地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動

1、第四章第四章 地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動地下水向完整井的非穩(wěn)定運(yùn)動 1 MULTIPLE AQUIFERS Distorted scale! 肖 長 來 吉林大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院2006-3 4-1承壓含水層中的完整井流承壓含水層中的完整井流 當(dāng)承壓含水層側(cè)向邊界離井很遠(yuǎn)，邊界對研究區(qū)的水頭分布 沒有明顯影響時(shí)，可以把它看作是無外界補(bǔ)給的無限含水層。 1. 定流量抽水時(shí)的定流量抽水時(shí)的Theis公式公式 承壓含水層中單井定流量抽水的數(shù)學(xué)模型是在下列假設(shè)條件 下建立的： (1) 含水層均質(zhì)各向同性，等厚，側(cè)向無限延伸，產(chǎn)狀水平； (2) 抽水前天然狀態(tài)下水力坡度為零； (3) 完整井定流量抽水，井

2、徑無限小； (4) 含水層中水流服從Darcy定律； (5) 水頭下降引起的地下水從貯存量中的釋放是瞬時(shí)完成的。 The Theis solution assumes the following: The aquifer is confined and has an apparent infinite extent; The aquifer is homogeneous, isotropic, and of uniform thickness over the area influenced by pumping; The piezometric surface was horizontal

3、prior to pumping; The well is fully penetrating and pumped at a constant rate; Water removed from storage is discharged instantaneously with a decline in head; The well diameter is small, so well storage is negligible. Data requirements: Drawdown vs. time at an observation well Finite distance from

4、the pumping well to observation well Pumping rate (constant) 在上述假設(shè)條件下，抽水后將形成以井軸為對稱軸的下 降漏斗，將坐標(biāo)原點(diǎn)放在含水層底板抽水井的井軸處，井軸 為Z軸，如圖4-1所示。 圖圖4-1 承壓水完整井流承壓水完整井流 此時(shí)，單井定流量的承壓完整井流，可歸納為如下的數(shù) 學(xué)模型： 式中，s=H0-H。 下邊研究如何求降深函數(shù)s (r, t)。為此， 利用Hankel變換，將方程式(4-1)兩端同乘以rJ0(r)，并在 (0,)內(nèi)對r積分。 2* 2 1ssus rrrTt t0，0 (4-1) （4-2） s(r，0)=0

5、 0r0 設(shè)導(dǎo)壓系數(shù) ，則有： 方程式右端 方程式左端，利用分部積分，同時(shí)注意到邊界條件式 （4-3）與式(4-4)，有： 按Bessel函數(shù)的性質(zhì)，有： * T a 00 00 1 ()() ss arrJr drrJr dr rrtt 00 00 ()() sd s rJr drsrJr dr ttdt 01 00 1 ()()() 2 saQ arrJr drasd rJr rrtT 10 00 ()()sdrJrsrJr d r 因此，有： 上述定解問題，經(jīng)過Hankel變換，消去了變量r，轉(zhuǎn)變?yōu)槌?微分方程的初值問題，即： 其解為： 再通過Hankel逆變換由 求s，即： 2 0 0

6、 1 () 2 saQ arrJr dras rrrT 2 2 0 0 d sa Q as d tT s t 2 () 0 2 t at a Q sed T 2 0 0 () 0 00 () () 2 t at ssJr d aQ eJr dd T （4-5） s 先計(jì)算方括號內(nèi)的積分，為此設(shè)： 將(4-6)式對r求導(dǎo)數(shù)，有： 根據(jù)（4-6）式，有： 2 () 0 0 ()() at FreJr d （4-6） 2 2 () 0 0 () 0 0 ( )() 1 () 2() at at FreJr d r eJr d a t ()() 2() () ()2() r FrFr at d Frr

7、 d r Frat 兩邊積分得： 令 ，則有： 故： 利用r=0時(shí)的F（r）值，由（4-6）可以確定C值： 但由(4-7)式，有： 把上式代入(4-5)式，有： 2 1 ln( ) 4 () r F rC a t 1 lnCC 2 ( ) ln 4 () F rr Ca t 2 4 () ( ) r a t F rCe （4-7） 2 () 0 0 1 (0)(0) 2 () at FeJd a t 1 (0), 2() FC C a t 2 4() 1 ( ) 2() r a t F re a t 2 4() 0 1 22() r t at aQ sed Ta t （4-8） 為計(jì)算方便，對

8、（4-8）式進(jìn)行變量代換，令： 同時(shí)更換積分上下限，當(dāng)=0 時(shí)， 當(dāng)=t時(shí)， y= 于是， 其中， 22 2 , 4()4 rr ydd y a ta y at r y 4 2 2 2 22 4 444 4 yy r u at QerQe sdydy rTayTy ay （4-9） 22* 44 rr u a TT t （4-10） 在地下水動力學(xué)中，采用井函數(shù)W(u)代替(4-9)式中的指數(shù) 積分式： 則(4-9)式可改寫成： 式中，s抽水影響范圍內(nèi)，任一點(diǎn)任一時(shí)刻的水位降深； Q抽水井的流量；T導(dǎo)水系數(shù)；t自抽水開始 到計(jì)算時(shí)刻的時(shí)間；r計(jì)算點(diǎn)到抽水井的距離；* 含水層的貯水系數(shù)。 (4-

9、9)式為無補(bǔ)給的承壓水完整井定流量非穩(wěn)定流計(jì)算公 式，也就是著名的Theis公式公式。 ( )() y i u e W uEudy y () 4 Q sWu T （4-11） 為了計(jì)算方便，通常將W(u)展開成級數(shù)形式： 并制成數(shù)值表（表4-1），只要求出u值，從表4-1中就可查 出相應(yīng)的W（u）值；反之亦然。 2 1 ( )0.577216ln( 1) n yn u n u W uedyuu yn n 2. 流量變化時(shí)的計(jì)算公式流量變化時(shí)的計(jì)算公式 Theis公式是在假定流量固定不變的情況下導(dǎo)出的。這種 情況通常只有在抽水試驗(yàn)時(shí)才能做到。實(shí)際上，很多生產(chǎn)井 的流量是季節(jié)性變化的。如農(nóng)用井在灌

