高中論文：淺談數(shù)形結(jié)合的解題應用

1、淺談數(shù)形結(jié)合的解題應用內(nèi)容摘要：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想，它用數(shù)的精確性來闡明圖形所具有的某種屬性，同時，用圖形的直觀性來表現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)與形在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，它們是一個不可分割的整體?？v觀近年來的高考題發(fā)現(xiàn)，融數(shù)與形的試題屢見不鮮，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學學習中的重要地位。而大量事實反映，恰當?shù)貞脭?shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學問題，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，進而優(yōu)化解題途徑，達到事半功倍的效果。在中學數(shù)學中，數(shù)形結(jié)合在集合、函數(shù)最值、方程與不等式、線性規(guī)劃、解析幾何、立體幾何等問題中，都有非常重要的作用。而運用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學生類比、發(fā)掘、剖析數(shù)學問題中所

2、具有的幾何模型，對于幫助學生深化思維，擴展知識，提高解題效率都有很大的幫助。關鍵詞：數(shù)；形；數(shù)形結(jié)合曾經(jīng)的高中數(shù)學教材分為代數(shù)、立體幾何、解析幾何三個部分，而現(xiàn)行的高中教材僅有一本數(shù)學，這更有利于數(shù)與形的結(jié)合。我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難人微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！睌?shù)形結(jié)合的目的就在于以形助數(shù)，那到底“形”是怎樣助“數(shù)”的呢，數(shù)形結(jié)合的魅力又到底在哪里呢？下面根據(jù)自己這幾年來的教學經(jīng)驗，結(jié)合實例談談自己對巧用數(shù)形結(jié)合思想解題的一些認識。一數(shù)形結(jié)合思想在集合問題中的應用。例1：設集合m(x,y)|x2y21,xr,yr，n(x,y)|x2y0,xr,yr，

3、則集合m n中元素的個數(shù)為（）a1b2c3d4分析：若此題直接聯(lián)立方程組將得到，雖然可解出的值，進而再解出值，但這將花掉較多時間。實際上，若我們仔細觀察將不難發(fā)現(xiàn)，此兩個集合的元素個數(shù)就是方程x2y21所表示的圓與x2y0所表示的拋物線的交點個數(shù)，很明顯，由圖可知，應該有個交點，故兩集合就有個元素。例：已知全集，、是是的兩個子集，且滿足，求、。u191113217分析：此題是集合問題中一道典型的數(shù)形結(jié)合問題，它無法通過運算求解，只能借助于形的幫助，方能輕松解決。根據(jù)題目條件可將各元素作在韋恩圖的相應集合內(nèi)（如右圖），由圖可知道。二數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)最值及值域問題中的應用。例1：函數(shù)的最小值為

4、分析：此題考察學生對知識的靈活應用，若問題得不到恰當轉(zhuǎn)化，那么求解此題就沒有可能，此問題怎樣轉(zhuǎn)化才行呢：如此，原函數(shù)的最小值就轉(zhuǎn)化成了點到點與點的距離和的最小值求解問題，由圖可知道，由于點始終在軸上滑動，所以，最小值就是點與點的距離例2：已知，則的取值范圍為 分析：此問題可利用二元一次方程將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題后，利用常數(shù)分離法將化為后利用單調(diào)性進行求解，但做起來卻較麻煩。若能正確認識此分式所表達的幾何意義，問題將得到非常簡便的解答：因為，所以，表示的幾何意義就是點與點的斜率，從而，問題就轉(zhuǎn)化成了線段上的點與點連線斜率的取值范圍，如圖可知：,，所以的取值范圍是例3：（1）求函數(shù)的值域，（2）

5、求函數(shù)的值域分析：問題（1）顯然可用判別式法比較輕松地求解，而問題（2）便不能使用判別式法，雖然問題（2）可轉(zhuǎn)化為方程在上有解，借助實根分布的相關知識求解，但卻仍然顯得較為麻煩。問題（2）利用換元法，令可得，又由的圖像（如圖）可知的取值范圍是，進而可知道值域為三數(shù)形結(jié)合思想在方程與不等式問題中的應用。1例1：方程的實數(shù)根的個數(shù)是_個分析：此方程為一個超越方程，顯然是無法求解的，那么解此問題的關鍵就是把方程的根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題?？闪?，在同一個直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖像（如圖），由圖可以找到兩個函數(shù)圖像的交點一共有3個， 進而方程的實根個數(shù)是3個例2：若32，則x的取

6、值范圍是（）a、（，） b、（， ）c、（，0）（，+） d、（，）（，+）2 分析1：本題可把元不等式等價轉(zhuǎn)化為，通過求兩個分式不等式構(gòu)成的不等式組達到求解本題的目的，但此做法較慢。分析2：用函數(shù)y=的圖象求解，則比較簡單。如右圖不難得出32的解是或，故選d例3：設，關于的一元二次方程有兩實根，且，求的取值范圍分析：此題告訴我們方程有兩個根，所以可考慮解出兩根，再把兩根帶入求解不等式即可。顯然這樣的思路想來簡單，但求解卻是非常困難的事情，所以我們不得不考慮其他辦法。若我們令:那么問題就可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與軸應有12兩個交點，而交點的位置一個在內(nèi)、一個在內(nèi)，由圖可列出圖像應滿足的條件并求解：四

