概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題及答案1

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題及答案概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題（1） 一 、 判斷題（本題共15分，每小題3分。正確打“”，錯(cuò)誤打“”） 對(duì)任意事件a和b，必有p(ab)=p(a)p(b) ( ) 設(shè)a、b是中的隨機(jī)事件,則(ab)-b=a ( ) 若x服從參數(shù)為的普哇松分布，則ex=dx ( ) 假設(shè)檢驗(yàn)基本思想的依據(jù)是小概率事件原理 （ ） 樣本方差s2n=1n(xi=1ni-x)2是母體方差dx的無偏估計(jì) （ ）二 、（20分）設(shè)a、b、c是中的隨機(jī)事件，將下列事件用a、b、c表示出來（1）僅a發(fā)生，b、c都不發(fā)生；（2）a,b,c中至少有兩個(gè)發(fā)生；（3）a,b,c中不多于兩個(gè)發(fā)生；（4）a,b,c中恰

2、有兩個(gè)發(fā)生；（5）a,b,c中至多有一個(gè)發(fā)生。三、（15分） 把長為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率.四、（10分） 已知離散型隨機(jī)變量x的分布列為xp2-2-101111156515311 301-|x|e ， x， 2求y=x的分布列. 五、（10分）設(shè)隨機(jī)變量x具有密度函數(shù)f(x)=求x的數(shù)學(xué)期望和方差.六、（15分）某保險(xiǎn)公司多年的資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以x表示在隨機(jī)抽查100個(gè)索賠戶中因被盜而向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)，求p(14x30). x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.

3、994 0.999七、（15分）設(shè)x1,x2,l,xn是來自幾何分布p(x=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,l,0p1，的樣本，試求未知參數(shù)p的極大似然估計(jì). 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題（1）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一 ； ； ； ； 。二 解 （1）（2）abuacubc或abcuuu；（3）uu或uuuuuu；（4）uu；（5）uu或uuu每小題4分；三 解 設(shè)a=三段可構(gòu)成三角形，又三段的長分別為x,y,a-x-y，則0xa,0ya,0x+y，a不等式構(gòu)成平面域s.-5分aaax+yaa發(fā)生0x,0y-1. 其它0,x1,x2,l,xn是來自x的樣本，則未知參數(shù)q的極大似然估計(jì)量為_. 解：1p(a+b

4、)=0.3即 0.3=p(a)+p(b)=p(a)-p(ab)+p(b)-p(ab)=0.5-2p(ab)所以 p(ab)=0.1p(u)=p(ab)=1-p(ab)=0.9.2p(x1)=p(x=0)+p(x=1)=e-l+le,-lp(x=2)=l22e-l由 p(x1)=4p(x=2) 知 e-l+le-l=2l2e-l2 即 2l-l-1=0 解得 l=1，故1-1e. 63設(shè)y的分布函數(shù)為fy(y),x的分布函數(shù)為f(x)，密度為fx(x)則p(x=3)= fy(y)=p(yy)=p(x2y)=y)yx)xy- -)y 因?yàn)閤u(0,2)，所以fx(=0，即fy(y)=fx故0y4,

5、fy(y)=fy(y)=fx=0,其它.另解 在(0,2)上函數(shù)y=x2嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為h(y)所以0y1)=1-p(x1)=e-l=e-2，故 l=2pmin(x,y)1=1-pmin(x,y)1=1-p(x1)p(y1) =1-e-4.5似然函數(shù)為 l(x1,l,xn;q)=(q+1)xq=(q+1)(x,l,x)q ni1ni=1nlnl=nln(q+1)+qlnxi=1nindlnln =+lnxi0 dqq+1i=1解似然方程得q的極大似然估計(jì)為$= q11nlnxini=1-1. 二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1設(shè)a,b,c為三個(gè)事件，且a,b相互獨(dú)立，則以下結(jié)論中不正確

6、的是（a）若p(c)=1，則ac與bc也獨(dú)立.（b）若p(c)=1，則auc與b也獨(dú)立.（c）若p(c)=0，則auc與b也獨(dú)立.（d）若cb，則a與c也獨(dú)立. （ ）2設(shè)隨機(jī)變量xn(0,1),x的分布函數(shù)為f(x)，則p(|x|2)的值為（a）21-f(2). （b）2f(2)-1.（c）2-f(2). （d）1-2f(2). （ ）3設(shè)隨機(jī)變量x和y不相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是（a）x與y獨(dú)立. （b）d(x-y)=dx+dy.（c）d(x-y)=dx-dy. （d）d(xy)=dxdy. （ ）4設(shè)離散型隨機(jī)變量x和y的聯(lián)合概率分布為(x,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(