10、溉季節(jié)抽水量大，非 灌溉季節(jié)抽水量小。工業(yè)用水也有類似情況，常隨需水量而 變化。在這種情況下，怎樣應(yīng)用Theis公式? 首先需要繪出生產(chǎn)井的Q=f（t）關(guān)系曲線，即流量過程線。 然后將流量過程線概化，用階梯形折線代替原曲線，坐標(biāo) 選擇如圖4-2所示。概化原則是矩形面積等于曲線于橫坐標(biāo) 所圍成的面積。其中，每一個(gè)階梯都可視為定流量，應(yīng)用 Theis公式。把各階梯流量產(chǎn)生的降深，按疊加原理疊加起 來，即得流量變化時(shí)水位降深的計(jì)算公式。 當(dāng)0tt1時(shí)，水位降深為： 2 1 44 Qr u sW TTt 當(dāng) 時(shí)，水位降深為： 圖圖4-2 流量概化呈階梯狀變化圖流量概化呈階梯狀變化圖 1ii ttt 2

11、22 1121 11 4444 ()44 () ii i Q QQQQrrr sWWW TTtTT t tTT t t t時(shí)刻經(jīng)歷若干個(gè)階梯流量后所產(chǎn)生的總水位降深為： 式中，設(shè)t0=0，相應(yīng)的Q0=0。 (4-12)式為流量變化時(shí)，經(jīng)概化呈階梯狀變化后的計(jì)算公 式。 3 . Theis公式的近似表達(dá)式 如前述，Theis公式中的井函數(shù)，可以展開成無窮級數(shù)形 式，即： 2 1 1 1 1 () 44 () n ii i i r sQQW TT tt 1ii ttt （4-12） 2 1 ( )0.577216ln( 1) ! n yn u n u W ue dyuu yn n 前三項(xiàng)之后的級數(shù)

12、是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù)。根據(jù)交錯(cuò)級數(shù)的性 質(zhì)可知，這個(gè)級數(shù)之和不超過u。也就是說，當(dāng)u很小，井 函數(shù)W(u)用級數(shù)前兩項(xiàng)(-0.577216-lnu)代替時(shí)，其舍掉部分 不超過2u。因此， 當(dāng)u 0.01(即 )井函數(shù)用級數(shù)前兩項(xiàng)代替時(shí)， 其相對誤差不超過0.25%； 當(dāng)u0.05時(shí)(即 )，相對誤差不超過2%； 當(dāng)u 0.1時(shí)（即 ），相對誤差不超過5%。 一般生產(chǎn)上允許相對誤差在2%左右。因此，當(dāng)u0.01或 u 0.05時(shí)，井函數(shù)可用級數(shù)的前兩項(xiàng)代替，即： 2 2 5 r u t T 2 5 ru t T 2 2.5 r u t T 2 2.25 ( )0.577216lnln Tt W uu

13、r 于是，Theis公式可以近似地表示為下列形式： (4-13)式稱為Jacob公式(1946)。 流量階梯狀變化時(shí)，當(dāng)ui0.01時(shí)，即 (4-12)式可近似地表示為： 2*2 2.250.1832.25 lnlg 4 QTtQTt s TrTr u (4-13) 1 1 2 1 2.25 ()0.183 ()lg n i ii i T tt sQQ Tr (4-14) 2 ()2 5(1 , 2) i r ttin T 4 .對對Theis公式和與之有關(guān)的幾個(gè)問題的討論公式和與之有關(guān)的幾個(gè)問題的討論 1) Theis公式反映的降深變化規(guī)律公式反映的降深變化規(guī)律 將（將（4-11）式改寫成無

14、量綱降深形式，即）式改寫成無量綱降深形式，即 ， 并給出并給出 曲線曲線圖圖4-3(a)。曲線表明，同一時(shí)。曲線表明，同一時(shí) 刻隨徑向距離刻隨徑向距離r增大，降深增大，降深s變小，當(dāng)變小，當(dāng)r時(shí)，時(shí)，s0，這一，這一 點(diǎn)符合假設(shè)條件。同一斷面點(diǎn)符合假設(shè)條件。同一斷面(即即r固定固定)，s隨隨t的增大而增大，的增大而增大， 當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，時(shí)，s=0，符合實(shí)際情況。當(dāng)，符合實(shí)際情況。當(dāng)t時(shí)，實(shí)際上時(shí)，實(shí)際上s不能趨不能趨 向無窮大。因此，降落漏斗隨時(shí)間的延長，逐漸向遠(yuǎn)處擴(kuò)展。向無窮大。因此，降落漏斗隨時(shí)間的延長，逐漸向遠(yuǎn)處擴(kuò)展。 這種永不穩(wěn)定的規(guī)律是符和實(shí)際的，恰好反映了抽水時(shí)在沒這種永不穩(wěn)定的規(guī)

15、律是符和實(shí)際的，恰好反映了抽水時(shí)在沒 有外界補(bǔ)給而完全消耗貯存量時(shí)的典型動態(tài)有外界補(bǔ)給而完全消耗貯存量時(shí)的典型動態(tài).圖圖4-3反映了上反映了上 述結(jié)論。述結(jié)論。 () / 4 s Wu QT 1 ()Wu u 從（4-11）或（4-13）式還可以看出：同一時(shí)刻 的徑向距離r相同的地點(diǎn)，降深相同。這說明抽水后 形成的等水頭線(s=常數(shù))是一些同心圓，圓心在井 軸。當(dāng)u0.05時(shí),可直接由(4-13)式導(dǎo)出描述它們的 方程式為： 4 22 2 .2 5 T s Q T t xye (4-15) 2) Theis公式反映的水頭下降速度的變化規(guī)律 將(4-9)式對t求導(dǎo)數(shù)，得： 式(4-16)表明，抽

16、水初期隨著r的增大， 值減小。因此， 近處水頭下降速度大，遠(yuǎn)處下降速度小。當(dāng)r一定時(shí)，(4-16) 式又表明，不同時(shí)刻的水頭下降速度 ，由于 和 兩個(gè)因素起著增、減兩個(gè)方向相反的作用，所以 不是t 的單調(diào)函數(shù)； s-t曲線(圖4-3b)不能沿著同一斜率變 化，存在著拐點(diǎn)?？梢岳?，找出拐點(diǎn)的位置。為 此有： 2 4 0 1 44 ru Tt sQeuQ due tuTutT t (4-16) 2 4 r u Tt e s t 1 t 2 4 r u Tt e t s 2 2 0 s t 2 22 4 22 1 10 44 r Tt sQr e tT tTt 所以 拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間(此時(shí)u=1)

