概率論解題方法

1、數(shù)學(xué)知識(shí)系列講座 概率論解題方法分析舉例 主要內(nèi)容 n概率的計(jì)算； n概率大小的比較； n貝努里試驗(yàn)?zāi)Ｐ停?n概率分布； n邊緣分布； n隨機(jī)變量函數(shù)的分布； n連續(xù)與離散兩種隨機(jī)變量相結(jié)合。 1. 利用事件間的關(guān)系與運(yùn)算規(guī)律計(jì)算. 如 ;ABAB 一、概率的計(jì)算 ;A BABAA B ;ABAB ();AASABBABAB ,()1();A BP BP A若互逆，則 ,()( ) ( ).A BP ABP A P B若獨(dú)立，則 ,()0A BP AB 若互不相容，則 u例1. 為概率不為零的兩事件，且互不相容，則正確 的是（ ） A) B) C) D) 分析：A)是獨(dú)立條件；B)與對立（互逆

2、）相關(guān)；C)是差事件 的運(yùn)算；D)是互不相容的問題.顯然：A)錯(cuò)；B)不相干； D)中令 故D)錯(cuò). 又由于 故C)對. 本題主要考查事件的幾種關(guān)系： 差、互逆、互不相容及獨(dú)立. 要熟練掌握其基本概念. ()( ) ( )P ABP A P B ,A B ( )1( )P BP A ()( )P ABP A,A B相容 ABB=A,則與互 不 相 容 , ()( )()( )P ABP AP ABP A u例2. 已知事件 滿足 . 解： 此題關(guān)鍵是掌握德謨根定律及事件的逆以及加法公式. ()(),P ABP AB ,A B P(A)=p,P(B)且求 ()()1()P ABP ABP AB

3、1( )( )()P AP BP AB ()(),P ABP AB由有 1-P(A)-P(B)=0,即P(B)=1-P(A)=1-p. 2. 運(yùn)用概率計(jì)算公式 . 如 加法公式 條件概率公式 及由此推出的乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式 ()()()();P ABP AP BP AB () (); () PA B PBA PA () ( )( )( )()()()(); P ABC P AP BP CP ABP BCP ACP ABC u例3. 一次擲十顆骰子，已知至少出現(xiàn)一個(gè)一點(diǎn)， 問至少出現(xiàn)兩個(gè)一點(diǎn)的概率是多少？ 分析：設(shè)A：至少出現(xiàn)一個(gè)一點(diǎn)； B：至少出現(xiàn)兩 個(gè)一點(diǎn), 則所求為 另可 知

4、 ，因此 關(guān)鍵利用了互逆事件及條件概率的性質(zhì) . () ()1()11 ( ) P AB P B AP B A P A ()( )1( ) (); ( )( )1( ) P ABP BP B P B A P AP AP A 1AB “正好出現(xiàn)一次 點(diǎn)” 1910 10 1010 5 / 6 15/ 6 C u例4. 甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，命中率分別 為0.5和0.4，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是乙射中的概率是 多少？ 分析：設(shè)A：甲射擊一次命中目標(biāo)；B：乙射擊一次命中目標(biāo). 則目標(biāo)被命中為 所求概率為 于是 ()( )( )()P ABP AP BP AB ,AB().P B AB

5、( )( )( ) ( )P AP BP A P B 0.5 0.4 0.5 0.40.7; ()( )0.4 ()0.57. ()()0.7 P BABP B P B AB P ABP AB u例5.三個(gè)箱子，第一個(gè)箱子中有3個(gè)黑球1個(gè)白球，第二個(gè)箱子中有2個(gè) 黑球3個(gè)白球，第三個(gè)箱子中有3個(gè)黑球2個(gè)白球. 求： （1）隨機(jī)地取一個(gè)箱子，再從這個(gè)箱子中取出一個(gè)球，這個(gè)球?yàn)榘浊虻?概率是多少？ （2）已知取出的是白球，此球?qū)儆诘谌齻€(gè)箱子的概率 分析：設(shè) A:取出的球?yàn)榘浊?；B：此球來自于第i個(gè)箱子，i=1,2,3, 則 且 （1）由全概率公式有 （2）由貝葉斯公式有 1 1 (); 4 P A

6、 B 1 ()(1,2,3); 3 i P Bi 2 3 (); 5 P A B3 2 (). 5 P A B 3 1 1 1325 ()() ()(). 3 45512 ii i P AP A B P B 33 3 12 () ()24 35 (). 5 ( )75 12 P BP A B P B A P A 練習(xí). 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，現(xiàn)從 每批中任取10件來檢查，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則 認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。假定每批產(chǎn)品中的次品 數(shù)最多不超過4件，且每次次品數(shù)從0到4是等 可能的。求： （1）一批產(chǎn)品通過檢查的概率； （2）假設(shè)所檢查這批產(chǎn)品通過檢查，其中確實(shí) 沒有次品的概率.

