函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法探究畢業(yè)論文

1、學(xué)號(hào)：200921140207200222200x2xx40xxx 本 科 生 畢 業(yè) 論 文 論 文 題 目： 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法探究 作 者： 院 系： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) (或計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、信息與計(jì)算科學(xué)、軟件工程)班 級(jí)： 200902 指 導(dǎo) 教 師： 2013 年 5 月 日no.：2009211402072008200x2xx40xxx200x2xx40xxxhuanggang normal universitythesis graduatestopic：the convergence criterion of series expressed

2、 by function termsauthor： dai le college： college of mathematics and computer science specialty： mathematics and applied mathematics (or computer science and technology,or information and computing science,or software engineering)class： 200902 tutor： xia dan may xth, 2013鄭重聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是本人在指導(dǎo)教師 夏

3、丹 的指導(dǎo)下獨(dú)立研究并完成的。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，沒有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)行為，本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。特此鄭重聲明！指導(dǎo)老師（簽名）：論文作者（簽名）： 2013年5月x日摘 要函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)科學(xué)本身和工程技術(shù)領(lǐng)域都有重要應(yīng)用. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)列的一致收斂性問題往往是數(shù)學(xué)分析的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，不易理解和掌握。 而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)基本問題就是研究其一致收斂性，但是一致收斂的判別比較困難，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上的一致收斂性與部分和函數(shù)列的一致收斂性是等價(jià)的。一種自然的思想是將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法推廣到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法上去.目前，正項(xiàng)

4、級(jí)數(shù)的dalembert判別法、cauchy判別法、raabe判別法和它們的極限形式順利地推廣到了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂的判別上.此外，還有很多種判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的方法，這些方法視條件而定：1 在和函數(shù)或極限函數(shù)可以求出的情況下，可以用定義。2 利用余項(xiàng)的一致收斂性：在區(qū)間上一致收斂的充要條件是在上一致收斂于0，即，在上一致收斂于的充要條件是=0.3 利用cauchy準(zhǔn)則（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)列均可用）.4 利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的m判別法（weierstrass判別法）.5 利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的dimchler判別法和abel判別法.6 利用結(jié)論：如果函數(shù)列在上收斂于，且每一在上滿足li

5、pschitz條件，即存在，使得，n=1,2,則在上一致收斂于.7 利用結(jié)論：如果可微函數(shù)列在上收斂于，且在上一致收斂于.8 利用dini定理（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)列均可用）9 利用結(jié)論：設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則（i）當(dāng)或收斂時(shí)，在（或）上一致收斂；（ii）當(dāng)在內(nèi)一致收斂當(dāng)且僅當(dāng)在上一致收斂本文旨在對(duì)上述函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別的方法進(jìn)行全面的總結(jié)和探究.關(guān)鍵詞：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、 一致收斂 abstract series expressed by function terms in the field of mathematics and engineering science itself has impo

6、rtant application.function series and function of uniform convergence problem often is the key point of mathematical analysis,it is difficult,not easy to understand and grasp.and function studies series one of the basic problem is that the uniform convergence ,but the uniform convergence criterion i

7、s more difficult,in the uniform convergence of the series expressed by function terms consistent with the part and function of convergence are equivalent.a natural thought is the criterion.at present,theposistive seriesdalembertcriterion,cauchycriterion ,raabe discriminant method and the limits of t

8、heir form has been generalized to function successfully a series of uniform convergence criterion.in addition,there are a number of discriminant function is a series of uniform convergence of the method ,these methods depending on the conditions:1. in or limit function can be calculated and the func

9、tion,can use the definition.2. more than using the uniform convergence:the necessary and sufficient condition of uniform convergence in the range is on the uniform convergence to zero,i.e,the necessary and sufficient condition of uniform convergence in the is=0.3. using cauchy criterion(function ser

10、ies and column are available).4. using the function of the m series of uniform convergence (weierstrassdiscriminant method).5. using the series of uniform convergence of dimchler discriminant method and abel discriminant method.6. with the conclusion that if a function listed in converges to,and eac

11、h in satisfied the lipschitz condition,that is,make,n=1,2,the uniform convergence in.7. using the conclsion:if the convergence in differentiable function on,and on the uniform convergence in the.8. dini theorem(function series and column are available)9. use conclusion:a power series and column are

12、available,and is(i) when or convergence,uniform convergence on (or);(ii)when on the uniform convergence if and only if in uniform convergencethis paper aimed to the convergent series expressed by function terms discriminant method carries on the comprehensive summary and exploration keywords: functi