17、為： 圖4-3的曲線也反映了上述結(jié)論，即每個(gè)斷面的水頭下降 速度初期由小逐漸增大，當(dāng) =1時(shí)達(dá)到最大；而后下降速度 由大變小，最后趨近于等速下降。 式(4-17)還表明不同斷面拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間ti不同。將 (4-17)式代入(4-11)式，得拐點(diǎn)處降深si為： 2 1 4 r T t 2 4 i r t T （4-17） 1 u 2 0.0175 44 i i QrQ sW TTtT （4-18） 式(4-18)還反映出拐點(diǎn)處降深與r無關(guān)。說明任一斷面都 經(jīng)歷著一個(gè)相同的過程，當(dāng)s=si時(shí)，出現(xiàn)最大下降速度,即： 當(dāng)抽水時(shí)間足夠長時(shí)， (4-16)式變?yōu)椋?上式意味著：t足夠大時(shí)，在抽水井一定范

18、圍內(nèi)，下降基本 上是相同的，與r無關(guān)。換言之，經(jīng)過一定時(shí)間抽水后，下降 速度變慢，在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生大致等幅的下降。 2 4 2 10 .1 1 7 4 i r T t ii sQQ e tTtr 2* 2*2 4 25(0.01,0.991) 4 r Tt rr tue TTt 即 1 4 sQ tTt （4-19） 3) Theis公式反映出的流量和滲流速度變化規(guī)律 將(4-9)式對r求導(dǎo)數(shù)，得： 又根據(jù)Darcy定律，可些導(dǎo)出r處過水?dāng)嗝娴牧髁繛椋?將(4-20)式代入上式，得： 2 4 4 2 u u r T t sQeu d u tuTur sQ re rT （4-20） 2 r s

19、QK M r r 2 4 r T t r QQ e （4-21） 因?yàn)?恒取正值，所以， ，因而Qrtp）的剩余降深s(原 始水位與停抽后某時(shí)刻水位之差)，可理解為流量Q繼續(xù)抽水 一直延續(xù)到t時(shí)刻的降深和從停抽時(shí)刻起以流量Q 注水t-tp時(shí) 間的水位抬升的疊加：兩者均可用Theis公式計(jì)算。故有： 式中， 22 444 Qrr sWW TTtTt （4-23） p ttt 2 0.01423 4 r Tt 當(dāng)時(shí)，（）式可化簡為 22 52.3 lglglg 44 QTtTtQt s TrrTtt （4-24） 式(4-24)表明， 呈線性關(guān)系， 為直線斜率。 利用水位恢復(fù)資

20、料繪出 曲線，求得其直線段斜率i， 由此可以計(jì)算參數(shù)T： 如已知停抽時(shí)刻的水位降深sp，則停抽后任一時(shí)刻的水位上 升值s*可寫成： 式（4- 25）表明，s*與 呈線性關(guān)系，斜率為 。 如根據(jù)水位恢復(fù)試驗(yàn)資料繪出 曲線，求出其直線段 斜率，也可計(jì)算T值。兩者所求T值應(yīng)基本一致。 lg t s t 2 .3 4 Q i T lg t s t 2.3 0.183 4 QQ T ii 2 2.25 lglglg 444 p p at QtQQt sss TtTrTt 或（4-25） lg t t 2.3 2 Q T *lg t s t 又根據(jù) 將求出的 代入，可得： 利用式(4-

21、26)可求出導(dǎo)壓系數(shù)a和貯水系數(shù) 6. 定降深井流的計(jì)算定降深井流的計(jì)算 在側(cè)向無限延伸的承壓含水層中抽水，如果在整個(gè)抽水 期間保持井中水頭hw或降深sw不變，那么抽水量Q將隨著 抽水時(shí)間的延續(xù)而逐漸減少；除了抽水井本身以外，含水 層中任一點(diǎn)的水頭H也將隨著時(shí)間的延續(xù)而逐漸降低。當(dāng)t 時(shí)，Q0，s(r)sw。一口頂蓋密封住的自流井，會 保持原來水頭。在打開井蓋的瞬間，水從井中溢出，水位 迅速降低到井口附近。在一定時(shí)間內(nèi)，自流井保持一定的 水位，流量則逐漸減少。 2 2.25 2.3 lg 4 p p at Q s Tr 2.3 2 Q i 2 0.4410 p s i p r a t （4-2

22、6） 對自流井放水來說，基本上屬于這種定降深變流量問題(圖4- 8)。坑道放水鉆孔也類似于這種情況。如果其他條件同推導(dǎo) Theis公式時(shí)的假設(shè)一樣，則該定解問題的數(shù)學(xué)模型為： 圖圖4-8承壓含水層中定降深抽承壓含水層中定降深抽(放放)水試驗(yàn)水試驗(yàn) 這個(gè)數(shù)學(xué)模型通過Laplace變換求得其解為： 式中，sw為井中降深; 為以為變量的函數(shù)，稱為無越 流補(bǔ)給承壓含水層定降深井流的降深函數(shù)，其值列于表4-3 中； 為無量綱徑向距離； 無量綱時(shí)間。 表4-3函數(shù)A(，r)數(shù)值表(略) 1ss r rrrTt ,00s r ,0st 0, w sts t0 0r 0r0 t0 , w ss Ar （4-2

23、7） ,Ar w r r r 2 w Tt r 將（4-27）式對r求導(dǎo)數(shù)并代入Darcy定律，得： 式中，Q為隨時(shí)間變化的流量; G ()為無越流補(bǔ)給承壓含水層定 降深井流的流量函數(shù)(表4-4)。 2 w QTs G (4-28) 表4-4G ()數(shù)值表（據(jù)Jacob和Lohman） 如果在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制 曲線（圖4- 9），由此曲線可以看出，隨時(shí)間的增加，增大，G ()減小，流量Q也隨著減小。 是一個(gè)小于1的函數(shù)。由（4-27）式可以 看出，各點(diǎn)降深等于自流井或放水井的降深乘以一個(gè) 小于1的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)在同一時(shí)刻隨著 的增加而 減??；在同一斷面上隨著t增加，增大而逐漸增加。 因此，各

