微分中值定理及其應(yīng)用

1、微分中值定理及其應(yīng)用摘 要：微分中值定理不僅是微分學(xué)的基本定理,而且它是微分學(xué)的理論核心.本文主要介紹微分中值定理在等式的證明、不等式的證明、方程根的存在性以及求近似值等中的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞：等式證明;不等式證明;方程根存在性;近似值1 引言微分中值定理是微分學(xué)的基本定理,在數(shù)學(xué)分析中有重要的地位,在微積分教學(xué)與研究中具有承前啟后的作用,是研究函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的整體性質(zhì)的有力工具. 本文是以羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三個(gè)定理為研究對(duì)象，主要介紹微分中值定理的若干推廣和應(yīng)用.2 預(yù)備知識(shí)由于微分中值定理與連續(xù)函數(shù)緊密相關(guān),因此有必要介紹一些閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、定理.定理2.1

2、（最大、最小值定理） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上有最大值與最小值.定理2.2（費(fèi)馬定理） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,且在點(diǎn)可導(dǎo).若點(diǎn)為的極值點(diǎn),則必有.定理2.3(有界性定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上有界.即$常數(shù),使得有.定理2.4（介值性定理） 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且.若為介于與之間的任意實(shí)數(shù)(或),則至少存在一點(diǎn),使得.定理2.5（根的存在定理） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且與異號(hào)（即）.則至少存在一點(diǎn)使,即方程在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.定理2.6（一致連續(xù)性定理） 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在閉區(qū)間上一致連續(xù).3 微分中值定理的定義定理3.1（羅爾()中值定理） 若函數(shù)滿足如下條件

3、：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(iii),則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.定理3.2（拉格朗日()中值定理） 若函數(shù)滿足如下條件：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 定理3.3（柯西()中值定理） 設(shè)函數(shù)和滿足(i)在閉區(qū)間上都連續(xù)；(ii)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)都可導(dǎo)；(iii)和不同時(shí)為零；（iv），則存在,使得 4 微分中值定理的證明4.1 羅爾中值定理的證明根據(jù)條件在閉區(qū)間上連續(xù)和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理,若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)在閉區(qū)間上能取到最小值和最大值,即在閉區(qū)間上存在兩點(diǎn)和,使.且對(duì)任意,有.下面分兩種情況討論:（1）如果,

4、則在上是常數(shù),所以對(duì),有.即內(nèi)任意一點(diǎn)都可以作為,使.（2）如果,由條件,在上兩個(gè)端點(diǎn)與的函數(shù)值與,不可能同時(shí)一個(gè)取最大值一個(gè)取最小值,即在開(kāi)區(qū)間內(nèi)必定至少存在一點(diǎn),函數(shù)在點(diǎn)取最大值或最小值,所以在點(diǎn)必取局部極值,由費(fèi)馬定理,有.4.2 拉格朗日中值定理證明證法一：構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù), 其中.根據(jù)已知條件和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以知道在閉區(qū)間上是連續(xù)的，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的，并且還有, 所以我們可以根據(jù)羅爾定理就可以得到函數(shù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn), 使得 ,即.證法二：行列式法構(gòu)造輔助函數(shù) ,則 由此可得在閉區(qū)間上連續(xù) .由此可得在開(kāi)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo).又由,.可得.綜上所述,可知滿足羅爾中值定理的條件

5、,則至少存在一點(diǎn).使得,故.4.3 柯西中值定理的證明證法一：構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù), 其中.根據(jù)提舍得已知條件和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以知道函數(shù)在閉區(qū)間上是連續(xù)的，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的，而且還有, 所以我們根據(jù)定理就可以知道在內(nèi)一定存在一點(diǎn), 可以使得.即 ,故證得.證法二：行列式法構(gòu)造輔助函數(shù) .則 .由此可得在閉區(qū)間上連續(xù). .由此可得在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).由, .即.綜上所述:滿足羅爾定理的條件,則至少存在一點(diǎn),使得.故.5 微分中值定理的幾何解釋5.1 羅爾中值定理的幾何解釋 yabpb在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條水平切線（圖5-1）. yay=f