7、2,2)(2,3)1111pab69183若x,y獨(dú)立，則a,b的值為2112 （a）a=,b=. （a）a=,b=. 99991151,b=. （ ） （c） a=,b= （d）a=6618185設(shè)總體x的數(shù)學(xué)期望為m,x1,x2,l,xn為來自x的樣本，則下列結(jié)論中正確的是（a）x1是m的無偏估計(jì)量. （b）x1是m的極大似然估計(jì)量.（c）x1是m的相合（一致）估計(jì)量. （d）x1不是m的估計(jì)量. （ ）解：1因?yàn)楦怕蕿?的事件和概率為0的事件與任何事件獨(dú)立，所以（a），（b），（c）都是正確的，只能選（d）.事實(shí)上由圖 可見a與c不獨(dú)立.2xn(0,1)所以p(|x|2)=1-p(|x|

8、2)=1-p(-2x2)(2)+f(-2)=1-2f(2-) =1-f3由不相關(guān)的等價(jià)條件知應(yīng)選（b）.4若x,y獨(dú)立則有1=2-1 f 應(yīng)選（a）. a=p(x=2,y=2)=p(x=2)p(y=2) 1121 =(+a+b)(+a)=(+a) 393921 a=， b= 99 故應(yīng)選（a）.5ex1=m，所以x1是m的無偏估計(jì)，應(yīng)選（a）. 三、（7分）已知一批產(chǎn)品中90%是合格品，檢查時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.05，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.02，求（1）一個(gè)產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的概率；（2）一個(gè)經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率.解：設(shè)a=任取一

9、產(chǎn)品，經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為是合格品b=任取一產(chǎn)品確是合格品則（1） p(a)=p(b)p(a|b)+p()p(a|)=0.90.95+0.10.02=0.857.（2） p(b|a)=p(ab)0.90.95=0.9977. p(a)0.857四、（12分）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是2/5. 設(shè)x為途中遇到紅燈的次數(shù)，求x的分布列、分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差.解：x的概率分布為p(x=k)=c3()()k25k353-kk=0,1,2,3.x即 p02712515412523612538 125x的分布函數(shù)為0,27,12581, f(

10、x)=125117125,1,26=, 552318 dx=3=. 5525 ex=3x0,0x1,1x2, 2x3,x3.五、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)在區(qū)域d=(x,y)|x0,y0,x+y1 上服從均勻分布. 求（1）(x,y)關(guān)于x的邊緣概率密度；（2）z=x+y的分布函數(shù)與概率密 （1）(x,y)的概率密度為f(x,y)=0,2,(x,y)d 其它.fx(x)= （2）利用公式fz(z)=+-2-2x,0x1f(x,y)dy=0,其它+-f(x,z-x)dx其中f(x,z-x)=2,0x1,0z-x1-x0,其它2,0x1,xz1.= 0,其它.當(dāng) z1時(shí)fz(z)=0 0z

11、1時(shí) fz(z)=2 故z的概率密度為z0dx=2x0=2zz2z,0z1,fz(z)=0,其它.z的分布函數(shù)為z-fz(z)=z00,0,z1.z11,或利用分布函數(shù)法z1.0,2, =z1,z1.2z,fz(z)=fz(z)=0, 0z1,其它. 六、（10分）向一目標(biāo)射擊，目標(biāo)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知命中點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y相互獨(dú)立，且均服從n(0,2)分布. 求（1）命中環(huán)形區(qū)域d=(x,y)|1x+y2的概率；（2）命中點(diǎn)到目標(biāo)中心距離z=222.1）px,y)d=f(x,y)dxdyd=12p4d-x2+y28dxdy=18p 2p21e-r28rdrdq=-21er2-8rd(-)

12、=-e82r2-82-=e-e；1x2+y2818-12（2）ez=e=-r28+-1-e8pr2dxdy1=8p 2p+0re-1+-rdrdq=e8r2dr40-r28 =-rer2-8+ +0edr=+-8dr=. r2七、（11分）設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的零件長度（單位：cm）xn(m,s2)，今抽取容量為16的樣本，測得樣本均值=10，樣本方差s2=0.16. （1）求m的置信度為0.95的置信區(qū)間；（2）檢驗(yàn)假設(shè)h0:s20.1（顯著性水平為0.05）. （附注）t0.05(16)=1.746,t0.05(15)=1.753,t0.025(15)=2.132,222c0.05(16)=26.