7、數(shù)形結(jié)合思想在線性規(guī)劃問題中的應用。例1：某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有（ ）a 5種 b6種 c7種 d8種 分析1：該題可用例舉法一一例舉出結(jié)果分析2：利用線性規(guī)劃知識求解：設需買軟片片、買磁盤盒，由題意知： 上述約束條件所表示的平面區(qū)域為如右圖所示的陰影三角形上。整點（，）共有7個，即為（3，2）、（4，2）、（5，2）、（6，2）、（3，3）、（4，3）、（3，4），共有7種不同的選購方式 故選 c前一種方法雖然可以求解該題，但花費時間較長，且容易漏解，第二種方法解該

8、題卻顯得既準確又快捷。例2：若滿足，則的最小值是_分析：我們可以根據(jù)約束條件先做出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖（1）， 但得最小值依然無法求解，這是因為我們還未找到解題的途徑，只有將正確轉(zhuǎn)化后， 圖（1）方能知道此題的解題關鍵所在，因為表示的是區(qū)域中的點到直線的距離的倍，即 求的最小值只需求出區(qū)域中的點到直線距離的最小值后乘以，便得到了此題所要求的最小值。而由圖（2）可知道，區(qū)域中的點a（0，0）到直線的距離最小為，所以此題的最小值是1 圖（2）五數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應用。例1：求函數(shù)的取值范圍分析：該題可利用三角函數(shù)的有界性進行求解，但計算量稍大，對于計算能力較差的同學，很容易出錯導致

9、失分，若能找到計算更簡單的方法是最好不過，而這樣的方法確實存在。我們還是首先要將該函數(shù)進行恰當變形，使得式子顯示出它的特點，因此，該函數(shù)表達點與點連線的斜率值，而點的未定，故而該點是一個動點，但該點的運動是有規(guī)律的，它形成的軌跡恰好是以原點為圓心、為半徑的圓，因此，原函數(shù)也就表示該圓上的點與點連線的斜率值（如圖），由此，問題進一步轉(zhuǎn)化成過點的直線與該圓有公共點時斜率的取值范圍，所以由可以解得，所以的取值范圍為。顯然，此方法的計算量比用有界性法求解小很多。例2：已知點a（1，2）在橢圓內(nèi)，右焦點，p為橢圓上的動點，求的最小值分析：此題無法通過設點p并用函數(shù)知識求最小值，只能靠數(shù)形結(jié)合求解方能見效

10、。但也應先對問題進行恰當轉(zhuǎn)化，由方程不難得到，由橢圓第二定義可以知道（其中，是點p到右準線的距離），那么，進而=，所以求的最小值即是求最小值，如右圖所示，最小值就是點a到右準線的距離，所以例3：已知橢圓的左右焦點分別為，b（2，2）是橢圓內(nèi)一點，p為橢圓上的動點，求的最值分析：因為，所以進而，那么，求 的最值就轉(zhuǎn)化成了求的最值，從右圖可以知道，p在e處時，有最小值，p在f處時，有最大值，所以得最大、最小值分別為6、10。此問題與上個問題不同，卻有相似，不同點在于轉(zhuǎn)化的方式方法不同，相似點在于它們都需要借助圖形以輔助求解。六數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何中的應用。在前面的問題中，都是需要將一些關于數(shù)的計

11、算問題轉(zhuǎn)化成圖形問題以輔助求解，而立體幾何問題卻恰恰相反。大多立體幾何問題用純圖形知識求解，就比較麻煩、困難，若恰當?shù)霓D(zhuǎn)化成數(shù)的問題，卻又顯得較為簡單，下面有這樣一個例子。例：在正方體中，e、f、g分別是、的中點，求證：證明（幾何法）：連結(jié) 是在面上的射影又是正方形 又e、g分別是的中點 進而由三垂線定理知：同理可證：證明（代數(shù)法）：設正方體棱長為2，并建立圖示坐標系，則：， 即 即從這兩種解法看來，利用空間向量的坐標運算，把原來較為復雜的純幾何邏輯推理轉(zhuǎn)化成了現(xiàn)在較為簡單的向量計算問題，大大節(jié)省了解題的時間。而在立體幾何中，像這樣的轉(zhuǎn)化方法不勝枚舉。 從上面各種數(shù)形結(jié)合的實例中可以看出，充分抓住數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系去探索問題，將會對問題的最終解決起到事半功倍的效果。數(shù)與形是一個不可分割的整體，數(shù)是形的精確描述，形是數(shù)直觀體現(xiàn)，少了誰都將是不完整的，而發(fā)現(xiàn)數(shù)與形中存在的美麗聯(lián)系是我們作為一個數(shù)學教育者一生不懈的追求?？偠灾?，問題是數(shù)學的心臟,提出并解決問題是推動數(shù)學發(fā)展的動力。而數(shù)形結(jié)合就是高效解決數(shù)學問題的一個有力工具,也是中學數(shù)學中解決問題的重要方法之一。若我們的學生能恰當?shù)乩脭?shù)形結(jié)合