積分變換課后答案[谷風(fēng)書屋]

1、 1-11 試證：若滿足Fourier積分定理中的條件，則有 其中分析：由Fourier積分的復(fù)數(shù)形式和三角形式都可以證明此題，請讀者試用三角形式證明.證明：利用Fourier積分的復(fù)數(shù)形式，有 由于所以2求下列函數(shù)的Fourier積分：1）; 2) 3) 分析：由Fourier積分的復(fù)數(shù)形式和三角形式都可以解此題，請讀者試用三角形式解.解：1）函數(shù)為連續(xù)的偶函數(shù)，其Fourier變換為(偶函數(shù))f(t)的Fourier積分為 2)所給函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，其Fourier變換為（實(shí)部為偶函數(shù)，虛數(shù)為奇函數(shù)）f (t)的Fourier變換為這里用到奇偶函數(shù)的積分性質(zhì).3）所給函數(shù)有間斷點(diǎn)-1，0，1

2、且f(-t)= - f(t)是奇函數(shù)，其Fourier變換為（奇函數(shù)）f(t)的Fourier積分為其中t-1，0，1（在間斷點(diǎn)處，右邊f(xié)(t)應(yīng)以代替）.3求下列函數(shù)的Fourier變換，并推證下列積分結(jié)果：1）證明：2）證明：3），證明：證明：1）函數(shù)為連續(xù)的偶函數(shù)，其Fourier變換為再由Fourier變換得 即 2）函數(shù)為連續(xù)的偶函數(shù)，其Fourier變換為 再由Fourier變換公式得 即 3）給出的函數(shù)為奇函數(shù)，其Fourier變換為 故4.求函數(shù)的Fourier正弦積分表達(dá)式和Fourier余弦積分表達(dá)式. 解：根據(jù)Fourier正弦積分公式，并用分部積分法，有根據(jù)Fourie

3、r余弦積分公式，用分部積分法，有1-21求矩形脈沖函數(shù)的Fourier變換.解： 2.設(shè)是函數(shù)的Fourier變換，證明與有相同的奇偶性. 證明：與是一個Fourier變換對，即 ，如果為奇函數(shù)，即，則 （令）（換積分變量為）所以亦為奇函數(shù).如果為奇函數(shù)，即，則（令）（換積分變量為）所以亦為奇函數(shù).同理可證與同為偶函數(shù).4求函數(shù)的Fourier正弦變換，并推證解：由Fourier正弦變換公式，有由Fourier正弦逆變換公式，有由此，當(dāng)時，可得5設(shè)，試證明：1）為實(shí)值函數(shù)的充要條件是；2）為虛值函數(shù)的充要條件是.證明： 在一般情況下，記其中和均為的實(shí)值函數(shù)，且分別為的實(shí)部與虛部. 因此其中，

4、1）若為的實(shí)值函數(shù)，即.此時，式和式分別為所以反之，若已知，則有此即表明的實(shí)部是關(guān)于的偶函數(shù)；的虛部是關(guān)于的奇函數(shù).因此，必定有亦即表明為的實(shí)值函數(shù).從而結(jié)論1）獲證.2）若為的虛值函數(shù)，即.此時，式和式分別為所以反之，若已知，則有此即表明的實(shí)部是關(guān)于的奇函數(shù)；的虛部是關(guān)于的偶函數(shù).因此，必定有，亦即表明為的虛值函數(shù).從而結(jié)論2）獲證.6.已知某函數(shù)的Fourier變換，求該函數(shù).解：為連續(xù)的偶函數(shù)，由公式有 但由于當(dāng)時當(dāng)時 當(dāng)時，所以得 7已知某函數(shù)的Fourier變換為，求該函數(shù). 解：由函數(shù)，易知 8求符號函數(shù)（又稱正負(fù)號函數(shù)）的Fourier變換. 解：容易看出，而9求函數(shù)的Fouri

