高考數(shù)學(xué)試卷解析版湖南卷文理兩份

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）文史類 解析版 本試題包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁時(shí)量120分鐘，滿分150分參考公式（1）柱體體積公式，其中為底面面積，為高 （2）球的體積公式，其中為球的半徑一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)全集則（ ）a b 答案：b解析：畫出韋恩圖，可知。若為虛數(shù)單位，且，則答案：c332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1解析：因，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可知。的a充分不必要條件必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分又不必要條件答案：a解析：因，反之，不一定有。設(shè)圖是某幾何體的三視圖，則該幾

2、何體的體積為a答案：d解析：有三視圖可知該幾何體是一個(gè)長方體和球構(gòu)成的組合體，其體積。5通過隨機(jī)詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由附表：0050001000013841663510828參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）a 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”b 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”c 在犯錯(cuò)誤的概率不超過01%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”d 在犯錯(cuò)誤的概率不超過01%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”答案：a解析：由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選a

3、.6設(shè)雙曲線的漸近線方程為則的值為（ ）a4 b3 c2 d1答案：c解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知。7曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（ ）a b c d答案：b解析：，所以。8已知函數(shù)若有則的取值范圍為a b c d答案：b解析：由題可知，若有則，即，解得。二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題解分，共青團(tuán)員5分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上（一）選做題（請(qǐng)考生在第9，10兩題中任選一題作答，如果全做，則按前一題記分）9在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 答案：

4、2解析：曲線，曲線，聯(lián)立方程消得，易得，故有2個(gè)交點(diǎn)。10已知某試驗(yàn)范圍為10，90，若用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行4次優(yōu)選試驗(yàn)，則第二次試點(diǎn)可以是 開始輸入開始開始否是結(jié)束輸出開始圖2答案：40或60（只填一個(gè)也正確）解析：有區(qū)間長度為80，可以將其等分8段，利用分?jǐn)?shù)法選取試點(diǎn)：，由對(duì)稱性可知，第二次試點(diǎn)可以是40或60。(二)必做題（11-16題）11若執(zhí)行如圖2所示的框圖，輸入則輸出的數(shù)等于 答案：解析：由框圖功能可知，輸出的數(shù)等于。12已知為奇函數(shù)， 答案：6解析：，又為奇函數(shù)，所以。13設(shè)向量滿足且的方向相反，則的坐標(biāo)為 答案：解析：由題，所以14設(shè)在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為4，則的值為 答案

5、：3解析：畫出可行域，可知在點(diǎn)取最大值為4，解得。15已知圓直線（1）圓的圓心到直線的距離為 (2) 圓上任意一點(diǎn)到直線的距離小于2的概率為 答案：5，解析：（1）由點(diǎn)到直線的距離公式可得；（2）由（1）可知圓心到直線的距離為5，要使圓上點(diǎn)到直線的距離小于2，即與圓相交所得劣弧上，由半徑為，圓心到直線的距離為3可知劣弧所對(duì)圓心角為，故所求概率為.16、給定，設(shè)函數(shù)滿足：對(duì)于任意大于的正整數(shù)，（1）設(shè)，則其中一個(gè)函數(shù)在處的函數(shù)值為 ；（2）設(shè)，且當(dāng)時(shí)，則不同的函數(shù)的個(gè)數(shù)為 。答案：（1），（2）16解析：（1）由題可知，而時(shí)，則，故只須，故。（2）由題可知，則，而時(shí)，即，即，由乘法原理可知，不同

6、的函數(shù)的個(gè)數(shù)為。三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）在中，角所對(duì)的邊分別為且滿足（i）求角的大??；（ii）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角的大小解析：（i）由正弦定理得因?yàn)樗裕╥i）由（i）知于是 取最大值2綜上所述，的最大值為2，此時(shí)18（本題滿分12分）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量y（單位：萬千瓦時(shí)）與該河上游在六月份的降雨量x（單位：毫米）有關(guān)據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)x=70時(shí)，y=460；x每增加10，y增加5；已知近20年x的值為：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，1

7、60，160，200，140，110，160，220，140，160（i）完成如下的頻率分布表： 近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率（ii）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份的降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時(shí)）或超過530（萬千瓦時(shí)）的概率解：（i）在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200毫米的有3個(gè)，故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率（ii）故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時(shí)）或超過530（萬千瓦

8、時(shí)）的概率為19（本題滿分12分）如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)（i）證明：（ii）求直線和平面所成角的正弦值解析：（i）因?yàn)橛謨?nèi)的兩條相交直線，所以（ii）由（i）知，又所以平面在平面中，過作則連結(jié)，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角在在20（本題滿分13分）某企業(yè)在第1年初購買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備m，m的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初m的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初m的價(jià)值為上年初的75%（i）求第n年初m的價(jià)值的表達(dá)式；（ii）設(shè)若大于80萬元，則m繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)m更新，證明：須在第9年初對(duì)m更新解析：（i）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首

9、項(xiàng)為120，公差為的等差數(shù)列 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為為等比數(shù)列，又，所以 因此，第年初，m的價(jià)值的表達(dá)式為(ii)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，又所以須在第9年初對(duì)m更新21已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)f（1，0）的距離與點(diǎn)到軸的距離的等等于1（i）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（ii）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，求的最小值解析：（i）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意為化簡得當(dāng)、所以動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程為（ii）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為由，得設(shè)則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是 因?yàn)?，所以的?/p>

