籃球投射的數(shù)學(xué)模型

1、籃球投射的數(shù)學(xué)模型 摘 要：數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，建立數(shù)學(xué)模型有著很強(qiáng)的實(shí)用性。該文從出手角度和出手速度等關(guān)系入手，對(duì)籃球投射問題深入分析，建立其數(shù)學(xué)模型，并給出詳細(xì)的求解過程和結(jié)果。意在對(duì)籃球投射問題做一點(diǎn)研究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的實(shí)用性。關(guān)鍵詞：籃球投射；出手角度；數(shù)學(xué)模型the mathematical model of basketball throwingabstract：mathematical models are such an important part of the content of mathematics that establishing mathematic

2、al models is very practical. starting with the relationship between throwing angle and throwing speed and so on, this paper thoroughly analyzes the issue of basketball throwing, establishes a mathematical model for it, and also gives its detailed solution procedure and its results. it aims at making

3、 a research into the problem of basketball throwing so as to illustrate the practicality of mathematical models.key words：basketball throwing; throwing angle; mathematical model1 引言目前，國外研究籃球問題的角度主要從組合、技術(shù)、營養(yǎng)、技巧等方面入手，全方位、多側(cè)面考慮多種因素對(duì)投籃效果的影響，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，并打造出了類似nba的國際知名球賽國外研究考慮的因素雖比較全面,有利于球員的充分發(fā)揮,但由于中國球員的身

4、高、體力等與國外球員相比有較大差別, 因此, 此類數(shù)學(xué)模型不能全部照搬而國內(nèi)著作在該方面的研究相對(duì)較少郭鼎文在文獻(xiàn)2中對(duì)籃球投射如何使命中率提高作了很好闡述,但沒有針對(duì)這個(gè)問題給出實(shí)際有效的模型，以便更好地分析問題；文獻(xiàn)3、4、15分別從球員的攻防能力、得分能力、若干技術(shù)指標(biāo)與隊(duì)員比賽能力方面運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法建立模型，并且主要針對(duì)cba等職業(yè)球賽的球員的身高、體能等方面的因素作分析，雖然具有一定的實(shí)用性，但是缺乏普遍應(yīng)用性，還有待于更深入地研究本文就是在這樣的背景下,對(duì)籃球投射的問題作一點(diǎn)討論運(yùn)用運(yùn)動(dòng)力學(xué)的知識(shí)，建立有效的籃球投射模型, 從籃球投射時(shí)球的出手角度、出手速度、出手高度和籃球球心與

5、籃圈圈心的水平距離、籃球入射角之間的關(guān)系入手，分析各種因素對(duì)投籃命中率的影響，并作適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，在合理估計(jì)出手點(diǎn)與籃圈圈心距離并保持出手速度穩(wěn)定的情況下, 確定投籃的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一個(gè)既能使投籃時(shí)不過多耗費(fèi)體力又能提高投籃命中率的結(jié)論2 問題提出籃球是一種跳躍運(yùn)動(dòng)，而投射是一種常見的投籃動(dòng)作1，但是運(yùn)動(dòng)員如何在投籃的過程中把握好投射，并準(zhǔn)確有效地投籃呢？下面針對(duì)問題進(jìn)行詳細(xì)的分析,并建立數(shù)學(xué)模型.3 問題分析投射的關(guān)鍵是向上舉球和起跳動(dòng)作協(xié)調(diào)一致，同時(shí)保持籃球在空中最高點(diǎn)被迅速穩(wěn)定地投出2投球的過程是一個(gè)拋物的過程，球飛行的弧線可看作是一條拋物線過去的實(shí)驗(yàn)表明，投籃的拋物線過高

6、，球飛行的時(shí)間過長，路程也大，受空氣的阻力和風(fēng)力的影響則大，不宜控制球的飛行方向，從而影響投籃的命中率3. 籃球飛行的拋物線太低，球的入射角較小，也難于將籃球投中考慮合理的出手角度和出手速度是解決問題的最大關(guān)鍵4，此時(shí),籃球在飛行過程中受空氣阻力、風(fēng)力的影響等許多次要因素，則可以忽略(不影響投籃的實(shí)際效果)4 模型假設(shè)（1） 據(jù)物理學(xué)知識(shí)，假設(shè)投籃時(shí)，籃球與球板的碰撞是完全彈性碰撞5，沒有能量損失;（2） 運(yùn)動(dòng)員掌握熟練的投籃技術(shù)，并能根據(jù)實(shí)際需要控制球的出手角度與相應(yīng)出手速度，準(zhǔn)確判斷出手點(diǎn)與籃圈圈心的水平距離;（3） 運(yùn)動(dòng)員有良好的心理素質(zhì)6,防守隊(duì)員的防守不影響投籃的命中率;（4） 投籃

