高考數學專項訓練 數列的概念與簡單表示法教案

1、第1講數列的概念與簡單表示法【2013年高考會這樣考】1以數列的前幾項為背景，考查“歸納推理”思想2考查已知數列的通項公式或遞推關系，求數列的某項3考查由數列的遞推關系式求數列的通項公式，已知sn與an的關系求an等【復習指導】1本講復習主要以數列的概念、通項公式的求法為主2對于歸納通項公式的題目，歸納出通項后要進行驗證3熟練掌握求解數列通項公式的基本方法，尤其是已知遞推關系求通項這種基本的方法，另外注意累加法、累積法的靈活應用基礎梳理1數列的定義按照一定順序排列著的一列數稱為數列數列中的每一個數叫做這個數列的項2數列的分類分類原則類型滿足條件按項數分類有窮數列項數有限無窮數列項數無限按項與項

2、間的大小關系分類遞增數列an1an其中nn遞減數列an1an常數列an1an按其他標準分類有界數列存在正數m，使|an|m擺動數列an的符號正負相間，如1，1,1，1，3.數列的表示法數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法4數列的通項公式如果數列an的第n項an與n之間的函數關系可以用一個式子anf(n)來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式5sn與an的關系已知sn，則an在數列an中，若an最大，則若an最小，則 一個聯(lián)系數列是一種特殊的函數，即數列是一個定義在非零自然數集或其子集上的函數，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數值，就是數列因此，在研究函數問題時既要注意

3、函數方法的普遍性，又要考慮數列方法的特殊性 兩個區(qū)別(1)若組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數列，這有別于集合中元素的無序性(2)數列中的數可以重復出現，而集合中的元素不能重復出現三種方法由遞推式求通項an的方法：(1)an1anf(n)型，采用疊加法；(2)f(n)型，采用疊乘法；(3)an1panq(p0,1，q0)型，采用待定系數法轉化為等比數列解決雙基自測1(人教a版教材習題改編)已知數列an的前4項分別為2,0,2,0，則下列各式不可以作為數列an的通項公式的一項是()aan1(1)n1 ban2sincan1cos n dan解析根據數列的前4項驗證答案b

4、2在數列an中，a11，an2an11，則a5的值為()a30 b31 c32 d33解析a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案b3已知an1an30，則數列an是()a遞增數列 b遞減數列c常數列 d不確定解析an1an30，an1an30，an1an.故數列an為遞增數列答案a4設數列an的前n項和snn2，則a8的值為()a15 b16 c49 d64解析由于snn2，a1s11.當n2時，ansnsn1n2(n1)22n1，又a11適合上式an2n1，a828115.答案a5(2012泰州月考)數列1,1,2,3,5,8,13，x,34,

5、55，中x的值為_解析觀察數列中項的規(guī)律，易看出數列從第三項開始每一項都是其前兩項的和答案21考向一由數列的前幾項求數列的通項【例1】寫出下面各數列的一個通項公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.審題視點 先觀察各項的特點，然后歸納出其通項公式，要注意項與項之間的關系，項與前后項之間的關系解(1)各項減去1后為正偶數，所以an2n1.(2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數列21,22,23，24，所以an.(3)奇數項為負，偶數項為正，故通項公式中含因子(1)n；各項絕對值的分母組成數列1,2,3,4，；而各項絕對值的分子組成的數列中，奇

6、數項為1，偶數項為3，即奇數項為21，偶數項為21，所以an(1)n.也可寫為an(4)將數列各項改寫為：，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031，1041，所以an(10n1) 根據數列的前幾項求通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項的變化特征；(3)拆項后的特征：把數列的項分成變化的部分和不變的部分；(4)各項符號特征若關系不明顯時，應將部分項作適當的變形，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現出來【訓練1】 已知數列an的前四項分別為1,0,1,0，給出下列各式：an；an；ansin2；an；an；an(n1)(n2)其中可以作為

7、數列an的通項公式的有_(填序號)答案考向二由an與sn的關系求通項an【例2】已知數列an的前n項和為sn3n1，則它的通項公式為an_.審題視點 利用ansnsn1(n2)求解解析當n2時，ansnsn13n1(3n11)23n1；當n1時，a1s12也滿足an23n1.故數列an的通項公式為an23n1.答案23n1 數列的通項an與前n項和sn的關系是an當n1時，a1若適合snsn1，則n1的情況可并入n2時的通項an；當n1時，a1若不適合snsn1，則用分段函數的形式表示【訓練2】 已知數列an的前n項和sn3n22n1，則其通項公式為_解析當n1時，a1s13122112；當n

8、2時，ansnsn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當n1時，不滿足上式故數列的通項公式為an答案an考向三由數列的遞推公式求通項【例3】根據下列條件，確定數列an的通項公式(1)a11，an13an2；(2)a11，anan1(n2)；(3)已知數列an滿足an1an3n2，且a12，求an.審題視點 (1)可用構造等比數列法求解(2)可轉化后利用累乘法求解(3)可利用累加法求解解(1)an13an2，an113(an1)，3，數列an1為等比數列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個式子相乘得

9、ana1.(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當n1時，a1(311)2符合公式，ann2. 已知數列的遞推關系，求數列的通項時，通常用累加、累乘、構造法求解當出現anan1m時，構造等差數列；當出現anxan1y時，構造等比數列；當出現anan1f(n)時，用累加法求解；當出現f(n)時，用累乘法求解【訓練3】 根據下列各個數列an的首項和基本關系式，求其通項公式(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a12，an1anln.解(1)anan13n1(n2)，an1an23n2，an2an33n3，a2a131，以

10、上(n1)個式子相加得ana131323n113323n1.(2)an1anln，an1anlnln，anan1ln，an1an2ln，a2a1ln，以上(n1)個式相加得，ana1lnlnlnln n又a12，anln n2.考向四數列性質的應用【例4】已知數列an的通項an(n1)n(nn)，試問該數列an有沒有最大項？若有，求最大項的項數；若沒有，說明理由審題視點 作差：an1an，再分情況討論解an1an(n2)n1(n1)nn.當n9時，an1an0，即an1an；當n9時，an1an0，即an1an；當n9時，an1an0，即an1an；故a1a2a3a9a10a11a12，所以數

11、列中有最大項為第9,10項 (1)數列可以看作是一類特殊的函數，因此要用函數的知識，函數的思想方法來解決(2)數列的單調性是高考?？純热葜唬嘘P數列最大項、最小項、數列有界性問題均可借助數列的單調性來解決，判斷單調性時常用作差法，作商法，結合函數圖象等方法【訓練4】 已知數列an的前n項和snn224n(nn*)(1)求an的通項公式；(2)當n為何值時，sn達到最大？最大值是多少？解(1)n1時，a1s123.n2時，ansnsn1n224n(n1)224(n1)2n25.經驗證，a123符合an2n25，an2n25(nn*)(2)法一snn224n，n12時，sn最大且sn144.法二an2n25，an2n250，有n.a120，a130，故s12最大，最大值為144.難點突破13數列中最值問題的求解從近幾年新課標高考可以看出，對求數列中的最大項是高考的熱點，一般難度較大