6、(x)y=f(x)+f(a) y= xab-af(b)-f(a)bxaoo圖5-2xb圖5-15.2 拉格朗日中值定理的幾何解釋 在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn),該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連續(xù)（圖5-2）.5.3 柯西中值定理的幾何解釋c(g( ),f( )y在曲線(其中為參數(shù),)存在一點(diǎn),使曲線過(guò)該點(diǎn)的切線平行于過(guò)曲線兩端點(diǎn)的弦（圖5-3）.b(g(b),f(b)aa a(g( ),f( )xo圖 5-3綜上所述,這三個(gè)中值定理歸納起來(lái),用幾何解釋為: 在區(qū)間上連續(xù)且除端點(diǎn)外每一點(diǎn)都存在不垂直于軸的切線的曲線,它們有個(gè)共同的特征在曲線上至少存在一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)的切線平行于曲線端點(diǎn)

7、的連線.6 微分中值定理之間的關(guān)系從這三個(gè)定理的內(nèi)容不難看出它們之間具有一定的關(guān)系.利用推廣和收縮的觀點(diǎn)來(lái)看這三個(gè)定理.在拉格朗日中值定理中,如果,則變成羅爾中值定理,在柯西中值定理中,如果,則變成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例.總的來(lái)說(shuō),這三個(gè)定理既單獨(dú)存在,相互之間又存在著聯(lián)系.從上面的討論中可以總結(jié)得到,羅爾中值定理是這一塊內(nèi)容的基石,而拉格朗日中值定理則是這一塊內(nèi)容的核心,柯西中值定理則是這一塊內(nèi)容的推廣應(yīng)用.7 微分中值定理的應(yīng)用三個(gè)定

8、理的應(yīng)用主要有討論方程根的存在性、等式證明、不等式證明、求近似值等.以下主要以例題的形式分別展示三個(gè)定理的應(yīng)用.7.1 羅爾中值定理的應(yīng)用羅爾定理是解決中值問(wèn)題的主要工具,應(yīng)用羅爾定理的具體步驟可歸納如下:(1)將要證中值公式寫成適應(yīng)的形式:.(2)構(gòu)作輔助函數(shù),使得等式恰相當(dāng)于.通常,將看作的函數(shù)求其原函數(shù),就得出所需的,當(dāng)這樣行不通時(shí),可試著用適當(dāng)?shù)囊蜃映?(3)驗(yàn)證或(,這通常是容易的,且一般在構(gòu)作時(shí)已考慮到了.例7.1 設(shè)則存在,使得證明 變換待證中值公式為: .則 .設(shè) ,則 .又,得.從而滿足羅爾定理的三個(gè)條件,則.例7.2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.試證:在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使

9、得.證明 選取輔助函數(shù),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), ,由定理,至少存在一點(diǎn),使因?yàn)?所以 或.例7.3 設(shè)且滿足,證明:方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證明 作輔助函數(shù).則,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),故滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,因此存在,使.又.由此即知原方程在內(nèi)有一個(gè)實(shí)根.例7.4 設(shè)函數(shù)于有窮或無(wú)窮區(qū)間中的任意一點(diǎn)有有限的導(dǎo)函數(shù),且,證明:,其中為區(qū)間中的某點(diǎn).證明 當(dāng)為有窮區(qū)間時(shí),設(shè)其中.顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且有,故由定理可知,在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使.而在內(nèi),所以.下設(shè)為無(wú)窮區(qū)間,若,可設(shè),則對(duì)由函數(shù)與組成的復(fù)合函數(shù)在有窮區(qū)間內(nèi)仿前討論可知:至少存在一點(diǎn),使,其中,由于,故.若為有限數(shù),則可取,而令.所以,

10、對(duì)復(fù)合函數(shù)在有窮區(qū)間上仿前討論,可知存在使,其中,顯然由于,故.對(duì)于,為有限數(shù)的情形,可類似地進(jìn)行討論.7.2 拉格朗日定理的應(yīng)用拉格朗日定理比羅爾定理的應(yīng)用更廣泛,因?yàn)樗鼘?duì)函數(shù)的要求更低.應(yīng)用拉格朗日中值定理與應(yīng)用羅爾定理證明命題的方法與技巧基本相同,只是變化更加豐富.例7.5設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo);且.證明: ,使得.證明 變換待證公式為: .設(shè),則可對(duì)應(yīng)用拉格朗日中值定理,則存在,使得.又,.則.設(shè),可對(duì)應(yīng)用拉格朗日中值定理,則存在,使得.則.故.例7.6 設(shè)為上二階可導(dǎo)函數(shù)，(a)=(b)=0, 并存在使得(c)0,試證:至少存在一點(diǎn)使得0 存在使得0而在,同樣推得0.例 7.7 證明時(shí)