7、的運(yùn)動(dòng)曲線和籃圈圈心在同一平面內(nèi);（5） 忽略空氣阻力，籃球在空中的旋轉(zhuǎn)不影響投籃效果;（6） 籃球是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，且這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置位于球的重心（球心）5 符號(hào)說明：出手點(diǎn)到籃圈圈心的水平距離； ：籃圈的半徑（0.2m）；：籃圈高度（3.05m）；: 出手高度；：出手角度；：最佳出手角度；：陰影部分面積；：球出手時(shí)線速度；：球的飛行時(shí)間（以出手時(shí)為零時(shí)刻）；g：重力加速度；：水平方向上的橫坐標(biāo)（以籃球的出手點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）；：豎直方向上的縱坐標(biāo)（以籃球的出手點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）；：籃圈的圈心坐標(biāo)（以籃球的出手點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）；：球的入射角度；6 模型建立及求解61 投空心籃時(shí)的情況分析以籃球出手時(shí)籃球球心為

8、坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖1：rp1p0p2x yo圖1 由動(dòng)力學(xué)知弧、的方程為一般性運(yùn)動(dòng)軌道方程，可用參數(shù)方程（1）描述時(shí)刻球的所在位置7, 即: ， (1)消去參數(shù)得到， (2) 若籃球球心恰好通過籃圈圈心，將代入（2）整理得到 . (3) 用mathematica軟件畫出(3)式的圖像為（程序如附錄1），如下圖2：o圖 2由拋物線的性質(zhì)得知，出手角度增大，入射角度也增大，減小，也減小當(dāng)減小到以下時(shí), 籃球就會(huì)與籃圈相碰而很難進(jìn)入圈中8, 故若要考慮籃球投中的情況, 則只需考慮大于的情況即可由圖二可以分析出，當(dāng)大于時(shí), 大增大,增大，這就說明要使籃球運(yùn)動(dòng)時(shí)通過籃圈圈心，且當(dāng)籃球的出

9、手角度增大時(shí),球的出手速度也相應(yīng)增大，由數(shù)學(xué)知識(shí)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)分析（如圖3）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)球垂直（為時(shí)）進(jìn)入圈中時(shí)，籃球可以通過的范圍是整個(gè)籃圈,即直徑為45cm的圓圈. 如圖3中的甲圖所示，小于時(shí)籃球可以通過籃圈的范圍變成了一個(gè)橢圓（長軸等于籃圈的直徑，如圖3中的乙、丙），從上面可以看出，增大，增大，也增大，籃球可以通過的范圍（橢圓面積）也增大，從一定程度上說提高了投籃命中率，反之，則使籃球可以通過的范圍變小但是否、越大越好呢？我們將作進(jìn)一步討論甲乙丙圖3據(jù)公式（3）可以求出當(dāng)籃球的出手角度為時(shí)，要求能使籃球投入籃圈的出手速度為20米/秒，這個(gè)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了任何運(yùn)動(dòng)員用任何投球方式所能達(dá)到的速度

10、9說明、并不是可以無限地增大，那么考慮、為多大時(shí)，才能使投球效果最佳，而又切合實(shí)際呢？根據(jù)(2)式設(shè)的方程為, (4) 由曲線過點(diǎn),有, (5) 故的方程為 ， (6)同理，過點(diǎn),且的方程為 ， (7)寫出直線，的方程直線的方程為 ， (8)直線的方程為 ， (9)求陰影面積，有， (10)， (11) ， (12)故 . (13) 由的表達(dá)式可以看出，越大（即越大，），越大，但事實(shí)上,投籃初速度只能在某一范圍內(nèi)變化10，由（3）式知，相應(yīng)的出手角度也只能在某一范圍內(nèi)變化，所以只可能在某一范圍變化為求在所給定的范圍內(nèi)使達(dá)到最大時(shí)的值，我們把化為關(guān)于初速度的函數(shù)來求極大值11回到運(yùn)動(dòng)方程 ， (

11、14)設(shè)它過點(diǎn),將此坐標(biāo)代入(14)式有 ， (15)從而 ， (16)這是關(guān)于的一元二次方程，取其較小的根 ， (17) 其中，應(yīng)滿足 (18)解上述不等式，得到 (19)又因?yàn)?, (20)所以，是的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)12，當(dāng) 達(dá)到最小值時(shí)，達(dá)到最大值，由于 , (21)故有 , (22) (23)從（23）式可以看出，是關(guān)于的單調(diào)減函數(shù)，所以, ， (24)另一方面 , (25) 綜上所述，一般投射角應(yīng)控制在以下范圍內(nèi)，即 (26)相應(yīng)地，由（3）式，出手速度應(yīng)控制在 (27)范圍之內(nèi)62 投碰板籃時(shí)的情況分析現(xiàn)在假設(shè)與籃球板背面的那邊也有一個(gè)“籃圈”，這時(shí)根據(jù)假設(shè)（1），補(bǔ)出籃板背面的部分

