金融時間序列分析 第2章單變量線性隨機模型

1、第2章 單變量線性隨機模型2.1 隨機過程、實現(xiàn)值和遍歷性一、 隨機過程、實現(xiàn)值和遍歷性 實現(xiàn)值（realization）：觀測到的序列值。 隨機過程：隨機過程是一族隨機變量，即對指標集中的每個，是一個隨機變量。如果為時間，則是過程在時刻的狀態(tài)?？梢钥醋魇菫楦怕史植肌１緯帽硎倦S機過程和實現(xiàn)值。僅當過程是遍歷時，利用單組實現(xiàn)值來推斷聯(lián)合概率分布的未知參數才是正確的。時間平均是否等于總體平均，這就是遍歷性問題，它是一個矩問題。均值遍歷：如果一個協(xié)方差平穩(wěn)過程的自協(xié)方差滿足，且當時，則是關于均值遍歷的；如果對所有的成立，則稱該過程是關于二階矩遍歷的。隨著實現(xiàn)值序列的長度向無限伸展，有限長度實現(xiàn)值序

2、列的樣本矩趨向于其總體矩。注意：平穩(wěn)并不一定就是遍歷的。以后將假設所有的序列都具有遍歷性。如果隨機過程服從聯(lián)合正態(tài)分布，則用一二階矩就可以描述整個過程均值（個）： 方差（個）： 協(xié)方差（個： 二、 平穩(wěn)性（絕對；嚴格）平穩(wěn)：假設隨機過程的性質不受時間地點變化的影響，稱為絕對（嚴）平穩(wěn)。即聯(lián)合分布函數只取決于時期的間隔，與時期本身無關。從而它的所有矩都不依賴于時間。弱（協(xié)方差，寬）平穩(wěn)：如果隨機過程的均值和協(xié)方差都不依賴于時間，即 其中稱為自協(xié)方差。如果為時滯的函數，則稱為自協(xié)方差函數。平穩(wěn)和寬平穩(wěn)的關系：1） 具有有限二階矩的（嚴）平穩(wěn)過程，一定是寬平穩(wěn)過程。2） 寬平穩(wěn)過程只限定了一階矩和二

3、階矩，從而寬平穩(wěn)過程不是（嚴）平穩(wěn)過程。自相關以及自相關函數acf：定義為自相關。如果它是時滯的函數，則稱為自相關函數acf。acf和均質方差一起共同表現(xiàn)了弱平穩(wěn)隨機過程的特征。通過測量過程的某個值和歷史值的相關程度，acf顯示了過程的“記憶”長度和力度。2.2 隨機差分方程時間序列分析的一個基本定理就是wold分解定理。wold分解定理：任何零均值協(xié)方差平穩(wěn)過程可表示成如下形式 其中，且。是白噪聲，也稱新生量。對于任意的，的值與無關。這里稱為的線性確定性分量，而稱為線性非確定性分量。若，該國成為純線性不確定的。白噪聲過程：是一種均值和自相關系數均為零的隨機過程。如果滿足對任意的，則為（弱）白

4、噪聲過程。如果為獨立同分布的隨機過程，則為（嚴格）白噪聲過程。根據wold分解定理，所有的弱平穩(wěn)，完全非確定隨機過程都可寫作一個非相關隨機變量序列的線性組合（或稱為線性濾波），這個線性濾波的表達式為 （2.1）具有下列性質，所有的。稱為白噪聲過程，記為。為權重系數。 模型（2.1）的明顯具有自相關性。下面考察的二階矩 為了保證方差有限，要求權重絕對可加，即，則此線性濾波表達式收斂。這個條件相當于假設為平穩(wěn)過程。2.3 arma過程一、 自回歸（ar）過程由（2.1）根據參數選擇的不同，形成過程的集合。?。槭裁矗?，記（為什么取冪；），則（2.1）被記為或寫成 為白噪聲（和嚴格白噪聲的區(qū)別） 稱

5、為一階自回歸過程。利用時滯運算符，記為可得（為什么）級數收斂的充分條件為（為什么），收斂則意味著過程是平穩(wěn)的?，F(xiàn)在考察一階自回歸過程的acf（自相關函數）兩邊同時乘以，兩邊同時取期望，得出（為什么）迭代下來，繼而可以得到自相關函數當 此時自相關函數振蕩衰減。拖尾當 此時自相關函數指數衰減。拖尾（模擬圖見本書16頁）二 、 移動平均過程ma由?。坏玫?或 它稱為一階移動平均過程，是平穩(wěn)過程（為什么）由此可見自相關函數 截尾一階移動平均過程是否可以變成自回歸過程，這需要強加一個限制性條件稱為可逆性條件。由，變?yōu)椋瑢磧缂墧嫡归_，就得到（模擬圖件本書19頁）三、 一般的ar和ma過程由ar(p)模型