13、296,c0.05(15)=24.996,c0.025(15)=27.488.解：（1）m的置信度為1-a下的置信區(qū)間為(-ta/2(n-+ta/2(n- =10,s=0.4,n=16,a=0.05,t0.025(15)=2.132所以m的置信度為0.95的置信區(qū)間為（9.7868，10.2132）2（2）h0:s20.1的拒絕域?yàn)閏2ca(n-1).15s22=151.6=24，c0.05 c=(15)=24.996 0.12因?yàn)?c2=2424.996=c0.05(15)，所以接受h0.2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題（3）與解答 一、填空題（每小題3分，共15分）（1） 設(shè)事件a與b相互獨(dú)立

14、，事件b與c互不相容，事件a與c互不相容，且p(a)=p(b)=0.5，p(c)=0.2，則事件a、b、c中僅c發(fā)生或僅c不發(fā)生的概率為_.（2） 甲盒中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙盒中有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，今從每個(gè)盒中各取2個(gè)球，發(fā)現(xiàn)它們是同一顏色的，則這顏色是黑色的概率為_.（3） 設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為f(x)=2x,0xa)=0.01，則a=_.2222 （注：c0.01(17)=33.4, c0.005(17)=35.7, c0.01(16)=32.0, c0.005(16)=34.2）解：（1）p(+)=p()+p()因?yàn)?a與c不相容，b與c不相容，所以c,c，故=c 同理 a=p

15、(c+a. b)c=(p)+c(pa)=b0.+20.50.=5. 0.45（2）設(shè)a=四個(gè)球是同一顏色的，b1=四個(gè)球都是白球，b2=四個(gè)球都是黑球則 a=b1+b2.所求概率為 p(b2|a)=p(ab2)p(b2) =p(a)p(b1)+p(b2)22c32c32c2c233 p(b1)=22= ,p(b2)=22=c5c5100c5c51001 所以 p(b2|a)=. 2（3）yb(4,p),(x0.5)= 其中 p=pey=40.5011=1,dy=4441522 ey=dy+(ey)=+1=. 4412xdx=， 433， 441220（4）(x,y)的分布為這是因?yàn)?a+b=0

16、.4，由exy=0.8 得 0.2+2b=0.8a=0.1,b=0. 3exe=y0.-80.=7. ex=0.6+20.4=1.4，ey=0.5 (y,=)exy- 故 covx216s24a=0.01 （5）p(sa)=p42 即 c0，亦即 4a=32 a=8. )a4.0(116= 二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）（1）設(shè)a、b、c為三個(gè)事件，p(ab)0且p(c|ab)=1，則有（a）p(c)p(a)+p(b)-1. （b）p(c)p(aub).（c）p(c)p(a)+p(b)-1. （d）p(c)p(aub). （ ）（2）設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為f(x)=-(x+2)24,

17、-x 且y=ax+bn(0,1)，則在下列各組數(shù)中應(yīng)?。╝）a=1/2,b=1. （b）a=2,b（c）a=1/2,b=-1. （d）a=2,b= （ ）（3）設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，其概率分布分別為 則有（a）p(x=y)=0. （b）p(x=y)=0.5.（c）p(x=y)=0.52. （d）p(x=y)=1. （ ）（4）對(duì)任意隨機(jī)變量x，若ex存在，則ee(ex)等于（a）0. （b）x. （c）ex. （d）(ex). （ ）（5）設(shè)x1,x2,l,xn為正態(tài)總體n(m,4)的一個(gè)樣本，表示樣本均值，則m的 置信度為1-a的置信區(qū)間為 3xp010.40.6 y01p0.40.6+

18、ua/2 +ua/2 （b）(-u1-a/2 （a）(-ua/2+ua （d）(-ua/2+ua/2 （ ） 解 （1）由p(c|ab)=1知p(abc)=p(ab)，故p(c)p(ab) （c）(-uap(c)p(ab)=p(a)+p(b)-p(aub)p(a)+p(b)-1應(yīng)選c.（2）f(x)=(x+2)242-=- 即xn(2 )b=時(shí) y=ax+bn(0,1) 故當(dāng)a= 應(yīng)選b.（3）p(x=y)=p(x=0,y=0)+p(x=1,y=1)=0.40.4+0.60.6=0.52應(yīng)選c.（4）ee(ex)=ex應(yīng)選c.（5）因?yàn)榉讲钜阎?，所以m的置信區(qū)間為 (-ua/應(yīng)選d. 三、（8

