外球殼加內(nèi)球求電勢(shì)

1、7. 如圖(a)所示，半徑為r1的導(dǎo)體球帶有電荷+q，球外有一內(nèi)、外半徑分別為r1、r2、r3的通心導(dǎo)體球殼，殼上代有電荷+q。試求：(1) 兩球的電勢(shì)v1和v2及兩球的電勢(shì)差；(2) 用導(dǎo)線把球和球殼連在一體后，v1、v2和?v為多少？(3) 在情景（1）中，若外球殼接地，v1、v2和?v為多少？(4) 設(shè)外球面離地面很遠(yuǎn)，若內(nèi)球接地，情況又如何？解: 如圖(a)所示，在導(dǎo)體到達(dá)靜電平衡后，q分布在導(dǎo)體球的表面上。 由于靜電感應(yīng)在外球殼的內(nèi)表面上感應(yīng)出負(fù)電荷-q，外表面上感應(yīng)出正電荷q，則在球殼外表面上共帶電荷（q+q）。(1) 解法一 由于場(chǎng)的分布具有對(duì)稱性，可用高斯定理求得各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分

2、布為:e1 = 0 (rr1) , e2 = q/40r2 (r1 r r2 ), e3= 0 ( r2 r r3 )e的方向均沿徑向向外。導(dǎo)體為有限帶電體，選無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)。由電勢(shì)定義可計(jì)算兩球的電勢(shì)v1和v2。內(nèi)球體內(nèi)的任意場(chǎng)點(diǎn)p1（rr1）的電勢(shì): 外球殼體內(nèi)的任意場(chǎng)點(diǎn)p2（r2rr3）的電勢(shì)為:aa由v1和v2可求出導(dǎo)體和球殼間的電勢(shì)差為:解法二 可以把球體與球殼的電勢(shì)v1和v2視為由帶電量為q、半徑為r1；帶電量為-q、半徑為r2和帶電量為（q+q）、半徑為r3的三個(gè)同心帶電球面分別在場(chǎng)點(diǎn)p1和p2所共同產(chǎn)生的電勢(shì)疊加。由于球內(nèi)任意場(chǎng)點(diǎn)p1（r r1）在三個(gè)同心帶電球面之內(nèi)，故有

3、: ,在外球殼內(nèi)任意場(chǎng)點(diǎn)p2（r2rr3的空間中，即:。同時(shí)球體與球殼成為一個(gè)等勢(shì)體，即v1=v2，于是，aav= v1-v2=0。根據(jù)電勢(shì)的定義，可得:（3）在情形（1）中，若外球接地，球殼外表面的電勢(shì)為零，等量異號(hào)電荷分布在球體表面和球殼內(nèi)表面，此時(shí)電場(chǎng)只分布在r1r r2的空間內(nèi)，如圖(c)所示。由于外球殼電勢(shì)v2=0，則內(nèi)球體內(nèi)任意場(chǎng)點(diǎn)p1（r r1）的電勢(shì)為: （4）當(dāng)內(nèi)球接地時(shí)，內(nèi)球的電勢(shì)v2=0。但無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)也為零這就要求外球殼所帶電量在內(nèi)外表面上重新分布，使球殼外的場(chǎng)強(qiáng)沿著徑向指向無(wú)限遠(yuǎn)處，球殼內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)沿著徑向指向球心處。因此，內(nèi)球必然帶負(fù)電。因?yàn)閮?nèi)球接地，隨著它上面正電荷

4、的減少，球殼內(nèi)表面上的負(fù)電荷也相映減少，當(dāng)球殼上的負(fù)電荷全部消失時(shí)，球殼內(nèi)表面上的負(fù)電荷也消失完。但就球殼來(lái)說(shuō)，仍帶有電荷+q，由于靜電感應(yīng)，在內(nèi)球和大地這一導(dǎo)體系便會(huì)感應(yīng)出等量的負(fù)電荷-q，此負(fù)電荷（-q）的一部分（設(shè)為-q）均勻的分布在內(nèi)球表面上。球殼內(nèi)表面上將出現(xiàn)等量的正電荷（+q）與之平衡。因此，在到達(dá)靜電平衡后，內(nèi)球帶電荷-q,球殼內(nèi)表面帶電量為 +q,外表面帶電量為（q-q），如圖(d)所示。解法一 根據(jù)高斯定理可知，可區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為： 球殼上任意場(chǎng)點(diǎn) p2（r2r r3）相對(duì)于無(wú)限遠(yuǎn)處和相對(duì)于接地內(nèi)球的電勢(shì)，應(yīng)用電勢(shì)定義式分別計(jì)算，可得: 連立上述兩式，求得: , 將q的結(jié)果帶入v2的表達(dá)式中，可得:相應(yīng)的球體與球殼間的電勢(shì)差為: 解法二 亦可根據(jù)帶電導(dǎo)體球的電勢(shì)公式和電勢(shì)疊加原理求解。根據(jù)電勢(shì)疊加原理，電勢(shì)v1是由-q(r=r1的球面)，+q(r= r2的球面)和q-q(r= r3的球面)在內(nèi)