6、的形式為或用滯后運算符形式記為這個過程平穩(wěn)的條件是其特征方程，也就是的根位于單位圓外，記。其自相關函數acf的形式為（見漢密爾頓），解為由于所以自相關函數是指數衰減和震蕩衰減混合函數組成。因此ar過程具有拖尾特性。不能用acf來區(qū)分不同的階數。因此需要偏自相關函數pacf來確定ar過程的階數。階偏自相關是過程中的系數。它的經濟意義是度量介于和之間的滯后值調整后的額外相關性。利用yule-walker方程，利用克萊姆法則求解得到。根據定義，可以得到ar過程的pacf性質1） 模型： 2） 模型： ， 3） 模型： ， 也就說，ar模型的特征為1） acf拖尾；2）pacf截尾。根據這兩個特征可以

7、確定階數。（二） 一般ma過程形式為 或記為 其acf為 ma過程有以下兩個特征：1） acf截尾；2）pacf拖尾。從而根據這個特征確定ma過程的階數。四、 自回歸移動平均模型（自回歸模型和移動平均模型的結合）1） arma(1,1)模型或書中關于arma模型平穩(wěn)性的說法是否正確？（第28-29頁）已經證明，arma(1,1)模型平穩(wěn)性完全取決于自回歸參數，而與移動平均參數無關。而且已經證明arma(1,1)模型的acf拖尾，但衰減的起始位置不同，它是從開始衰減，而ar(1)模型是從開始衰減，而且。而且已經證明，arma(1,1)模型的pacf拖尾，但衰減的起始位置不同，它是從開始衰減，而a

8、r(1)模型是從開始衰減，而且。2） arma(p,q)模型形式為或其平穩(wěn)性完全取決于自回歸參數而與移動平均參數無關。arma模型的acf和pacf都具有拖尾特性，但拖尾特征具有以下特點：其在個初始值后，其的拖尾特征和ar(p)的特征相同。在個初始值后，其的拖尾特征和ma(q)的特征相同?？偨Y一下：ar(p)ma(q)arma(p,q)acf拖尾在q截尾拖尾pacf在p截尾拖尾拖尾2.5 arma建模一、 樣本自相關sacf和偏自相關函數spacfarma建模的前提假設就是平穩(wěn)性和遍歷性。有了這兩個條件之后，總體矩就可以利用樣本矩來估計。均值、方差以及自相關函數的估計量分別為 ； ；sacf:

9、 sacf的檢驗統(tǒng)計量為： 其漸進分布服從自由度為的卡方x分布，即樣本偏自相關的估計量為每個模型的最后一個系數。二、 模型的兩種建立方法：1 b-j(box-jenkins)建模方法（eviews使用的建模思想） 將某個時間序列的sacf和spacf的行為與各種理論acf和pacf的行為匹配起來，挑選最佳匹配（或一組匹配的集合），估計模型的未知參數，并檢查從模型擬和得到的殘差，已發(fā)現(xiàn)可能的模型錯誤。2 在以考慮的最大可能范圍的值和值的基礎上，選擇一組模型，估計可能的模型，并選擇某個以擬合度為基礎的選擇標準最小化的模型。3 經典經濟計量模型，時間序列模型，和動態(tài)經濟計量建模的關系。4 選擇模型的

10、標準：（存在多個行為匹配的模型）1） aic標準：（akaike信息標準） 2） bic標準 5 標準如何使用？ 首先設定和的階數上限，和，并規(guī)定和，則選擇的階數和由如下法則確定：或 。三、 在中的實現(xiàn)：（以序列index為例）1 通過自相關分析圖判斷平穩(wěn)性：如果序列的自相關系數很快地趨于零，即落入隨機區(qū)間，則時序是平穩(wěn)的，否則是非平穩(wěn)的。2 自相關圖的實現(xiàn)：主菜單中選擇quick/series statisttics/correlogram，在對話框中輸入分析的序列名稱。如index，點擊ok彈出相關圖定義。選擇之后，點擊ok，從而得到時間序列的自相關和偏自相關分析圖。3 根據相關圖和偏自相