24、點(diǎn)降深在同一時(shí)刻隨遠(yuǎn)離自流(放水)井而逐 漸減小；在同一斷面上隨著時(shí)間增加而增大。這是符 合實(shí)際情況的。 利用自流井做放水試驗(yàn)可以確定水文地質(zhì)參數(shù)， 這是一種既簡單又經(jīng)濟(jì)的辦法。確定參數(shù)方法的原理 和定流量抽水試驗(yàn)相似。茲介紹如下： G ,Ar r r 1）配線法 對（4-28）式和 式兩側(cè)取對數(shù)，有： 在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上，Q-t曲線與G ()-曲線形狀相同，可以 利用匹配點(diǎn)坐標(biāo)G ()，Q和t來確定參數(shù)。 2）直線圖解法 根據(jù)(4-28)式，當(dāng) 時(shí)，有下列近似關(guān) 系： 2 Tt r 2 lglglg 2 lglglg w QGTs r t T 2 5000 Tt r 2 2 2.25 ln w

25、 G Tt r 于是有： 2 4 2.25 ln w w Ts G Tt r 或： 由上式可以看出， 與lgt為線性 關(guān)系（圖4-10）。利用斜率i得： 將直線延長，交t軸于一點(diǎn)to，利 用to點(diǎn)的 =0，可計(jì)算 。 2 12.32.25 lg 4 w w Tt QTsr 2 0.1832.250.183 lglg www Tt t TsrTs 1 Q 0.183 w T s i 1 Q 圖圖4-10定降深放水試驗(yàn)應(yīng)用直線圖定降深放水試驗(yàn)應(yīng)用直線圖 解法確定水文地質(zhì)參數(shù)解法確定水文地質(zhì)參數(shù) 思考題： 1.Theis公式的假設(shè)條件是什么?它的應(yīng)用有沒有局限性? 2.有人說降深和時(shí)間關(guān)系為一對數(shù)曲

26、線s=a +blgt，您認(rèn)為有 根據(jù)嗎? 3單對數(shù)紙上的水位恢復(fù)直線s=f(1+ )是否應(yīng)該通過坐標(biāo)原 點(diǎn)，為什么? p t t 4-2有越流補(bǔ)給的完整井流有越流補(bǔ)給的完整井流 1 基本方程基本方程 在第1章中，我們曾談到在越流含水層中抽水時(shí)會發(fā)生越 流。有時(shí)，人們把這種系統(tǒng)，包括越流含水層、弱透水層和 相鄰的含水層(如果有的話)稱為越流系統(tǒng)越流系統(tǒng)(圖1-30)。 越流系統(tǒng)通常可以劃分為三種類型: 第一越流系統(tǒng)是不考慮弱透水層彈性釋放、忽略補(bǔ)給層水 位變化的越流系統(tǒng)； 第二越流系統(tǒng)是考慮弱透水層彈性釋放、不考慮補(bǔ)給層水 位變化的越流系統(tǒng)； 第三越流系統(tǒng)是不考慮弱透水層彈性釋放、考慮補(bǔ)給層水

27、位變化的越流系統(tǒng)。 第3章探討了這種情況下的穩(wěn)定運(yùn)動(圖3-9)。 現(xiàn)在進(jìn)而探討這種情況下的非穩(wěn)定運(yùn)動。研究時(shí)采用了和 研究穩(wěn)定運(yùn)動時(shí)相同的地質(zhì)模型(圖3-9)和假設(shè)，即： (1)越流系統(tǒng)中每一層都是均質(zhì)各向同性，無限延伸的第一 類越流系統(tǒng)，含水層底部水平，含水層和弱透水層都是等 厚的； (2)含水層中水流服從Darcy定律； (3)雖然發(fā)生越流，但相鄰含水層在抽水過程中水頭保持不 變(這在徑流條件比較好的含水層中不難達(dá)到)； (4)弱透水層本身的彈性釋水可以忽略，通過弱透水層的水 流可視為垂向一維流； (5)抽水含水層天然水力坡度為零，抽水后為平面徑向流； (6)抽水井為完整井，井徑無限小，

28、定流量抽水。 The Hantush-Jacob solution has the following assumptions: The aquifer is leaky and has an apparent infinite extent The aquifer and the confining layer are homogeneous, isotropic, and of uniform thickness over the area influenced by pumping The piezometric surface was horizontal prior to pumpi

29、ng The well is pumped at a constant rate The well is fully penetrating Water removed from storage is discharged instantaneously with decline in head The well diameter is small, so well storage is negligible Leakage through the confining layer is vertical and proportional to the drawdown The head in

30、any un-pumped aquifer(s) remains constant Storage in the confining layer is negligible Flow is unsteady. 在上述假設(shè)條件下，根據(jù)微分方程(1-83)，把水頭化 為以降深表示，并改用柱坐標(biāo)，于是有越流補(bǔ)給 的抽水含水層中地下水運(yùn)動的基本方程為： 相應(yīng)的定解條件為： 對方程（4-29）施行Hankel變換，于是原定解問題 變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰某踔祮栴}，可以很容易地求得 它的特解。 0 00 t sr 00 r st 0 lim0 2 r sQ rt rT (4-30) (4-31) (4-32) 2

31、 22 1ssss rrrBTt (4-29) 再施行逆變換可求得其解為： 其中， 有關(guān)推導(dǎo)過程請參閱文獻(xiàn)2。(4-33)式為Hantush和 Jacob于1955年建立的有越流補(bǔ)給的承壓水完整井公式。其 中 ，為不考慮相鄰弱透水層彈性釋水時(shí)越流系統(tǒng)的 井函數(shù)，其值列于表4-5中。(課件中無此表內(nèi)容 ) , 4 Qr sWu TB (4-33) 2 2 4 2 1 , 4 r y B y u r Wuedy By r u Tt (4-34) , r Wu B 2 公式討論 1) 降深-時(shí)間曲線的形狀 將（4-33）式寫成無量綱降深形式： 根據(jù)表4-5的井函數(shù)表，繪制 曲線（圖4-11).曲線反