10、率為設(shè)則同理可得故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值1622（本小題13分）設(shè)函數(shù)(i)討論的單調(diào)性；（ii）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過點(diǎn)的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由解析：（i）的定義域?yàn)?令(1) 當(dāng)故上單調(diào)遞增(2) 當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增(3) 當(dāng)?shù)膬筛鶠?，?dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（ii）由（i）知，因?yàn)?，所以又?i)知，于是若存在，使得則即亦即再由（i）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾故不存在，使得2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三

11、部分，共6頁，時(shí)量120分鐘，滿分150分。參考公式：（1），其中為兩個(gè)事件，且， （2）柱體體積公式，其中為底面面積，為高。 （3）球的體積公式，其中為求的半徑。一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的。1.若，為虛數(shù)單位，且，則（ ）a b c d 答案：d解析：332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1因，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可知。2.設(shè)，則“”是“”則（ ）a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充分必要條件 d既不充分又不必要條件 答案：a解析：因“”，即，滿足“”，反之“”，則，或，不一定有“”。3.設(shè)圖一是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為

12、（ ）a b c d 答案：b解析：有三視圖可知該幾何體是一個(gè)長方體和球構(gòu)成的組合體，其體積。4.通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由算得附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）a在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”b在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”c有以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”d有以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” 答案：c解析：由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選c

13、.5.設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為（ ）a4 b3 c2 d1答案：c解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知。6. 由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（ ）a b1 c d答案：d解析：由定積分知識(shí)可得，故選d。7. 設(shè)，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值小于2，則的取值范圍為（ ）a b c d答案：a解析：畫出可行域，可知在點(diǎn)取最大值，由解得。8.設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為（ ）a1 b c d答案：d解析：由題，不妨令，則，令解得，因時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小。即。 二填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)

14、的橫線上。一、選做題（請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）9.在直角坐標(biāo)系中，曲線c1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點(diǎn)o為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 。 答案：2解析：曲線，由圓心到直線的距離，故與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.10.設(shè),則的最小值為 。答案：9解析：由柯西不等式可知。11.如圖2，是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑，,垂足為d, 與相交與點(diǎn)f，則的長為 。答案：解析：由題可知，,得,，又，所以.二、必做題（1216題）12、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則答案：25解析：由可得，所以。13、若

15、執(zhí)行如圖3所示的框圖，輸入，則輸出的數(shù)等于 。答案：解析：由框圖的算法功能可知，輸出的數(shù)為三個(gè)數(shù)的方差，則。14、在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則。答案：解析：由題，所以。15、如圖4， 是以為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用a表示事件“豆子落在正方形內(nèi)”，b表示事件“豆子落在扇形（陰影部分）內(nèi)”，則（1）；（2）答案：（1）；（2）解析：（1）由幾何概型概率計(jì)算公式可得；（2）由條件概率的計(jì)算公式可得。16、對(duì)于，將表示為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為0或1.記為上述表示中為0的個(gè)數(shù)，（例如，：故）則（1） （2）答案：（1）2；（2）解析：（1）因，故；（2）在2進(jìn)制的位數(shù)中

16、，沒有0的有1個(gè)，有1個(gè)0的有個(gè)，有2個(gè)0的有個(gè)，有個(gè)0的有個(gè)，有個(gè)0的有個(gè)。故對(duì)所有2進(jìn)制為位數(shù)的數(shù)，在所求式中的的和為：。又恰為2進(jìn)制的最大7位數(shù)，所以。三解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分12分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.（i）求角的大小；（ii）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角的大小解析：（i）由正弦定理得因?yàn)樗裕╥i）由（i）知于是 取最大值2綜上所述，的最大值為2，此時(shí)18. 某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該

17、商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。(）求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；（）記x為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望。解析：（i）p（“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”）=p（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+p（“當(dāng)天商品銷售量1件”）=。（ii）由題意知，的可能取值為2，3.；故的分布列為23的數(shù)學(xué)期望為。19.（本題滿分12分）如圖5，在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)（i）證明：（ii）求二面角的余弦值解：（i）連接，因?yàn)?為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)閮?nèi)的兩條相交直線，所以而，所以。（ii）在平面中，過作于，由（i）知，,所以又所以.在平面中，

18、過作連接,則有，從而，所以是二面角的平面角在在在在,所以。故二面角的余弦值為。20. 如圖6，長方形物體e在雨中沿面p（面積為s）的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為，雨速沿e移動(dòng)方向的分速度為。e移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）p或p的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與s成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為e移動(dòng)過程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d=100，面積s=時(shí)。（）寫出的表達(dá)式（）設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度，使總淋雨量最少。解析：（i）由題意知，e移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為，故.（ii）由(i)知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故。(1)當(dāng)時(shí)，

19、是關(guān)于的減函數(shù).故當(dāng)時(shí)，。(2) 當(dāng)時(shí)，在上，是關(guān)于的減函數(shù)；在上，是關(guān)于的增函數(shù)；故當(dāng)時(shí)，。a. (本小題滿分13分） 如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線 截得的線段長等于的長半軸長。（）求，的方程；（）設(shè)與軸的交點(diǎn)為m，過坐標(biāo)原點(diǎn)o的直線與相交于點(diǎn)a,b,直線ma,mb分別與相交與d,e.（i）證明：；(ii)記mab,mde的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?請(qǐng)說明理由。解析：（i）由題意知，從而，又，解得。故，的方程分別為。（ii）（i）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為.由得，設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是。又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以故，即。（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，