5、er變換.解 ：.10 .求函數(shù)的Fourier變換.解: 已知由有11.求函數(shù)的Fourier變換.解:已知,由即得12.求函數(shù)的Fourier變換.解: 由于故.14.證明：若，其中為一實(shí)數(shù)，則 其中為的共軛函數(shù).證明：因?yàn)?同理可證另一等式.17求作如圖的鋸齒形波的頻譜圖.（圖形見教科書）. 解 ：131若是常數(shù)，證明（線性性質(zhì)）：分析：根據(jù)Fourier變換的定義很容易證明.證明：根據(jù)Fourier變換與逆變換的公式分別有6若，證明（翻轉(zhuǎn)性質(zhì)）：分析：根據(jù)Fourier變換的定義，再進(jìn)行變量代換即可證明.證明：（令）（換為）9設(shè)函數(shù)，利用對稱性質(zhì)，證明：證明：由對稱性質(zhì)：，則有12利用

6、能量積分，求下列積分的值：1）； 2）；3）；4）.解：1）（令）2）3），其中從而4）141.證明下列各式：2） ；6）10)分析：根據(jù)卷積的定義證明.證明： 2) 6）,.10) .2若，求.注意：不能隨意調(diào)換和的位置.解：由，所以 要確定的區(qū)間，采用解不等式組的方法.因?yàn)?即必須滿足 , 即, 因此（分部積分法）4 .若，證明:證明: 5.求下列函數(shù)的Fourier變換：1）；2）；5）；解: 1）已知,又.由位移性質(zhì)有.2）由Fourier變換的定義，有5）利用位移性質(zhì)及的Fourier變換，有再由象函數(shù)的位移性質(zhì)，有7已知某信號的相關(guān)函數(shù)，求它的能量譜密度，其中.解 由定義知9求函數(shù)

7、的能量譜密度.解: 因?yàn)?當(dāng)時，的區(qū)間為，所以當(dāng)時，的區(qū)間為，所以因此，現(xiàn)在可以求得的能量譜密度，即151求微分方程的解.分析：求解微分、積分方程的步驟：1）對微分、積分方程取Fourier變換得象函數(shù)的代數(shù)方程；2）解代數(shù)方程得象函數(shù)；3）取Fourier逆變換得象原函數(shù)（方程的解）. 解：設(shè)對方程兩邊取Fourier變換，得 即 其逆變換為4求解下列積分方程：1）2）. 解：1）利用卷積定理可以求解此類積分方程.顯然，方程的左端是未知函數(shù)與的卷積，即.設(shè)對方程兩邊取Fourier變換，有即 易知：，有即所以由上可知， .2）設(shè)對方程兩邊取Fourier變換，同理可得利用鐘形脈沖函數(shù)的Fou

8、rier變換及由Fourier變換的定義可求得：，從而即從而，其中，記，則，上式中第二項(xiàng)可利用微分性質(zhì)，則因此.5.求下列微分方程的解：其中為已知函數(shù)，均為已知常數(shù).解：設(shè)對方程兩邊取Fourier變換，可得即從而211求下列函數(shù)的Laplace變換，并給出其收斂域，再用查表的方法來驗(yàn)證結(jié)果.1).分析：用Laplace變換的定義解題. 解： .2).解：.3).解： .4).解： .7).解 ：.2求下列函數(shù)的Laplace變換：1)解： 2)解： 3) 解：.4)解： .221求下列函數(shù)的Laplace變換式：1）. 解:由.2).解 ：.3).解：5）.解: 由微分性質(zhì)有:6) 解:已知

9、,則 8).解: 由及位移性質(zhì)有.3若，證明（象函數(shù)的微分性質(zhì)）:特別地，或，并利用此結(jié)論計(jì)算下列各式：1），求.解：,2)，求.解：,3)，求.解:故 .4若，證明（象函數(shù)的積分性質(zhì)）:，或并利用此結(jié)論計(jì)算下列各式：1)，求. 解: ,2)，求.解:,231設(shè)均滿足Laplace變換存在定理的條件（若它們的增長指數(shù)均為），且，則乘積的Laplace變換一定存在，且其中證明： 已知均滿足Laplace變換存在定理的條件且其增長指數(shù)均為，由Laplace變換存在定理知也滿足Laplace變換存在定理的條件且表明的增長指數(shù)為.因此的Laplace變換在半平面上一定存在，且右端積分在上絕對且一致收斂