19、分）裝有10件某產(chǎn)品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丟失一件產(chǎn)品，但不知是幾等品，今從箱中任取2件產(chǎn)品，結(jié)果都 是一等品，求丟失的也是一等品的概率。解：設(shè)a=從箱中任取2件都是一等品bi=丟失i等號(hào) i=1,2,3.則 p(a)=p(1b)p(a|1b+),+au) p2(b)p(ab)2|+3 3a|b)p(b)p(21c43c521c522 =2+2+2=； 2c910c95c99所求概率為p(b1|a)=p(b1)p(a|b1)3=. p(a)8四、（10分）設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為ax+1,0x2, f(x)=其它.0,求（1）常數(shù)a； （2）x的分布函數(shù)f(x)；

20、（3）p(1x3).解：（1）1= a=-+-a2f(x)dx=(ax+1)dx=(x2+x)0=2a+202212（2）x的分布函數(shù)為0,xxuf(x)=fu(du)=-(du)-021,x2.1,（3）p(1x3)=x2.2,31x1f(x)dx=(1-)dx=.1242五、（12分）設(shè)(x,y)的概率密度為e-x,0yx,f(x,y)=其它.0,求（1）邊緣概率密度fx(x),fy(y)； （2）p(x+y0.xe,00,+f(x,y)dx=+-x =-edx,y+x0,x0. y0y0. =-ye, （2）p(x+y0. f(x,y)dxdy=x+y0,x0 時(shí) fz(z)=zz2ed

21、x=e-x-z2-e-z0,z0,fz(z)=-z-z2e-e,z0. 六、（10分）（1）設(shè)xu0,1，yu0,1且x與y獨(dú)立，求e|x-y|； （2）設(shè)xn(0,1),yn(0,1)且x與y獨(dú)立，求e|x-y|. y|=10-+-f(x,y)|x-y|dxdy10x0(x-y)dxdy+1x(y-x)dxdy=；3（2）因x,y相互獨(dú)立，所以z=x-yn(0,2)1=n(0,1) e|x-y|=七、（10分）設(shè)總體的概率密度為qxq-1,0x0) f(x;q)=其它.0,試用來自總體的樣本x1,x2,l,xn，求未知參數(shù)q的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).解：先求矩估計(jì) m1=ex= 10qxqdx

22、=qq+1 q=m1$= 故q的矩估計(jì)為q1-1-m1再求極大似然估計(jì) l(x1,l,xn;q)=qxqii=1ni=1n-1=qn(x1lxn)q-1ilnl=nlnq+(q-1)lnx dlnlnn=+lnxi0dqqi=1所以q的極大似然估計(jì)為$=- q11nlnxini=1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題（4）與解答一、填空題（每小題3分，共15分）（1） 設(shè)p(a)=0.5,p(b)=0.6,p(b|)=0.8，則a,b至少發(fā)生一個(gè)的概率為_.（2） 設(shè)x服從泊松分布，若ex2=6，則p(x1)=_.1(x+1),0x1)=1-p(x1)=1-p(x=0)-p(x=1) 解：（1）0.8=

23、p(b|)=1-e-2e-2-2=1-3e-2.（3）yb(8,p)，其中p=p(x1)=dy=82115(x+1)dx= 485315=. 8881i=1,2,3,4,5100. 系統(tǒng)的壽命為y，所 （4）設(shè)第i件元件的壽命為xi，則xie(求概率為p(y100)=p(x1100,x2100,l,x5100)=p(x1100)=1-1+e=e.（5）m的置信度1-a下的置信區(qū)間為 (-ta/2(n-25-15-5+ta/2(n- 11622 =0.5,s=xi-16=2,s=1.4142,n=16 15i=1t0.025(15)=2.1315.所以m的置信區(qū)間為（-0.2535,1.2535