11、,.證明 設(shè),則在上滿足中值定理又因?yàn)樗运约蠢?7.8 求的近似值.解 是在處的值,令,則, 由中值定理,存在一點(diǎn),有.可取近似計(jì)算,得.例7.9 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且時(shí), 其中m為常數(shù)，又f(a)0,試證方程=0在區(qū)間內(nèi)有唯一的實(shí)根。證明 由題設(shè)可知對(duì)函數(shù)在上可應(yīng)用lagrange中值定理，則.因而 .又,由連續(xù)函數(shù)介值性定理知，存在使得, 又,. 故在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，從而=0在內(nèi)有唯一的實(shí)根.7.3 柯西中值定理的應(yīng)用由于涉及兩個(gè)函數(shù)的問(wèn)題,柯西中值定理的應(yīng)用要比羅爾中值定理與拉格朗日中值定理的應(yīng)用要復(fù)雜,特別要注意的是,在一個(gè)命題中如何分離出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使函數(shù)既滿足柯西定理的

12、條件,又使命題的證明或計(jì)算簡(jiǎn)單易行.柯西中值定理經(jīng)常要與其他定理一起使用.所以分析問(wèn)題時(shí)要注意層次.若待證中值公式明顯地可表示為,則很可能就是,因而可應(yīng)用柯西定理.例7.10 設(shè),證明:存在,使得證明 變換待證中值公式為:,進(jìn)而有.從而有.令.對(duì)、應(yīng)用柯西定理,可知必存在,使得成立.故例 7.11 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在上可導(dǎo).試證:存在使得證明 設(shè),顯然它在上與一起滿足柯西中值定理?xiàng)l件,所以存在,使得整理后即得例 7.12 設(shè),對(duì)的情況,求證.證明 當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立,當(dāng)時(shí),取或,在該區(qū)間設(shè).由定理得： 或.即 .當(dāng)時(shí),.即 .又 .故 .即 .當(dāng)時(shí),.則 .故 .即 .例 7.13 設(shè)在上連續(xù),

13、內(nèi)可導(dǎo),試證 ,使得.證明 在等式兩邊同乘,則等價(jià)于,要證明此題,只需要證明上式即可.在上,取,當(dāng)時(shí),用中值定理得即在上,再取,當(dāng)時(shí),用中值定理得即即即9 總結(jié)微分中值定理是微分學(xué)的基本定理,而且它是微分學(xué)的理論核心,有著廣泛的應(yīng)用.本文主要是對(duì)微分中值定理等式的證明、不等式的證明、方程根的存在性以及求近似值等的應(yīng)用.應(yīng)用微分中值定理證明命題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù),構(gòu)造滿足某個(gè)微分中值定理的條件而得到要證明的結(jié)論. 參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析m.北京:高等教育出版社第三版,2001.2同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)m北京:高等教育出版社，20033黨艷霞.淺談微分中值定理及其應(yīng)用j.廊

14、坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010.4歐陽(yáng)光中,朱學(xué)炎.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第三版上冊(cè)m.北京:高等教育出版社,2007.5劉章輝.微分中值定理及其應(yīng)用j.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007.6楊耕文. 用行列式法證明微分中值定理j. 洛陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào),2006.7高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及習(xí)題選講m. 北京工業(yè)大學(xué)出版社,2005.8陳紀(jì)修,徐惠平,周淵,金路,邱維元. 數(shù)學(xué)分析選講指南（上冊(cè)）m. 北京:高等教育出版社,2006.9孫清華,孫昊.數(shù)學(xué)分析疑難分析與解題方法（上）m.中國(guó)武漢:華中科技大學(xué)出版社,2006.10張則增,周相泉等.微分中值定理的推廣j.山東師大學(xué)報(bào),1998.different

15、ial mean value theorem and its applicationsqin guohua(school of mathematics and statistics, anyang normal university, anyang, 455002 )abstract:differential mean value theorem is not only the basic theorem of differential calculus, but also the core theory of differential calculus.this thesis mainly intro