13、on series,uniform convergence 目 錄第一章 緒論1 1.1引言1 1.2定義: .1 1.2.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義.1 1.2.2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義.1 1.3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判定方法3 1.3.1定理1（柯西一致收斂準(zhǔn)則）4 1.3.2定理2（余項(xiàng)判別法）4 1.3.3定理3（魏爾斯特拉斯判別法）5 1.3.4定理4（狄利克雷判別法）5 1.3.5定理5（阿貝爾判別法）6 1.3.6定理67第二章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別方法應(yīng)用.8 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法應(yīng)用 摘要：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別問題是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題中最基本最重要的問題，在研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的

14、問題時(shí)可借鑒一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的方法，本文對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別方法及其應(yīng)用做了全面細(xì)致的闡述 關(guān)鍵詞：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、收斂判別1 引言函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)作為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的推廣,在研究?jī)?nèi)容上同數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有許多極其相似的地方,比如它們的收斂性、和的問題，但函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)還有一點(diǎn)不同于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),就是關(guān)于它的一致收斂性。對(duì)比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法,不難發(fā)現(xiàn),它們?cè)谂袛喾椒ㄉ蠘O其相似,特別是在它們判別法的名稱上,比如它們都有cauchy判別法、abel判別法等. 對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性,有沒有類似于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別的其它方法,是一個(gè)值得研究的課題.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂的條件下，可以討論其和函數(shù)的連續(xù)

15、性、可微性以及可積性.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂時(shí)，求和和求導(dǎo)、求和和求積分的順序可以交換順序.并且，往往交換順序以后方便我們解決一些函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的基本問題.這個(gè)應(yīng)用非常重要，因此，本文將對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別的方法進(jìn)行全面的總結(jié).2 定義：2.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義 2.1.1 定義 設(shè)u(x)是定義在數(shù)集e上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式 u(x)+u(x)+u(x) 稱為定義在e上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為或。稱 ，n=1,2,為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列。2.2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂于，則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于或稱在上一致收斂. 我們可以看到，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂

16、性歸結(jié)到其部分和函數(shù)列的一致收斂性的研究上。例1 考察級(jí)數(shù)的一致收斂性分析：由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性要?dú)w結(jié)到它的和函數(shù)列的一致收斂性上。所以我們首先要求出它的和函數(shù)列，由等比級(jí)數(shù)求和公式知當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，由于因此級(jí)數(shù)的一致收斂性等價(jià)于函數(shù)列對(duì)區(qū)間的一致收斂于零。證明: 由等比級(jí)數(shù)求和公式知當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，下面證明此函數(shù)列是一致收斂于零的。由于，所以在有界且對(duì)于任意給定的，存在，當(dāng)時(shí)，有。于是對(duì)所有自然數(shù)，有 ，而當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)于是在地一致收斂于零，因此存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)所有有這樣當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，有，因此級(jí)數(shù)在上一致收斂。定義1： 設(shè)，（）都是在數(shù)集d上由定義的函數(shù)，若存在一個(gè)在d上由定義的函數(shù)s(

17、x),對(duì)任意的，存在自然數(shù)n,使得當(dāng)nn時(shí)，對(duì)一切均有 |則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集d上一致收斂于s(x).3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判定方法 下面將給出一些判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的基本方法：柯西一致收斂準(zhǔn)則，維爾斯特拉斯判別法（m判別法），狄利克雷判別法，阿貝爾判別法以及不常用的方法，例如：兩邊夾判別法、比較判別法、單調(diào)判別法、一致條件判別法、導(dǎo)數(shù)判別法、點(diǎn)列判別法這幾方面來介紹函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法.3.1 常用判別方法3.1.1 定理1 （柯西一致收斂準(zhǔn)則）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集d上一致收斂的充要條件：對(duì)任意的正數(shù)，總存在某正整數(shù)n,使得當(dāng)nn時(shí)，對(duì)一切x和一切正整數(shù)p,都有 |或 |n及任何正