32、映 出，有越流補(bǔ)給的s-t關(guān)系大致可分為三個(gè)階段： , 4 sr Wu Q B T t 1 , r Wu Bu 圖圖4-11越流潛水含水層的標(biāo)準(zhǔn)曲線越流潛水含水層的標(biāo)準(zhǔn)曲線 （1）抽水早期，降深曲線同Theis曲線一致。這表明越流尚 未進(jìn)入主含水層，抽水量幾乎全部來自主含水層的彈性釋 水。在理論上，相當(dāng)于 =0或B， W（u）此 時(shí)和Theis曲線一致。 標(biāo)準(zhǔn)曲線組中又反映出， 不同時(shí)，與Theis曲線吻合的 時(shí)間也不一樣。在其他條件一定時(shí)，如果越流系數(shù) 越小 （即 越?。?，同Theis曲線一致的過程就越長。這說明， 弱透層透水性越小，厚度越犬，阻力越大，越流進(jìn)入抽水層 的時(shí)間越晚。當(dāng)弱透水層

33、透水性無限小時(shí)，在有限的抽水時(shí) 間內(nèi)，可能沒有明顯的越流反映，而同Theis曲線相一致。 （2）抽水中期，因水位下降變緩而開始偏Theis離曲線，說 明越流已經(jīng)開始進(jìn)入抽水含水層。這時(shí)，抽水量由兩部分組 1 1 K m , r Wu B r B 1 1 K m r B 成：一是抽水含水層的彈性釋水，二是越流補(bǔ)給， 值由 零進(jìn)入有限值，即： 因此，越流含水層的降深小于無越流含水層的降深，而且隨 增大(即 越大)，越流含水層的降深比無越流含水層的 降深小得越多。 (3)抽水后期，曲線趨于水平直線，抽水量與越流補(bǔ)給量平 衡，表示非穩(wěn)定流已轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定流。此時(shí)方程（4-33），當(dāng) t時(shí)，u0，可簡化成（

34、3-33）式，即： 式中， 為虛宗量第二類Bessel函數(shù)（表4-16）。 2 2 4 r yB 2 2 4 11 , r y yB y uu r WuedyedyW u Byy 1 1 K m r B 0 2 Qr sK TB 0 r K B 2）水頭下降速度 與(4-16)式比較可以看出，越流含水層水位下降速度比無 越流含水層慢。另外，與無越流含水層一樣，當(dāng)t足夠大時(shí)， 在一定的范圍內(nèi)，水位下降速度是相同的。 2 2 2 2 4 4 1 4 1 4 r y By rTt Tt B sQu edy tTuyt Q e Tt t (4-36) 3 利用抽水試驗(yàn)資料確定越流系統(tǒng)的參數(shù)利用抽水試驗(yàn)

35、資料確定越流系統(tǒng)的參數(shù) 1）配線法 用定流量抽水試驗(yàn)實(shí)測的lgs-lgt曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線lg -lgu 的形狀是相同的，只是其縱、橫坐標(biāo)彼此平移了lg 和 而已。下面僅簡單地寫出其步驟： （1）在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制 標(biāo)準(zhǔn)曲線； （2）在另一同模數(shù)的透明雙對數(shù)坐標(biāo)紙上，投上s-t實(shí)測數(shù) 據(jù)； （3）在保持對應(yīng)坐標(biāo)軸彼此平行的前提下，相對移動兩坐 標(biāo)紙；在一組 標(biāo)準(zhǔn)曲線中找出最優(yōu)重合曲線(圖4-12)； （4）兩曲線重合以后，任選一匹配點(diǎn)，記下對應(yīng)的四個(gè)坐 標(biāo)值 ， ，t，s。將它們分別代入（4-33）和（4-35） 式，可以計(jì)算含水層的參數(shù)T和， , r Wu B 4 Q T 2 lg 4 r T

36、 1 , r W u Bu r B 1 u , r W u B 即： （5）已知 和r，可計(jì)算出B值和 值： , 4 Qr TWr sB 2 4 1 Tt r u r B 1 1 K m 圖圖4-12越流含水層的配線法越流含水層的配線法 2) 拐點(diǎn)法 （1）原理 （a）取(4-33)對lgt的導(dǎo)數(shù)，由（4-36）式有 故有： 從(4-37)可看出，同一觀測孔的s-lgt曲線的斜率變化規(guī)律是 由小到大，又由大變到小，存在著拐點(diǎn)。可以通過s對lgt的 二階導(dǎo)數(shù)等于零來確定其位置。設(shè)拐點(diǎn)為P，則： 2 2 4 lg1 lg4 rTt Tt B ssdtQ e ttdtT t 2 2 4 2 .3 l

37、g4 rT t T t B sQ e tT (4-37) 2 2 2 22 4 22 2.3 0 44 lg rTt pTt B p TtQ sr e TTtB t 故在拐點(diǎn)有： 解得拐點(diǎn)處的時(shí)間tp為： 相應(yīng)的u值為： 將(4-39)式代回（4-37）式，得拐點(diǎn)處切線的斜率為： 2 2 0 4 p p T t r T tB 2 p B r t T (4-38) 2 42 p p rr u T tB (4-39) 2.3 4 r B p Q ie T (4-40) （b）求拐點(diǎn)處降深：把(4-39)式代入（4-33）式，得： 進(jìn)行變量代換：設(shè)， 當(dāng)y=0， 當(dāng) 則 2 2 4 2 1 4 r

38、y By r p B Q sedy Ty (4-41) 222 2222 , 444 rrr ydyd B yBB p yu 2 2 42 p rr B uB 2 2 4 0 2 1 24 r B r p B QrQ sKed TBT (4-42) 將（4-41）式和（4-42）式相加，得： （4-43）式表明，拐點(diǎn)處降深等于最大降深的一半 （圖4-13）。 0max 1 42 p Qr sKs TB (4-43) 圖圖4-13 s-lgt曲線曲線 （c）建立拐點(diǎn)P處降深sp與斜率ip之間的關(guān)系。用（4-40） 式除（4-43）式得： （4-44）式右端的值已列成表4-7 表4-7 的數(shù)值表（

