積分中值定理的敘述方式及其應(yīng)用

1、第九講 積分第一中值定理的敘述方式及其應(yīng)用積分第一中值定理無(wú)論在理論上或應(yīng)用上都在積分學(xué)中有重要意義。深 入掌握定理的條件、結(jié)論及其證明方法，并用它來解決問題是十分重要的。 積分第一中值定理的敘述方式不同，應(yīng)用它解決問題的方便程度也有所不 同。目前一般的數(shù)學(xué)分析教材中，積分第一中值定理有如下的敘述方 式：定理 1 設(shè) f (x) Ca,b,g(x) Ra,b，且 g(x)在a,b不變號(hào)，則bba,b, f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx 。aa關(guān)于定理 1 的敘述方式及相應(yīng)的證明，有如華東師大、吉林大學(xué)、劉玉 璉等編的數(shù)學(xué)分析教科書。定理 1中的結(jié)論， a,b可以改為 (a,b)

2、 。將閉區(qū)間改為開區(qū)間， 有時(shí)應(yīng)用起來更方便。定理 2 設(shè) f (x) Ca,b,g(x) Ra,b，且 g(x)在a,b不變號(hào)，則bb(a, b), f ( x) g (x)dx f( ) g(x)dx。aa證明：因?yàn)?f ( x) C a, b所, 以 f (x) 在 a,b 上有最大值 M，最小值 m，設(shè) f (x1) m,f (x2) M,x1,x2 a,b 。先證明存在常數(shù)m,M 有bbf (x)g(x)dxg(x)dx。(9。 1)aab不妨設(shè) g(x) 0,x a,b ，則 g(x)dx 0，且abbbmg(x) f (x)g(x) Mg(x) m g(x)dxf (x)g(x)

3、dx M g( x)dxaaa若 g(x)dx 0 f (x)g(x)dx 0，則 m與 M 之間的任何數(shù)都可為 。 aaf (x)g(x)dxf (x)g(x)dxM ，取 a b g(x)dx a，則若 g( x)dx 0 ，則 m a ba g(x)dxabbm M ， f (x)g(x)dxg(x)dx。aabg(x)dx 0 。ab現(xiàn)證定理 2，若 g(x)dx 0，定理 2 顯然成立。今設(shè)a1) 若( 9。1)式中的 滿足： m M ，由于 f (x) Ca,b，所以存在 x1,x2 a,b， f(x1) m, f(x2) M ，不妨設(shè)x1 x2，因?yàn)?f (x) 在 a, b連續(xù)

4、，從而 x1, x2 , f ( ) ,x1,x2(a, b) ，有bbf (x)g(x)dx f( ) g(x)dx 。aa(2) 若 m M 至少有一個(gè)等號(hào)成立，不妨設(shè) m，則F(x) f(x) 0,x a,b。若 (a,b), f( ) 則定理已成立。假如， x (a,b), f(x) ，則將導(dǎo)致矛盾。事實(shí)上，因?yàn)橐延衎f (x)g(x)dxa b 和 F(x) f (x) 0,x (a,b) 。 g(x)dxa今將閉區(qū)間 a ,b 作n等分，從左到右記各小區(qū)間為1, 2, , n ，并記 Ik g(x)dx (k 1,2, ,n) 。k又記 a,b的長(zhǎng)度為 ，則適當(dāng)取 n ，總可使積分

5、bnI g(x)dx 0 。(9。 2)anb因若對(duì)一切 n 均有 I 0 g(x)dx lim I 0 矛盾。又因?yàn)閍I I2 I 3In 1，(9。3)這里， Ik 0, (k 2, 3, n, ，1(9。4)由(9。2)、(9。3)、( 9。4)知至少存在一個(gè)子區(qū)間k ，使其相應(yīng)積分 Ik 0，注意到閉區(qū)間 k a k0 1,a k0 上的連續(xù)函數(shù)0 n nF(x) f(x) 0,x k0，記 f0 mx in f (x) ，則 f0 0，從而bbb0 f (x)g(x)dx g(x)dx f(x) g( x)dxaaan f (x) g(x)dx f (x) g( x)dxk 1 k

6、k0f0 g(x)dx f0 I k0 0k0bb矛盾。故 (a,b), f (x)g(x)dx f( ) g( x)dx 。 aa證明某些命題，應(yīng)用定理 2 的結(jié)論比應(yīng)用定理財(cái)?shù)慕Y(jié)論更為簡(jiǎn)單。例 1(第八講第 6題)設(shè) f (t)在( , ) 連續(xù)，證明： 1nxnlim f(1x x)dx f(0)。武漢大學(xué) 2003 年試卷)證明：因?yàn)?f(t) 在( , )連續(xù)，對(duì)任意的自然數(shù) nnn xx t C0,1, x 0,1 t 0,1 f ( ) C0,1 ，1 x 1 x1nxnf( x )dx f (0)f ( ) f (0)0 1 x10( 1),因?yàn)椋?0,1)(0,1), lim

7、0,由 f(t) 的連續(xù)性，n1nnlim f (1 ) f (0)，所以，n所以，1n10f(1xnx)dx f (0) 。1nxnlim f(1x x)dx f(0)。例 2證明：證明：方法2lim sinn xdx 001：用定理 1 證明。0, 0 ,0, 0,222 2,2，從而有22sinnxdxsinnxdxsinnxdx sin002() sinn xdx(2 ) 2 sin xdxN, n N, f (1 ) f(0) ，從而有0, ，所以，2，從而有，sinn1,limsin n 0 N, n N, sinn2sinn0xdx2 ，所以，2lim sinn xdx 0 。 n02：用定理 2 證明。方法由定理睬，知),( sinn 1)。2sinnxdx sinn dxsinn0(n0例 32證明不等式201 1sin2 x2dx 。2證明：2 1 11 dx 101 1sin2 x1 1sin2(0,2)因?yàn)椋? 1 sin222 ，所以，120dx 。1 2 21 sin x2習(xí)題 91