10、，并且在的半平面內(nèi)，為解析函數(shù).根據(jù)，則的Laplace反演積分公式為從而（交換積分次序）2求下列函數(shù)的Laplace逆變換（象原函數(shù)）；并用另一種方法加以驗(yàn)證.1）.2）.3）.10）.解： 1）.2）,3）,故10）由，有.3求下列函數(shù)的Laplace逆變換：1）.6）.13）.解 ： 1）用留數(shù)計(jì)算法，由于均為的二級極點(diǎn)，所以6）令, ,.13）.241.求下列卷積：3） （為正整數(shù)）.解： .注:本小題可先用卷積定理求出 的Laplace變換,再由Laplace逆變換求出卷積6) .解 ： .7) 解 ： 9) .解： .10) . 解： 當(dāng), .當(dāng), .2.設(shè)，利用卷積定理，證明:證

11、明：， 3.利用卷積定理，證明:.證明 ：,由有2-51.求下列常系數(shù)微分方程的解：1）；8）；12）；16）。分析：解題步驟，首先取Laplace變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程, 解代數(shù)方程求出象函數(shù), 再取Laplace逆變換得最后的解.解：1）方程兩邊取Laplace變換，并結(jié)合初始條件可得即.從而方程的解為8）對方程兩邊取Laplace變換，并結(jié)合初始條件，有即由留數(shù)計(jì)算法，由于是的一個一級極點(diǎn)，是的一個三級極點(diǎn)，從而方程的解為.12）對方程兩邊取Laplace變換，并結(jié)合初始條件，有即從而方程的解為.16）對方程兩邊取Laplace變換，并結(jié)合初始條件，有即，從而.為了確定，將條

12、件代入上式可得，所以方程的解為2.求下列變系數(shù)微分方程的解：1）；3）；5）.解: 1）方程兩邊取Laplace變換，有即，亦即從而兩邊積分可得或取其逆變換，有欲求，可由條件得到，即，所以方程的解為其中稱為零階第一類Bessel函數(shù).3）方程兩邊取Laplace變換，有整理化簡后可得即這是一階線性非齊次微分方程，這里所以從而方程的解為（為任意常數(shù)）5）方程兩邊取Laplace變換，有即整理化簡后可得兩邊積分可得即從而方程的解為（為任意常數(shù)）其中稱為n階第一類Bessel函數(shù)。3.求下列積分方程的解：1）；3）；5）.解:1）顯然，原方程可寫為兩邊取Laplace變換，并利用卷積定理，有所以從而

13、方程的解為3）原方程可寫為 兩邊取Laplace變換，并利用卷積定理，有即取其Laplace逆變換，有，即表明及均為所求.這里，為零階第一類Bessel函數(shù).5）原方程可寫為兩邊取Laplace變換，并利用卷積定理，有所以從而方程的解為，即及均為所求.4.求下列微分積分方程的解：1）；3）；5）；解:1）原方程可寫為兩邊取Laplace變換，得即從而方程的解為3）利用微分性質(zhì)與積分性質(zhì)，對方程兩邊取Laplace變換，有即 利用延遲性質(zhì)，方程的解為5）利用微分性質(zhì)與積分性質(zhì)，對方程兩邊取Laplace變換，有即 方程的解為5求下列微分、積分方程組的解：1）；4）8）解：1）對方程組的兩個方程兩邊分別取Laplace變換，有即解之可得取其逆變換，可得方程組的解為4）對方程組的三個方程兩邊分別取Laplace變換，有解之可得（注意：后兩個方程表明且）取其逆變換，可得解為8）對方程組的兩個方程兩邊分別取Laplace變換，有即消去，可得即將的結(jié)果代入得化簡得取其逆變換，可得方程組的解為7設(shè)在原點(diǎn)處質(zhì)量為的一質(zhì)點(diǎn)在時在方向上受到?jīng)_擊力的作用，其中為常數(shù)，假定質(zhì)點(diǎn)的初速度為零，求其運(yùn)動規(guī)律.解:由題意知，在時