求極限值的幾種常用方法

1、求極限值的幾種常用方法錢偉茂（湖州廣播電視大學(xué) 浙江 湖州 313000）摘 要: 極限的概念與極限的運算貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終，是研究函數(shù)的主要工具之一，全面掌握求極限的方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基本要求。本文圍繞求解極限值這個核心問題，探討了利用初等數(shù)學(xué)思想的十種求解方法和利用高等數(shù)學(xué)思想的十一種求解方法。關(guān)鍵詞:數(shù)列；函數(shù)；極限值；求法 極限是高等數(shù)學(xué)的基本概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)。高等數(shù)學(xué)中的諸如：連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、級數(shù)斂散性、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、重積分、曲線積分、曲面積分等相關(guān)證明和運算都離不開求極限值。本文將把分散于高等數(shù)學(xué)各章節(jié)中的求極限值的常用方法較系統(tǒng)地

2、進行歸納，分為以初等數(shù)學(xué)思想和高等數(shù)學(xué)思想兩種求解方法進行探討。 一、初等數(shù)學(xué)思想的求解方法1利用約分 約分方法是指對分式求極限通常約去極限趨于零或無窮的因子以達到化簡的目的。 例1 求 解：原式= 2利用分子、分母同除于一個因子 分子、分母同除于一個因子，使每一項極限均存在，然后運用極限運算法則。 例2 求 解：原式=3利用分子、分母同乘一個非零因子 例3 若，求 解：原式= =4 利用通分 例4 求 解：原式= 5利用求和公式 對于若干項相加的式子，先求和，再求極限。 例5 求下列極限 （1） （2）設(shè)，求解（1）原式 （2）因為所以：故 6利用三角恒等變形 例6 求極限 解：而所以， 7

3、 利用分子、分母有理化 例7 求下列極限 （1） （2） 解：（1） （2）原式= =8 利用變量替換 例8 求 解：令，則當(dāng)時， 原式= =9 利用換底 換底法主要是解決冪指函數(shù)型極限的求解方法，一般是利用對數(shù)恒等式進行換底，再求極限。 例9 求解：原式= =10 利用對數(shù)構(gòu)造 例10 設(shè)，（）求 解：令， 由于所以，） 故 當(dāng)時 =從而： = =所以二、高等數(shù)學(xué)思想的求解方法1利用極限的四則運算法則 例1 求極限解：原式= 對于極限四則運算法則中加法和乘法法則可推廣到有限次的情形。類似地，數(shù)列的極限，多元函數(shù)的極限都有保持四則運算的性質(zhì)。 2利用函數(shù)連續(xù)性 函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)的一種連續(xù)不

4、斷變化的狀態(tài)。確切地說來，函數(shù)在某點連續(xù)是指：當(dāng)自變量趨于該點時，函數(shù)值的極限與函數(shù)在該點所取的值一致，可以證明，所有初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上都是連續(xù)的。因此，得到一種求連續(xù)函數(shù)極限的方法。 例2 （1996年考研試卷二，一（4） 解：填2。這是因為，令則（）時于是， =同理，綜上所述， 3利用單調(diào)有界原理 準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限 例3 設(shè)，n=1,2,3,，試求（1996年考研試卷一，三（2） 解：由和，知，設(shè)對某自然數(shù)k，有，則由數(shù)學(xué)歸納法可知，數(shù)列是單調(diào)遞減的。由易知，即數(shù)列有下界。故存在，并設(shè)。 在兩邊同時取極限，得a=，即，解得a=-2或a=3，由，得。 4利用夾逼定理 定理1

5、： 如果數(shù)列，和滿足下列條件： (1) ); (2) ，那么數(shù)列的極限存在，且定理：如果 （1）當(dāng)在的去心鄰域時（或充分大以后），； （2） 則（a為有限或無窮大） 例4，求下列極限 （1）（x表示x的取整數(shù)） （2） 解（1） 所以當(dāng)時，；當(dāng)時，但，所以， （2）因為所以而 故 5利用兩個重要極限 重要極限和，為了方便地使用，也常記作 例5 求極限 解： 例6 設(shè)，則。（1996年考研試卷一，一（1） 解：填。因為故得。 6利用無窮小的性質(zhì) 求極限時巧妙運用等價無窮小量代換及性質(zhì)，不僅可以求出極限，而且還可以簡化運算，常見的用法有以下三種： 1、利用常用的等價無窮小量直接進行代換。常用的基本

6、等價無窮子量有如下幾個：當(dāng)時 ； (b) ； 例7 求極限 解：原式= = 2、根據(jù)性質(zhì)“無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量”求解。 例8 求極限 解：因為，故為有界函數(shù)，而由無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量可得： 3、利用互為反函數(shù)的簡單結(jié)論。若f(x)存在反函數(shù)，且時，；則 (a) (b) 例9 求極限 解：令，則當(dāng)時，原式= 利用等價無窮小求極限時，值得注意的是只能替換求極限的函數(shù)中的乘積因子，若函數(shù)中出現(xiàn)加減法，則應(yīng)設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為乘除形式。例是錯誤的。 7利用洛必達法則 洛必達法則對求未定式的極限非常有用，所謂未定式主要是指，0，型，且后面5種都可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃位癁榍懊鎯煞N形式。

7、例10 求下列極限 （1） （2） 解：（1）原式= = （2）這是0型未定式，n次運用洛必達法則，得原式= 最后，需要指出，雖然洛必達法則是求未定式極限的非常好用的一種方法，但它卻不是萬能的。當(dāng)滿足定理的三個條件時，所求極限當(dāng)然存在（或）。但當(dāng)定理條件不滿足時，所求極限卻不一定不存在。特別地，當(dāng)?shù)谌齻€條件不滿足時，即不存在時（等于無窮大情況除外），仍可能存在。 8利用中值定理 例11 求極限 解：設(shè)在區(qū)間n,n+1上對用拉格朗日中值定理，存在，使得：即，所以又，而由夾逼定理知： 例12 求極限 （為正整數(shù)，） 解：設(shè)，則在上連續(xù)，由積分中值定理，得（）原式= 9利用泰勒公式 泰勒公式：若在處

8、有直到n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么， 例13 求極限 解：利用泰勒展開式，得 =- = =于是，原式=注：因分子是x的四階無窮小，故分母的泰勒展開式至少是四階。 10利用導(dǎo)數(shù)定義 例14 設(shè)在處可導(dǎo)，求，其中n為正整數(shù)，。 解：原式= 11利用定積分的定義 根據(jù)定積分的定義可求如下形式的極限:化這種問題為定積分主要是確定積分限和被積函數(shù)。 例15 求極限 解：原式= = 例16 求（1998年考研試卷一，七） 解：由于得：由定積分定義知 由夾逼定理知：原式=以上諸種方法可以說僅是求極限值的常用方法，但絕不是其全部方法。從以上方法中可以看到，只要靈活地加以綜合運用，就能有效地解決不同形式的極限問題。隨著數(shù)學(xué)知識的更新與進步，將會有更多的方法。參考文獻：1陳傳璋、金福臨、朱學(xué)炎、歐陽光中、數(shù)學(xué)分析m.北京：高等教育出版社，1992，27-72.2唐玉憲，幾種求極限的方法j.沈陽師范大學(xué)學(xué)報，2002（1）：8-19.3孫彩云，求解極限的思想方法小結(jié)j.四川教育學(xué)院學(xué)報，2004（3）：109-111.4吳忠懷，求極限的主要方法j