12、，籃球運(yùn)動(dòng)的曲線也構(gòu)成一條拋物線，這種情況考慮為這條拋物線也通過籃板后面的那個(gè)籃圈13但這時(shí)球員要正確估計(jì)球出手點(diǎn)到虛擬籃圈圈心的水平距離，這時(shí)投籃的情況轉(zhuǎn)化為投空心籃的情況給予考慮，（原變?yōu)?0.575，計(jì)算機(jī)程序如附錄3），如圖4: ox y圖47 模型應(yīng)用籃球運(yùn)動(dòng)員在投球的瞬間，需要大概估計(jì)出手點(diǎn)的所在高度和出手點(diǎn)與籃圈圈心的水平距離，這將影響投籃的效果14,下面根據(jù)投空心籃和碰板籃的不同情況給出結(jié)論 以出手點(diǎn)高=2.9m為例,籃球運(yùn)動(dòng)員投空心籃時(shí),利用公式(26),可以求得在不同的落球點(diǎn)的相應(yīng)出手角度范圍如下（用mathematica程序求解，程序如附錄2）:投空心籃時(shí)落球點(diǎn)與出手角度

13、的情況統(tǒng)計(jì)表82562552542532 以出手點(diǎn)高為=2.5m,運(yùn)動(dòng)員投空心籃時(shí),可以利用公式(26)在不同的落球點(diǎn)的相應(yīng)出手角度范圍如下:投空心籃時(shí)落球點(diǎn)與出手角度的情況統(tǒng)計(jì)表82562552542532 當(dāng)出手高度為=2.5m投碰板籃,運(yùn)動(dòng)員投碰板籃時(shí), 可以利用公式(26)在不同的落球點(diǎn)的相應(yīng)出手角度范圍如下(程序如附錄3):投碰板籃時(shí)落球點(diǎn)與出手角度范圍的情況統(tǒng)計(jì)表82562552542532 從表中可以看出，當(dāng)投籃的出手點(diǎn)高=2.5m，在罰線線投球的最佳出手角度是，在三分線投球的最佳出手角度是這與現(xiàn)實(shí)中的投籃結(jié)果差異很小158 總結(jié) 本文對(duì)現(xiàn)實(shí)中的籃球投射問題作了一點(diǎn)點(diǎn)探討.針對(duì)籃

14、球運(yùn)動(dòng)員投空心籃與碰板籃的不同投籃情況，假設(shè)在保持合理有效的出手角度情況下,忽略空氣阻力和風(fēng)力對(duì)投籃效果的影響（這樣的假設(shè)并不會(huì)影響投籃的實(shí)際效果,有利于問題解析的簡化）, 根據(jù)各個(gè)運(yùn)動(dòng)員不同的身高、不同的位置和不同的出手點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)模型,充分考慮影響投籃效果的出手速度和出手角度等主要因素，逐步分析導(dǎo)出投籃的出手點(diǎn)與所在位置的最佳出手角度（利用附錄2、3，可以有效改變出手高度,進(jìn)而影響出手角度和出手速度），并利用數(shù)學(xué)軟件mathematica的作圖功能處理數(shù)據(jù)、繪出圖形促進(jìn)了問題的有效分析此外，現(xiàn)實(shí)籃球運(yùn)動(dòng)中還有很多情況可以通過建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行有效分析,數(shù)學(xué)模型的作用表現(xiàn)出越來越廣泛的作用,建

15、立模型需要的知識(shí)也越來越復(fù)雜.鑒于本人知識(shí)水平有限，還有很多不足的地方，有待于日后進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究附錄1in1：x0=6.25;y0=0.55;g=9.8;plot（gx02/(2cos2(x0tan- y0)）(1/2)， ，0，pi/2附錄2運(yùn)行mathematica源程序in1：=s0=6.25;r=0.2; high1=3.05; high2=2.5;in5：=temp1=(high1-high2)/(s0+r); temp2=(high1-high2)/(s0-r);in7：=thetal=arctantemp1+sqrttemp12+1180/npi out7：=47.44in8：

16、= theta2=arctantemp2+sqrttemp22+1180/npi out8：=47.60in9：=temph=high1-high2;in10：v1=sqrt2(temph+sqrttemph2+(s0-r)2 ) out10：=3.4502in11：v2=sqrt2(temph+sqrttemph2+(s0+r)2 ) out11：=3.56421 附錄3只須將附錄2中的s0分別加上0.575即可求出相應(yīng)出手角度與出手速度參考文獻(xiàn) 1 郭洪寶籃球競賽規(guī)則問答m北京：北京體育大學(xué)出版社，2004：76782 郭鼎文投籃的技巧m北京：北京體育大學(xué)出版社，2003：10233 楊遠(yuǎn)波第六屆中國大學(xué)生籃球聯(lián)賽男子強(qiáng)攻防能力研究j成都體育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，(1)：72744 何惠民對(duì)cuba男籃得分能力的研究與分析j杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，（10）：16185 程守洙，江之永普通物理學(xué)m北京：高等教育出版社，2001：1031046 張新儀，寇振聲籃球運(yùn)動(dòng)理論與方法m山東：石油大學(xué)出版社，2001：374376 7 趙凱華，羅蔚茵力學(xué)m北京：高等教育出版社，2004：26278 湯小康，張懷釗街頭籃球?qū)崙?zhàn)技巧m北京：北京體育大學(xué)出版社，2004：9092 9 張宏杰，陳釣籃球運(yùn)動(dòng)m北京：北京體育大學(xué)出