24、）. 二、單項(xiàng)選擇題（下列各題中每題只有一個(gè)答案是對(duì)的，請(qǐng)將其代號(hào)填入（ ） 中，每小題3分，共15分）（1）a,b,c是任意事件，在下列各式中，不成立的是（a）(a-b)ub=aub.（b）(aub)-a=b.（c）(aub)-ab=u.（d）(aub)=(a-c)u(b-c). （ ）（2）設(shè)x1,x2是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為f1(x),f2(x)，為使f(x)=af1(x)+bf2(x)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值 中應(yīng)取3222,b=-. （b）a=,b=. 55331313 （c）a=-,b=. （d）a=,b=. （ ） 2222（3）設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為

25、fx(x)，則y=3-5x的分布函數(shù)為fy(y)= （a）a=（a）fx(5y-3). （b）5fx(y)-3.y+33-y). （d）1-fx(). （ ） 55xi-101（4）設(shè)隨機(jī)變量x1,x2的概率分布為. 111 i=1,2p424且滿足p(x1x2=0)=1，則x1,x2的相關(guān)系數(shù)為rxx= （c）fx(1211. （c）. （d）-1. （ ） 421,b2,x,)y相互獨(dú)立，根據(jù)切比 （5）設(shè)隨機(jī)變量xu0,6y且4雪夫不等式有p(x-3y(3-y)/5)=1-p(3-y3-yx)=1-fx() 應(yīng)選（d） 55（4）(x1,x2)的分布為 ex1=0,ex2=0,ex1x2

26、=0，所以cov(x1,x2)=0，于是 rx1x2=0. 應(yīng)選（a）（5）p(x-3yx+3)=p(|y-x|3)+ e(y-x)=ey-ex=0 d(y-x)=dy+dx=3由切比雪夫不等式 921= 44215 p(|y-x|3)1-= 應(yīng)選（d） 912 三、（8分）在一天中進(jìn)入某超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為l的泊松分布，而進(jìn)入超市的每一個(gè)人購買a種商品的概率為p，若顧客購買商品是相互獨(dú)立的，求一天中恰有k個(gè)顧客購買a種商品的概率。解：設(shè)b=一天中恰有k個(gè)顧客購買a種商品 k=0,1,lcn=一天中有n個(gè)顧客進(jìn)入超市 n=k,則 p(b)=k+1,l n=kn=kp(cb=)n=np(nc

27、)p(bn| ckn!lc-lnknpk(1-p)n-k(pl)k-lln-k=e(1-p)n-k k!n=k(n-k)!(lp)k-lpe k=0,1, =l. k! 四、（10分）設(shè)考生的外語成績（百分制）x服從正態(tài)分布，平均成績（即參數(shù)m之值）為72分，96以上的人占考生總數(shù)的2.3%，今任取100個(gè)考生的成績，以y表示成績?cè)?0分至84分之間的人數(shù)，求（1）y的分布列. （2） ey和dy.=0.97f7, (f(2)=(1)0. 884-72 解：（1）yb(100,p)，其中p=p(60 由 0.02=得 f(9=6)-f12496-7224=-)f (ss)24s)=0.977，

28、即s=2，故12s=1所以 p=2f(1)-1=0.6826.k 故y的分布列為p(y=k)=c100(0.6826)k(0.3174)100-k（2）ey=1000.6826=68.26，dy=68.260.3174=21.6657.五、（10分）設(shè)(x,y)在由直線x=1,x=e2,y=0及曲線y=上服從均勻分布，（1）求邊緣密度fx(x)和fy(y)，并說明x與y是否獨(dú)立.（2）求p(x+y2).解：區(qū)域d的面積 sd= (x,y)的概率密度為 1所圍成的區(qū)域 xe211e2dx=lnx1=2 x1,(x,y)d, f(x,y)=20,其它.（1）fx(x)=+-110xdy,f(x,y

29、)dy=20,1xe2,其它.1xe2,其它. 1, =2x0,e2112dx,11fx(y,dx)=1ydx,20, 1ye-2,e-2y1, fy(y)=+-其它122(e-1),1-1, =2y20,1ye-2e-2y1 其它（2）因f(x,y)fx(x)fy(y)，所以x,y不獨(dú)立.（3）p(x+y2)=1-p(x+y2)=1-x+y2f(x,y)dxdy=1-1113=1-=0.75. 2244 六、（8分）二維隨機(jī)變量(x,y)在以(-1,0),(0,1),(1,0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū) 域上服從均勻分布，求z=x+y的概率密度。1,f(x,y)=(x,y)d,0,其它.設(shè)z的概率密度