11、關圖判斷自回歸和移動平均的階數。4 模型參數的估計方法： 在主窗口選擇quick/estimate/equation，輸入index ar(1) ar(2) ar(p) ma(1) ma(2)ma(q) 點擊ok進入。5 結果中要求aic和bic越小越好。而且最后兩行的數值落在單位圓內。注釋：1）見數據分析與eviews應用第五章。 2）階數一般選擇不要超過2。 3）建立模型前，一般要進行單位根檢驗，從而采取方法消除季節(jié)性和趨勢性對模型的影響。 6 模型的檢驗：1） 檢驗的主要方法就是對模型的殘差序列進行白噪聲檢驗。檢驗殘差序列的樣本自相關系數是否為零。檢驗的統(tǒng)計量為卡方檢驗。殘差序列的自相關

12、函數為 m為最大滯后期。一般取。檢驗統(tǒng)計量為在零假設下，服從卡方分布。給定置信度，如果則不能拒絕殘差序列相互獨立的原假設，通過檢驗。否則拒絕原假設。實現(xiàn)方法：直接對殘差序列的檢驗，即分析殘差序列的自相關圖。2） 檢查是否過度擬合。可以用高階的模型進行擬合，并與原模型的結果進行比較。 2.6 非平穩(wěn)過程和arima模型本節(jié)考察非平穩(wěn)情況下的arma建模：一、 方差的非平穩(wěn)性假設時間序列可被分解為一個非隨機的平均值水平和一個隨機的誤差：其中為隨機誤差項，為非隨機均值。并且假設的方差和有下列函數關系為某個已知函數?，F(xiàn)在求數據轉化函數，的方差為常數。可以擴展成一階泰勒級數：方差如果希望的方差為常數，則

13、必須使。如果的標準差與成正比，即，則穩(wěn)定方差意味著，也就是。因此，金融時間序列的對數變換，僅僅消除了與均值成正比的序列方差。二、 均值的非平穩(wěn)性（一）第一種情況如果所以，此時系數恒定不變，所以稱均值的這種趨勢為確定趨勢?，F(xiàn)在考慮簡單的，誤差為白噪聲序列的情形：進行一階差分，得到此時可以看出既不平穩(wěn)又不可逆。但可見是一個平穩(wěn)但不可逆的ma過程。 對于一般情況下，如果趨勢的多項式為次的，則（二） 第二種情況：arma模型的參數不滿足平穩(wěn)性條件。1） 時此時它的解為為在時間時的條件期望。在時間時的條件期望依賴于隨機沖擊。是時間的函數。方差為時間的增函數。當時，它發(fā)散。爆發(fā)性過程：均值和方差都含有時間

14、趨勢，就稱為爆發(fā)性過程。2） 時 平穩(wěn)過程3） 時 變?yōu)闉殡S機游走模型。齊次非平穩(wěn)過程：通過一次或多次差分就變成平穩(wěn)過程的序列，就稱為齊次非平穩(wěn)過程。差分的次數就是齊次的階數。我們遇到的大多數非平穩(wěn)時間序列都具有這種特性。如果加入常數，則變?yōu)橛衅频碾S機游走模型。迭代它的特征為 其自相關函數，當時，所有的自相關系數都近似為1。也就是的序列非常平滑。隨機游走模型是整過程（非平穩(wěn)過程）的特例。3） 對于，可以記為隨機游走模型進行一階差分后，變成平穩(wěn)過程。這就是arima建模的基本原理。4） 通常一個序列需要經過次差分后，會得到平穩(wěn)過程，但可能會呈現(xiàn)相關性，這就可以用arma進行模擬，而原始序列的模

15、型形式為，稱為過程，也被稱為階整過程。 對于所有。arima過程的自相關也會接近于1。5） 可以記作，當時，為記整過程可以通過平穩(wěn)過程的相加或“積分”次得到。6） 兩個概念 對于，當時，模型表現(xiàn)的是隨機趨勢（一個時間的次多項式）；當時，模型表現(xiàn)的是隱埋在非平穩(wěn)噪音下的確定趨勢。因此既可以擬合隨機趨勢，也能擬合確定趨勢。2.8 arma模型的預測最小均方誤差：選擇預測，使得最小。我們可以證明均方誤差最小預測就是的條件期望。（參見時間序列分析預測與控制）對于過程：令則其最小均方誤差預測且因此，預測的做法是：用已知值代替歷史期望值；用預測值代替未來期望值。起點為的步未來預測的誤差為這里為的前個權重。預測誤差是時間后進入系統(tǒng)的不可預見未來沖擊的線性組合。方差為。而一步預測的誤差為方差為例1 ar(2)過程的預測模型為即；當時，其預測值為。當時，其預測值為。當時，其預測值為另外一種表達方式為反復代換得到因為根據慣例，于是當時因此對于ar