初中數(shù)學(xué)論文：從一道課本練習(xí)題談圓的“滾動

1、點燃思維的火種 ，燃起創(chuàng)造的欲望從一道課本練習(xí)題談圓的“滾動” 數(shù)學(xué)課本是獲取數(shù)學(xué)知識的主要源泉，課本中的例題、練習(xí)題都是由編者精心篩選，匠心獨運而成的，具有豐富的內(nèi)涵和背景，對強化雙基、開發(fā)智力、培養(yǎng)能力，有著極大的潛在價值。近幾年，圓的“滾動”題已成為中考數(shù)學(xué)和各類數(shù)學(xué)競賽題的熱點之一。這類考題有的直接取之課本，有的則是把課本中的例題、練習(xí)題的條件或結(jié)論進行適當(dāng)加工，改造編擬而成。所以在教學(xué)中要深入探求問題各種各樣的變式，橫、縱拓展，可以達到“做一題，通一類，會一片”。這樣既能加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，增強綜合運用知識的能力，提高學(xué)習(xí)效率，又可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的各種思維能力，提高分析問題、

2、解決問題和探索創(chuàng)新的能力。為此，本文以北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊120頁隨堂練習(xí)第2題為例，來談?wù)剤A的滾動問題。一 、 圓沿著直線滾動原題 如圖：一枚直徑為d的硬幣沿著直線滾動一圈，圓心經(jīng)過的距離是多少？o1oab分析：這是一道屬于圓沿直線滾動的問題。硬幣沿著直線從點a滾動一周到點b，滾動過程中圓與直線始終是相切的 ，圓心到直線的距離都等于半徑，oo1 ba構(gòu)成一個矩形，所以圓心經(jīng)過的路徑oo1 =ba，即圓心經(jīng)過的距離等于硬幣的周長。變式1：（對題目的條件進行簡單變換）小明自行車車輪的外半徑為，他推著自行車前進，車輪向前滾動了10圈，他前進了多少？ 分析：小明前進的距離就是車輪所在的圓滾動10圈

3、所經(jīng)過的距離。即等于圓的周長乘以圓轉(zhuǎn)動的圈數(shù)，所以小明前進的距離為：變式2：（對題目的條件和結(jié)論進行互換）反之，圓心經(jīng)過的路程為一個圓周長，則圓自身轉(zhuǎn)動了一圈。推廣：二 、 圓沿著圓滾動若把原題中的直線改成線段并且圍成一個圓，那就屬于圓沿著圓滾動的問題。變式3：如圖 兩枚大小相同的硬幣，將其中一枚固定在桌上，另一枚沿著固定硬幣的外側(cè)邊緣無滑動地滾動一周，滾動硬幣的圓心移動多少距離？分析：無滑動地滾動指滾動過程中兩硬幣（兩圓）始終外切，若固定硬幣為0，滾動硬幣為o,半徑均為，oo=2r，動圓的圓心o所經(jīng)過的路徑是一個半徑為2r的圓的周長即2(r+r）=4r。對變式3，再進行拓展拓展1：（北師大版

4、數(shù)學(xué)九年級下冊127頁試一試 ）圖-1，兩枚大小相同的硬幣，將其中一枚固定在桌上，另一枚沿著固定硬幣的外側(cè)邊緣無滑動地滾動一周，那么滾動的硬幣自身轉(zhuǎn)了多少圈？分析：硬幣沿著固定硬幣的邊緣無滑動地滾動一周，根據(jù)原題變式2得出推廣結(jié)論和變式3的結(jié)果，滾動硬幣拓展2 :（第九屆華羅庚杯賽初賽試題第12題）半徑為25cm的小鐵環(huán)沿著半徑為50cm的大鐵環(huán)的內(nèi)側(cè)作無滑動的滾動，當(dāng)小鐵環(huán)沿著大鐵環(huán)滾動一周回到原位時，問小鐵環(huán)自轉(zhuǎn)了幾圈？分析：無滑動地滾動指滾動過程中兩鐵環(huán)（兩圓）始終內(nèi)切，滾動過程中小鐵環(huán)圓心所經(jīng)過的路徑長為2（50-25）=50，小鐵環(huán)拓展3：（1995年東方航空杯上海市初中數(shù)學(xué)競賽題）