30、為fz(z)，則 fz(z)=+-f(z-y,y)dy= f(z-y,y)1,0y1,y2-1z1 0,其它當(dāng) z1時(shí)fz(z)=0 z+1z+12dy= 當(dāng) -1z1時(shí)fz(z)= 02 所以z的密度為z+1,|z|1, fz(z)=20,其它.解2：分布函數(shù)法，設(shè)z的分布函數(shù)為fz(z)，則fz(z)=p(zz)=p(x+yz)=x+yzf(x,y)dxdyz-1,0,z-10,(z+1)2=dxdy,-1z1=,-1z1,4d1z1.1,1,z1故z的密度為z+1,fz(z)=fz(z)=20, |z|0,a0,f(x)= x1,x2,l,xn為x的簡單隨0,x0.機(jī)樣本（1）求未知參數(shù)

31、a的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)； （2）驗(yàn)證所求得的矩估計(jì)是否為a的無偏估計(jì)。解：（1）先求矩估計(jì) +0m1=ex=23ax-()2adxx-()2 =+x-()2 +0xeadx=a 再求極大似然估計(jì)l(x1,l,xn;a)=i=1n2n-(xia)2 1n=a lnl=-3nlna+ln(p-n2n-3np4(x1lxn)e2n-22-a2xi2i=1 4)+ln(x1lxn)-1a2xi=1n2i alnl3n2n2=-+3xi0daaai=1= 得a的極大似然估計(jì)a（2）對(duì)矩估計(jì) =ea=a 是a的無偏估計(jì). 所以矩估計(jì)a=2八、（5分）一工人負(fù)責(zé)n臺(tái)同樣機(jī)床的維修，這n臺(tái)機(jī)床自左到右排在一

32、條直線上，相鄰兩臺(tái)機(jī)床的距離為a（米）。假設(shè)每臺(tái)機(jī)床發(fā)生故障的概率均為 1，且相互獨(dú)立，若z表示工人修完一臺(tái)后到另一臺(tái)需要檢修的機(jī)床所走 n的路程，求ez.解：設(shè)從左到右的順序?qū)C(jī)床編號(hào)為1,2,l,nx為已經(jīng)修完的機(jī)器編號(hào)，y表示將要去修的機(jī)床號(hào)碼，則p(x=i)=11,p(y=j)=,i,j=1,2,l,n nnp(x=i,y=j)=p(x=i)p(y=j)=z=|i-j|a于是ez=1 n2|i-j|ap(x=i,y=j)i=1j=1nni=1j=1nn =|i-j|a1 2nnani=2(i-j)+(j-i) ni=1j=1j=i+1(n2-1)a. =3n 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題（5）

33、 一、 判斷題（每小題3分，本題共15分。正確打“”，錯(cuò)誤打“”） 設(shè)a、b是中的隨機(jī)事件,必有p(a-b)=p(a)-p(b) ( ) 設(shè)a、b是中的隨機(jī)事件,則ab=aabb ( ) 若x服從二項(xiàng)分布b(k;n,p), 則ex=p ( )1 樣本均值x= nxi=1ni是母體均值ex的一致估計(jì) （ ）22 xn(m,s1) , yn(m,s2) ，則 xyn(0, 2) （ ） s12s2二、 計(jì)算（10分）（1）教室里有r個(gè)學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率；（2）房間里有四個(gè)人，求至少兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率.三、（10分） 設(shè)p(a)0,p(b)0，證明a、b互不相容與a、b相互獨(dú)

34、立不能同時(shí)成立.四、（15分）某地抽樣結(jié)果表明，考生的外語成績x（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績（即參數(shù)m之值）為72分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績?cè)?0分至84分之間的概率。分布表如下x 0 1 1.5 2 2.5 3(x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999五、（15分） 設(shè)(x,y)的概率密度為-(x+y),x0,y0,e f(x,y)= 0,其他.問x,y是否獨(dú)立？ 六、（20分）設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布，其分布列為p(x=k)=(1-p)求ex與dx七、（15分）設(shè)總體x服從指數(shù)分布 k-1p，0p0所以 a、b不相互獨(dú)立.-5分 若a、b相互獨(dú)立，則p(ab)=p(a)p(b)0，于是abf，即a、b不是互不相容的.-5分3px(四 解 0.02=f(9=6)-f12496-7224=-)f-3()分 ss24s)=0.977,s=2,12s=1.-7分72=f)12-(f-)12所求概率為 x84=)f p(6084-72-f)s6-0sss()分 -12=2（1）-1=20.84