39、略） 應(yīng)用上述原理，根據(jù)某一觀測孔的觀測資料繪出s-lgt曲線， 就可計(jì)算有關(guān)參數(shù)。 （2）步驟： （a）單孔拐點(diǎn)法，有一個(gè)觀測孔時(shí)： 在單對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制s-lgt曲線，用外推法確定最大降 深Smax(圖4-13)，并用（4-43）式計(jì)算拐點(diǎn)處降深Sp 0 2.3 r p B p s r Ke iB (4-44) , xxx ii e K x e K xExEx e和 根據(jù)Sp確定拐點(diǎn)位置，并從圖上讀出拐點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間tp。 做拐點(diǎn)P處曲線的切線，并從圖上確定拐點(diǎn)P處的斜率ip。 根據(jù)（4-44），求出有關(guān)數(shù)值后，查表4-7確定 和 值 根據(jù) 值求B值： 按（4-40）式和（4-38）式分別計(jì)

40、算T和 值： 驗(yàn)證，因?yàn)閳D解出的Smax和Sp常有較大的隨意性而引起 誤差，所以進(jìn)行驗(yàn)證是必要的。將所求得的參數(shù)代入（4- 33）式，并給出不同的t值，計(jì)算理論深降。然后把它同實(shí) 測降深比較，如果不吻合，則應(yīng)重新圖解計(jì)算。 r B r B e r B r B r B 1 2 1 2 2.3 , 4 r p B p Tt KQT Te iBrmB （b）多孔拐點(diǎn)法，有多個(gè)觀測孔時(shí)： 當(dāng)抽水時(shí)間不長，觀測孔降深未趨于穩(wěn)定，不知道或不可 能外推求出Sm時(shí)，不能用上面介紹的方法。此時(shí)可利用下述 方法求參數(shù)。 根據(jù)（4-40）式有： 兩邊同時(shí)取對數(shù)： 2.3 4 r B p Q ie T 2 .3 ln

41、ln 4 p Qr i TB 2.3 2.3 lg2.3 lg 4 p Q rBBi T (4-45) 式（4-45）表明，r與 呈線性關(guān)系。如有三個(gè)以上的觀測 孔資料能繪制出r-lgip曲線時(shí)，可以用它來計(jì)算參數(shù)。具體步 驟如下： 繪每個(gè)觀測孔的s-lgt曲線（圖4-140，并從圖上確定每條 曲線直線段的斜率近似地代替拐點(diǎn)處的斜率。 lg p i 圖4-15 r- 曲線 圖圖4-15 r- 曲線曲線 lg p i 圖圖4-14各觀測孔的各觀測孔的s-lgt曲線曲線 根據(jù)各孔的斜率作r- 曲線（圖4-15），應(yīng)為一條直 線。取該直線的斜率，得： 將r-lgip直線段延長交橫軸于一點(diǎn)，讀得r=0

42、時(shí)的（ ）。 把它代入（4-45）式，得： 將所求得的B、T代入(4-43)式，計(jì)算出不同觀測孔的拐點(diǎn) 處降深： lg p i 2.3 , lg2.3lg pp rr B B ii p i 0 2.3 0,lglg 4 p Q ri T 1 2 1 0 2.3 4 p KQT T mBi 0 4 p Qr sK TB 利用從s-lgt曲線上讀得tp值，然后按（4-38）式算出各孔的 值： 最后取其平均值。 思考題： 式（4-33）的假設(shè)條件是什么?有何局限性? 2 p Tt Br 4-3有弱透水層彈性釋水補(bǔ)給和越流補(bǔ)有弱透水層彈性釋水補(bǔ)給和越流補(bǔ) 給的完整井流給的完整井流 在層狀含水層分布區(qū)一

43、個(gè)含水層常被弱透水層覆蓋或下伏 有弱透水層，形成雙層或多層結(jié)構(gòu)的含水層組。從含水層中 抽水時(shí)，會引起弱透水層彈性釋水補(bǔ)給抽水含水層。當(dāng)弱透 水層厚度較大時(shí)這種補(bǔ)給相當(dāng)大，不能忽略不計(jì)。1960年 M.s.Hantush研究了這個(gè)課題。 1 基本方程基本方程 下面討論考慮弱透水層彈性釋水，而相鄰含水層（如果有下面討論考慮弱透水層彈性釋水，而相鄰含水層（如果有 的話）水頭保持不變的越流系統(tǒng)的基本方程。其他假設(shè)條件的話）水頭保持不變的越流系統(tǒng)的基本方程。其他假設(shè)條件 如下：如下： (1)含水層和弱透水層是均質(zhì)各向同性和等厚的，產(chǎn)狀水 平，分布無限.天然水力坡度為零。單井定流量抽水。 (2)含水層抽水

44、時(shí)，能得到弱透水層彈性釋水的補(bǔ)給。弱透 水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)相比，要小的多(差兩個(gè)數(shù)量 級以上)。因此可以認(rèn)為，通過弱透水層中的水流是垂向運(yùn) 動，而抽水含水層中則為水平徑向運(yùn)動，服從Darcy定律。 在上述假設(shè)條件下，含水層中地下水的運(yùn)動應(yīng)遵循(1-83) 式，相應(yīng)地在弱透水層中地下水的運(yùn)動服從(1-71)式。如果 越流強(qiáng)度改用降深表示，則由（1-82）式有： 式中， 分別為上、下弱透水層垂直方向的滲透系 數(shù)和水頭。如整個(gè)方程組也改用降深表示，則有： 1122 111222 , HsHs vKKvKK zzzt 1122 ,K H K H 式中， 分別為抽水含水層、 上弱透水層下弱透水

45、層的貯水系數(shù)、導(dǎo)水系數(shù)和水位降深。 根據(jù)連續(xù)性原理，在抽水含水層的底板(即 z =m2處)和頂板 (即z =m2+M處)(圖1-30)分別有： 常見的考慮含水層彈性釋水補(bǔ)給而相鄰含水層(如果有的話) 的水頭保持不變的越流系統(tǒng)，主要有下列三種情況 （圖4-16）： 2 12 12 2 1sHsss TKK rrrzzt 111222 , , , , ,T s r tT s r z tT sr z t 22 ,sr mts r t 22 ,sr mM ts r t 第一種情況，與上、下弱透水層相鄰的是兩個(gè)定水頭的含 水層； 第二種情況，與上、下弱透水層相鄰的是兩個(gè)隔水層； 第三種情況，與第一個(gè)弱含