18、整數(shù)p,有 |=又對(duì)一切有 | 根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)在上一致收斂 3.1.2 定理2 （阿貝爾判別法） (1)在區(qū)間上一致收斂; (2)對(duì)于每一個(gè)是單調(diào)的； (3)在上一致有界，即對(duì)一切和正整數(shù)n，存在正數(shù)m,使得 則級(jí)數(shù)在上一致收斂。 證明：由（1），任給存在某正數(shù)n,使得當(dāng)nn及任何正整數(shù)p，對(duì)一切，有 |0,存在正數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)，對(duì)一切x,由 所以 于是由一致收斂的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)在上一致收斂.（注意：利用狄利克雷判別函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂時(shí)，三個(gè)條件都應(yīng)滿足）同樣的，結(jié)合數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法,可以得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法,同時(shí)我們還可得到函數(shù)

19、項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的對(duì)數(shù)判別法、積分判別法. 3.1.5 定理5 （ 比式判別法） 設(shè)為定義在數(shù)集d上的函數(shù)列，且，n=1,2,記，存在正整數(shù)n及實(shí)數(shù)q,m,使得，對(duì)任意的nn, 成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在d上一致收斂. 證明:易見 (x)= = 而等比級(jí)數(shù)當(dāng)公比0 q n ,xd 成立,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在d上一致收斂.證明:由定理?xiàng)l件,|(x)| ，對(duì)nn,xd 成立,而幾何級(jí)數(shù)收斂,由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在d 上一致收斂.（注:當(dāng)定理6 條件成立時(shí),級(jí)數(shù)在d上收斂且絕對(duì)收斂）（極限形式） 設(shè)(x) 為定義在數(shù)集d 上的函數(shù)列,若，對(duì)x d成立,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在d 上一致收斂。3.1.7 定理7 (

20、對(duì)數(shù)判別法) 設(shè)(x) 為定義在數(shù)集d 上正的函數(shù)列,若 存在,則：(1) 若對(duì),p( x) p 1 , 則 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在d 上一致收斂;(2) 若對(duì),pn ,有 ，則當(dāng)p 1 時(shí)收斂,由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在d上一致收斂;而當(dāng)p, p級(jí)數(shù)當(dāng)pn時(shí)，對(duì)一切自然數(shù)p和一切,有. 由,所以在數(shù)集d上一致收斂.3.1.8 定理9 （確界判別法） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間d上一致收斂于s(x)的充要條件：. 證明：充分性 已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間d上一致收斂于s(x). ，有：.從而，. 必要性 已知，即,有.從而，有，即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間d上一致收斂于s(x).3.2 其它判別方法 在熟悉以上常規(guī)的判別法以后

21、，在處理一些問題時(shí)還會(huì)用到其它的判別方法，例如：兩邊夾判別法、比較判別法、單調(diào)判別法、一致條件判別法、導(dǎo)數(shù)判別法、點(diǎn)列判別法等,下面將一一介紹. 3.2.1 兩邊夾判別法 對(duì)任意自然數(shù)和,都有成立,又與均在點(diǎn)集d上一致收斂于,則也在點(diǎn)集d一致收斂于.3.2.2 單調(diào)判別法 下面討論在級(jí)數(shù)的和函數(shù)單調(diào)條件下,加上若干條件,可推出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的dini 定理.(dini定理) 設(shè)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)在有界閉區(qū)間上連續(xù)且非負(fù),如果它的和函數(shù)也在上連續(xù),那么該級(jí)數(shù)在上一致收斂.證用記級(jí)數(shù)的部分和,由于0,故對(duì)每個(gè)給定的,是單調(diào)增的數(shù)列.記 （）, 則是非負(fù)的單調(diào)減得數(shù)列.我們要證明在上一致趨于0.如果不是這樣,那么存在某個(gè),不論多大,總能在找到這樣的點(diǎn),使得 （）, （）既然是中的一個(gè)點(diǎn)列,那么根據(jù)bolzano-weierstrass定理,從它中間能挑出一個(gè)收斂的子列,設(shè),則,根據(jù)的連續(xù)性,我們有 （）. 另一方面,對(duì)于任意給定的,總能找到充分大的,使.于是,對(duì)于任意給定的,就有,特別有.因而由1得,命,就得 （）. 但2知道,（）,這和矛盾,從而證明了級(jí)數(shù)在上一致收斂于.注如果把定理中的有界閉區(qū)間換成開區(qū)間或者無窮區(qū)間,結(jié)論就可能不成立.例如級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)在區(qū)間中非負(fù)且連續(xù),它的和函數(shù)也在中連續(xù),但該級(jí)數(shù)在中并不一致收斂. 3.2.3 一致條件判別法下面討論滿足一致條件,來探討的一致收斂性,得到