a3+b3+c3≥3abc多種證法

1、不同的思維火花,迥異的證法出于個(gè)人愛(ài)好，我自己想出了三種證法，并搜集了其他證法三種，羅列如下，以饗讀者：1 作差法：分析：先作差，再變形（因式分解,配方等），最后判別正負(fù)。證明： 注：由a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a-b)+(b-c)+(c-a)可得另一結(jié)論：若a+b+c=0,則a3+b3+c3-3abc=0。其實(shí)，由a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a-b)+(b-c)+(c-a)還可看出：只要a+b+c0, a+b+c3abc即可成立。2 作商法：分析：欲證ab(b0),只需證a/b1.而在證明不等式中，最好把不確定的量（即a,b和c）放在不等號(hào)左邊，把已確定的量

2、（即通過(guò)乘除可能得到的常數(shù)）放在不等號(hào)右邊。也就是說(shuō)，要證明不等式，只需證。下面證明該式成立。證明： 注：在證明過(guò)程中，若不等號(hào)同一邊同時(shí)出現(xiàn)x與兩項(xiàng)，可添“+1-1”；再使“x”與“1”配對(duì)并使用均值不等式，以便把x降次，使之變成；最后讓與配對(duì)， 再次使用均值不等式，以求最值。3 傳遞法： 分析：不等式具有傳遞性：若ab,且bc，則ac.因?yàn)閍+b2ab右邊只有a和b的乘積ab，而的右邊卻是a,b,c三個(gè)量的乘積abc,所以應(yīng)把式左右兩邊同乘以c,得 ac+bc2abc 同理，可得 ab+ac2abc ab+bc2abc 由，相加，得 ac+bc+ ab+ac+ ab+bc6abc所以要證明

3、不等式，只需證 2（a+b+c）ac+bc+ ab+ac+ ab+bc 。下面證明式成立。證明： a+b ab+ab 同理 b+c bc+bc c+a ca+ca 由，與相加，可得 a+b+ b+c+ c+aac+bc+ ab+ac+ ab+bc即 2（a+b+c）ac+bc+ ab+ac+ ab+bc4 添項(xiàng)減項(xiàng)法：證明： 注：”添項(xiàng)減項(xiàng)”中的”項(xiàng)”能夠是常數(shù)，也能夠是代數(shù)式.5 . 排序原理法：分析：由上面“作商法”分析過(guò)程可知，要證不等式，只需證，而 ，若設(shè) ，則 ，即只需證 ，而由這個(gè)不等式左邊 可聯(lián)想到排序原理。下面用排序原理證明該不等式成立。證明：取兩組數(shù) 其反序和為： 而 為亂序和，所以由排序原理可知 5 構(gòu)造法：分析：我們已學(xué)的均值不等式有 ，而 ，所以可利用 來(lái)證明 ，從而證明 。所以，必須在 的左邊構(gòu)造出能夠利用職權(quán) 的式子。 證明： 從這道不等式證明中，我理解