46、水層相鄰的是定水頭含水層，與 另一個(gè)弱含水層相鄰的是隔水層。 對于這三種情況，可以分別寫出它們的微分方程和定解條 件。先看第一種情況： 圖圖4-16 弱透水層彈性釋水的三種情況（據(jù)弱透水層彈性釋水的三種情況（據(jù)Hantush） 上弱透水層： 抽水含水層： 2 11 11 1 1 121 12 (4 46) , ,00(4 47) ,0(4 48) ,(4 49) ss T st s r z s r mMm t s r mM ts r t 2 112222 2 1 1 0 1 ,(4 50) ,00(4 51) ,0(4 52) , lim(4 53) 2 r sss TKs r mM tKs

47、r m t rr rzzt s r st s r tQ r rT 下弱透水層： 第二種情況和第一種情況基本相同，只是將（4-48）和 （4-56）式分別以下式代替： 2 22 22 2 1 1 12 (454) , ,00(455) ,0,0(456) ,(457) ss T st s r z s rt s r m ts r t 121 ,0 s sr mMmt z 2 , 0,0 s srt z 第三種情況也和第一種情況基本相同，只是將式（4-56）用 下式代替： 上述定解問題，對于足夠短的時(shí)間和足夠長的時(shí)間有近 似解。 (1) 抽水初期的解 當(dāng) 和 時(shí)，三種情況有相同形式的近 似解： 2

48、, 0 ,0 s srt z 11 1 10 m t K 11 1 10 m t K , 4 Q sHu T 式中， 分別為上、下兩個(gè)弱水層的越流因素。 考慮弱透水層彈性釋水時(shí)，越流系統(tǒng)的井函數(shù) 的值 列于表4-8中。 , y u eu Huerfcdy y yyu 2 4 r u Tt 12 12 44 rr BB 1 1 1 Tm B K 2 2 2 Tm B K ,H u 2006-5-16起講 （2）抽水時(shí)間較久時(shí)的解： 第一種情況：當(dāng) ，同時(shí) 時(shí)，其解為： 式中， 為不考慮弱透水層彈性釋水的越流系統(tǒng)的井 函數(shù)（表4-5） 第二種情況：當(dāng) ，同時(shí) 時(shí)，其解為： 11 1 5 m t K

49、 22 2 5 m t K 1 , 4 Q sWua T （4-62） 1, Wua 2 12 1 33 4 r u Tt 11 1 10 m t K 22 2 10 m t K 2 4 Q sWu T 式中， 為無越流含水層的井函數(shù)（表4-1）； 第三種情況：當(dāng) ，同時(shí) 時(shí)，其解為： 式中， 為不考慮弱透水層彈性釋水的越流系統(tǒng)的井函 數(shù)(表4-5)； 2 Wu 2 12 2 4 r u Tt 11 1 5 m t K 22 2 10 m t K 3 1 , 4 Qr sWu TB 3 1 , r Wu B 2 2 1 3 3 4 r u Tt 2 公式討論公式討論 1）上面列舉的是在一般情況

50、下的解。如果在上述三種情況 的任何一個(gè)解中，令 就成了無越流補(bǔ)給的承壓含水層的Theis公式。 在第一、第三種情況中，如果取 ，此 時(shí)(4-62)式和(4-64)式轉(zhuǎn)化為(4-33)式，即不考慮弱透水層彈 性釋水的越流系統(tǒng)。 2）在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制 - 標(biāo)準(zhǔn)曲線(圖4-17)。由 （4-60）式有： 1212 ,0001BBerfc 時(shí)， 212 0,0K ,H u 1 u , 4 s Hu Q T t 可知，曲線反映出s與t的關(guān)系，也反映出s與的關(guān)系。 總的說來，s隨著的增大而減小。當(dāng)=0時(shí)，曲線和Theis 曲線一致。這意味著：隨著 和 的增大，s會減小。因 此，弱透水層的貯水系數(shù)增大，

51、可以釋放出更多的水，抽水 含水層的降深就會相應(yīng)地減??；隨著r的增大，s會減小； 隨著越流因素B的減小，s也會減小。 3 利用抽水試驗(yàn)資料確定水文地質(zhì)參數(shù)利用抽水試驗(yàn)資料確定水文地質(zhì)參數(shù) 根據(jù)抽水初期或短時(shí)間抽水的資料，利用配線法求參數(shù)的 原理同前。利用觀測孔的全部觀測資料，在雙對數(shù)透明紙上 繪出s-t曲線，把抽水初期的曲線（或短時(shí)間抽水的曲線）同 標(biāo)準(zhǔn)曲線 - （圖4-17）重合，記下匹配點(diǎn)的坐 標(biāo)， ， ， 代入公式（4-60），求出含水層的參數(shù)T 和 。 1 2 ,H u 1 u ,H u 1 u , , s t 圖4-17考慮弱透水層彈性釋水，越流系統(tǒng)短期抽水時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)曲線 （據(jù)Walto

52、n） , 4 Q TH u s 2 4 1 Tt r u 對于長時(shí)間抽水，第一種情況(4-62)式和第三種情況 利用配線法確定參數(shù)的原理和方法同有越流補(bǔ)給的相同，標(biāo)準(zhǔn) 曲線都是用(圖4-11)所示的曲線。 根據(jù)長期解的第二種情況（4-63）式，利用配線法確 定參數(shù)和利用Theis公式的配線法相同。 4-4潛水完整井流潛水完整井流 潛水井流與承壓水井流不同，它的上界面是一個(gè)隨時(shí)間 而變化的浸潤曲面(自由面)。 其運(yùn)動與承壓含水層中的情況不同, 體現(xiàn)在下列幾點(diǎn)： (1)潛水井流的導(dǎo)水系數(shù)T= Kh隨距離r和時(shí)間t而變化，承壓 水井流T=KM，和r，t無關(guān)； (2)當(dāng)潛水井流降深較大時(shí)，垂向分速度不

53、可忽略，在井附 近為三維流。水平含水層中的承壓水井流垂向分速度可忽 略，一般為二維流或可近似地當(dāng)二維流來處理； (3)從潛水井抽出的水主要來自含水層的重力疏干。重力疏 干不能瞬時(shí)完成，而是逐漸被排放出來，因而出現(xiàn)明顯地遲 后于水位下降的現(xiàn)象。潛水面雖然下降了，但潛水面以上的 非飽和帶內(nèi)的水繼續(xù)向下不斷地補(bǔ)給潛水。因此，測出的給 水度在抽水期間是以一個(gè)遞減的速率逐漸增大的。只有抽水 時(shí)間足夠長時(shí)，給水度才實(shí)際上趨于一個(gè)常數(shù)值。承壓水井 流則不同，抽出的水來自含水層貯存量的釋放，接近于瞬時(shí) 完成，貯水系數(shù)是常數(shù)。 到目前為止，還沒有同時(shí)考慮上述三種情況的潛水井流公 式。 一般對潛水井流的處理方法:

54、 (1)在一定條件下，也可將承壓水完整井流公式應(yīng)用于潛水完 整井流的近似計(jì)算。如果滿足4-1前面的四個(gè)假設(shè)條件， 條件(5)雖然不同，但當(dāng)抽水相當(dāng)長時(shí)間以后，遲后排水現(xiàn)象 已不明顯，可近似地認(rèn)為已滿足條件(5)。因此，潛水完整井 在降深不大的情況下，即s0.1Ho，H。為抽水前潛水流的 厚度，可用承壓水井流公式作近似計(jì)算。此時(shí)，潛水流厚度 可近似地用 ，來代替。于是承壓水井公式中 的2Ms用 代替，則有： (2)可采用修正降深值，直接利用Theis公式： 式中， 為修正降深；S為實(shí)際觀測降深；H。為潛水流初始 厚度。 0 1 () 2 m HHH 22 0 HH 2 22 0 ( ),() 2

55、4 m Qr HHW uuTKH KT t 22 0 0 ( ),() 244 sQr ssW uuTKH HTTt s 有關(guān)計(jì)算潛水完整井流的方法主要有： 考慮井附近流速垂直分量的Boulton第一潛水井流模型； 考慮遲后排水的Boulton第二潛水井流模型； 既考慮流速的垂直分量又考慮潛水含水層彈性釋水的 Neuman模型。這里簡單地介紹后兩種模型。 1 考慮遲后疏干的Boulton模型 1) 假設(shè)條件及井流狀態(tài)分析 Boulton模型建立的水文地質(zhì)概念模型： （1）均質(zhì)各向同性、隔水底板水平的無限延伸的含水層； （2）初始自由水面水平； （3）完整井，井徑無限小，降深s ）排出的重力水量

56、假設(shè)為： 式中，為給水度，為一經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。 () 1 t se （a）遲后疏干排水量 與t-的關(guān)系如圖 4-18所示，符合一般經(jīng)驗(yàn)。 （b）在時(shí)刻以后，單位水平面積含水層內(nèi)降深為一個(gè)單 位時(shí)，遲后重力排水的總體積為： 它等于含水層的給水度。因此，在水量均衡上沒有矛盾，符 合實(shí)際，假設(shè)是合理的。 （c）在和t區(qū)間遲后排水總量為： () 1 t se ()t edt ()() 1 ttt sedtse 由上式可了解的意義。 若大，則到t時(shí)間內(nèi)排出的水量大，即遲后性??；或者說， 1/小，遲后性小。因此，稱1/為延遲指數(shù)。 2）數(shù)學(xué)模型及其解 如果只考慮貯存水的釋放，不考慮遲后重力排水，并假設(shè) 降深很小

57、（s H。）值保持不變，則潛水非穩(wěn)定徑向運(yùn)動的 偏微分方程可寫為： 如果考慮遲后重力排水，則方程式的右邊還要加上一項(xiàng)， 即在t時(shí)刻單位水平面積含水層中單位時(shí)間內(nèi)遲后重力排水的 體積。 2 2 1 () sss T rrrt 這個(gè)值可以這樣來求得： 將0到t這一時(shí)間段分成n個(gè)時(shí)間小段 每一小段 對應(yīng)的降深為 。 由上述假設(shè)知，在t時(shí)刻由 引起的排水量為 顯然，由于遲后排水，t時(shí)刻以前的每一個(gè) 都會排水到達(dá)t 時(shí)刻的潛水面。在t時(shí)刻單位水平面積的潛水面上，單位時(shí)間 接受的遲后排水總量為： 當(dāng)n， 0時(shí)， ，則有： 1( 1 ,2, 1 , , iii inn 而 0 0 ） i (1,2,1, )

58、 i s inn i s () i t i se i s () 1 i n t i i se () 1 i n t i i i i s e i i i ss () 0 tt s ed 因此，考慮遲后重力排水時(shí)，流向潛水完整井非穩(wěn)定運(yùn)動的 偏微分方程為： 相應(yīng)的定解條件為： Boulton求得上述定解問題的解為： 2 () 0 2 1 () tt ssss Ted rr rt sf (r，0)=0 sf (，t)=0 t 0 0 lim() 2 r sQ r rT t 0 1 2 0220 2 2(1) 1() 42 u Qx tr sechushuJx dx txuD 式中：s定流量抽水、距抽

59、水井為r處t時(shí)刻的降深； D= 疏干因素（量綱為L）； 貯水系數(shù)； 給水度； 延遲指數(shù)； x積分變量； Jo（x）第一類零階Bessel函數(shù)。 2 1 (1) 2 tx u 2222 2 (1)4 2 atxx u 1 ; T 1 當(dāng)時(shí)，即給水度比貯水系數(shù)大得多時(shí)，（4-71）式可 簡化為： 式中， F= 。 （4-72）式的積分部分可W（ ， ）來表示，稱為無壓 含水層中完整井的井函數(shù)（表4-9）。其中的 ，在抽水 早期取 值，抽水后期取 。它所描述的曲線形狀，也 就是理論上降深一時(shí)間曲線的形狀。據(jù)此，可將上述解分 為三部分： 抽水早期 ： 2 2 1 00 2 1 2()1 41 tx x

60、 Qrdx sJxeF tDxx 2 2 (1) 2 1 t x x e x ,a y u r D , a y u a u y u (,) 4 a Qr sWu TD 抽水中期 ： 抽水晚期 ： 式中 無壓含水層中完整井流A組井函數(shù)； 無壓含水層中完整井流B組井函數(shù)； 虛宗量第二類Bessel函數(shù)。 3）討論 在t相當(dāng)小時(shí)（相當(dāng)于抽水的初期），(4-72)式中的 0 () 2 Qr sK TD (,) 4 y Qr sWu TD (,) a r W u D (,) y r W u D 2 4 a r u Tt 2 4 y r u T t 0 () r K D 2 2 1 2 1 1 tx x