶數(shù)，m為偶數(shù)。若a,b奇偶性不同，則b-cAa-c奇偶性不同，a+bfb-c + a-c都為奇數(shù)，m為 偶數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【題目】如果I加-31 +( + 2)2 = 0,則方程3mx +1 = x +加I勺解是3【答案】x = -8【解析】I加一3l+(n + 2)2=0,由平方和絕對(duì)值的非負(fù)性，可得加=

15、 3,“=2,解方程即可得。【知識(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3題目】不等式(1尤1+朗(1-尤)l【解析】(1)當(dāng)x0時(shí)；原不等式可化為：2x(l-x)l(2) x=0 時(shí)；原不等式?jīng)]有解.(3) x0 時(shí)；(-x+x) (1-x)0.0(l-x)1.【知識(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4題目1兀+11 + 1兀一11的最小值是【答案】2【解析】利用數(shù)形結(jié)合可得?！局R(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】2【題目】Blxll,ljl二0,u=x+y+1+y+4-(2y-x)=2x+5(2) x+y0,u=-(x+y)+l+y+4-(2y-x)=-2y+5故最大值7,最小值3.【知識(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【題目】彼此不相等的有理數(shù)a.btc在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A.B.C.如果 a-b + b-ca-c那么八出工,位置關(guān)系是_.【答案】B在A, C之間【解析】數(shù)形結(jié)合分析可得【知識(shí)點(diǎn)】和絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題【適用場(chǎng)合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【題目】某公共汽車運(yùn)營(yíng)線路AB段上有A, B.C.D四個(gè)汽車站，現(xiàn)在要在AB段上修建一個(gè)加 油站為了使