5、如圖2所示，七枚大小相同的硬幣如圖放在桌面上。第1枚硬幣從位置開始滾過與它相同的其他六枚固定的硬幣的上部，到達位置，求該枚硬幣自身共滾過多少圈？ 分析：如圖-3所示，當(dāng)這個圓從左邊位置滾動到位置時，圓心轉(zhuǎn)過的角ao1p=1800-600=1200,圓心經(jīng)過的路徑為，它轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；從p位置滾到q位置圓心轉(zhuǎn)過的角po2q=600，它轉(zhuǎn)過的圈數(shù)=，在整個過程中，它類似于從位置滾動到q位置時，共要經(jīng)歷4次；最后它滾到位置類似于從位置滾動到位置，又是圈。因此，一共滾動了 若把原題中的直線改成線段并且折圍成多邊形呢？三 、 圓沿著多邊形滾動變式4：（西安市2004年中考題）如圖一個等邊三角形的邊長與它的一

6、邊相切的圓的周長相等，當(dāng)這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊無滑動旋轉(zhuǎn)，直到回到原出發(fā)位置時，問這個圓自身轉(zhuǎn)了幾圈？（ ）（a）2 （b）3 （c）4 (d)5分析：圓心滾過的路徑由兩部分組成，一部分是圓沿直線滾動所經(jīng)過的三邊長，另一部分是圓繞著三角形三個頂點旋轉(zhuǎn)所得的三條弧長，每條弧長的半徑都等于圓的半徑，所對的圓心角都為3600-600-900-900=1200 ，三個圓心角的和3600，三條弧長的和剛好是一個圓周長，圓心滾過的路徑是4個圓周長，所以圓自身轉(zhuǎn)了4圈。拓展1：若把等邊三角形改成任意三角形，且三角形周長不變，其它條件和所求的內(nèi)容都不變，結(jié)果如何？（結(jié)果同上）拓展2：若把

7、等邊三角形改成任意四邊形、五邊形或多邊形，周長不變，其它條件和所求的內(nèi)容都不變，結(jié)果是否變化？（不變）拓展3：（2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽浙江賽區(qū)初賽試題第17題） 如圖所示o沿著凸多邊形的外側(cè)(圓和邊相切)作無滑動的滾動一周回到原來的位置，（1）當(dāng)o和凸邊形的周長相等時，o自身轉(zhuǎn)動了幾圈？（2）o沿著凸多邊形的外側(cè)(圓和邊相切)作無滑動的滾動一周回到原來的位置，當(dāng)o的周長為，凸邊形的周長為時，求此時o自身轉(zhuǎn)動的圈數(shù)。分析：（1）圓心滾過的路徑由兩部分組成，一部分是與凸四邊形各條邊都相切而滾動所得的各邊長即一周長；另一部分是分別繞各頂點轉(zhuǎn)動所得的條弧線。各弧線所對的同心角之和為，即剛好自轉(zhuǎn)一周，所以自轉(zhuǎn)為2周。（2）o在各邊上滾動所經(jīng)過的路徑為。而且 經(jīng)各頂點所得弧線所對圓心角之和應(yīng)為，即一周。所以o自身轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為拓展 4：如圖-5所示，已知半徑為1的o和邊長為10的正方形。（1）當(dāng)o沿正方形的內(nèi)部四邊無滑動地滑動時，o自轉(zhuǎn)圈數(shù)及o經(jīng)過的面積是多少？（2）o沿正方形外部四邊滾動時，o自轉(zhuǎn)圈數(shù)及經(jīng)過的面積又是多少？ 分析：（1）如圖-5所示，當(dāng)o在正方形內(nèi)沿四邊滾動一周時，o自轉(zhuǎn)圈數(shù)，o所經(jīng)過的面積為：（2）如圖-5，當(dāng)o在正方形外，o自轉(zhuǎn)圈數(shù)為：，o