7、關(guān)鍵事件：A：產(chǎn)品通過驗(yàn)收； ：每批產(chǎn) 品中有i件次品，i=0,1,2,3,4. i B l利用分布函數(shù)求概率： l若X為一維離散型：則 l若（X，Y)為二維離散型：則 l若X為一維連續(xù)型：則 l若（X，Y)為二維連續(xù)型：則 12 12 . k k xxx P xXxP Xx 3. 運(yùn)用隨機(jī)變量的分布 1221 ( )()().F xP XxP xXxF xF x (,) (,),. ij ij xyG PX YGP XxYy 2 1 12 (). x x PxXxfx dx ( , ) (, )( , ). x yG PX YGf x y dxdy u例6. 已知 獨(dú)立， 則以下結(jié)論正確的是

8、（ ） A) B) C) D) 以上常不正確 分布列相同的兩個(gè)隨機(jī)變量不一定相等，與它們本身的 定義有關(guān)，故A)不對；由于 故選C). 01 11 22 k X P ,X Y的分布律為 01 11 22 k Y P XY1P XY 1 2 P XY 0,01,1P XYP XYP XY 0011 11111 22222 P XP YP XP Y ,X Y u例7.已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 （1）求 （2）求X的分布律. 分析：由分布函數(shù)的意義 知 , 于是 端點(diǎn)處的概率即為上下階梯之差，X的分布律為 0.5;P X 0,1; 0.2,12; ( ) 0.7,24; 1,4. x x F x

9、x x 0.5 1(0.5) 1 0.20.8;P XF ( )F xP Xx ( )(0)P XaF aF a 1 1( )P X aP X aF a -124 1 0.7 0.2 124 0.20.50.3 k X P u例8. ，求方程 有實(shí)根的概率. 分析：當(dāng)且僅當(dāng) 成立時(shí)，方程 有實(shí)根，解得 或 因此，該方程有實(shí)根的概率為 本題是利用連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布的特征來求概率， 若 2 (4 )16(2)0 (0,5)U服從 2 20a x4x 2,1. 523 212 505 pPPP 2 (1,2 ),XN服從結(jié)果怎樣？ u例9. 則（ ）. A） B) C） D) 分析：獨(dú)立正態(tài)分布

10、的線性組合仍然服從正態(tài)分布 ， 則 正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化： 故X+YN（1,2），從而， 1 0 2 P XY ,XN(0,1)YX Y獨(dú)立， 服從， 服從N(1,1) 1 1 2 P XY 1 0 2 P XY 1 1 2 P XY 2 N iii X服從（，）,i=1,2,n 1 n ii i a X 2 N(0,1) X XN 服從（ ，）,則服從分布 2 11 N nn iiii ii aa （，） 111 1()(0) 22 P XY u例26. 的聯(lián)合概率密度為 求 中至少一個(gè)小于0.5 的概率. 解: 所求概率為 1 ,01,02 ( , )2 0, xy f x y 其他. , ,

11、 2 1 , 2 1 1) 2 1 () 2 1 (PP . 8 5 2 1 ),(1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 dxdy dxdyyxf l1. l2. l3. 利用概率分布特征比較，如密度函數(shù)的奇偶性， 正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化，正態(tài)分布的線性組合特征。 A,B, AB, P(A)P(B).任意事件若則 二、概率大小的比較 AP(A)1.任意事件 的概率0 u例10. 為任意兩事件， 且 ，則正確的是（ ） A) B) C) D) 本題利用 及條件概率的定義 即得B)正確. , ( )0AB P B ,A B ()()PAPAB()()PAPAB ()()PAPA B ()()PAP

12、AB () (); () PA B PAB PB 0( )1P B ()(),ABP ABP A u例11.事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則下列式子正確 的是（ ） A) B) C) D) 選擇支中出現(xiàn)了 聯(lián)想到加法公式 由 有 又 則 故選B) ( )( )( ) 1P CP AP B ( )( )( ) 1P CP AP B ()()P CP AB( )()P CP AB ()(),()P AP BP AB ()( )( )();P ABP AP BP AB ABC ()( )P ABP C 0() 1P A B ( )( )( )( )( )()1P AP BP CP AP BP

13、AB u例12. A）單調(diào)增大 B）單調(diào)減少 C） 保持不變 D）增減不定 u例13. 設(shè) 則 的大小關(guān)系是（ ） A） B） C） D）大小不定 均考查正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化問題 XP 應(yīng)（ ） 2 NX服從 （ ，）,則隨著 的增大，概率 22 N4YN(5 )X服從 （ ， ）, 服從， ， 12 45XXp =P 12 p , p 12 p p 12 p y,2y=1-PX y 0(y)=Pmin(X,2)y=0. Y y 時(shí)，F(xiàn) 1 =1-1; xy y edxe 2.y 0 2 (=F (0), (F (2), limlim YYYY y y FyFy ） 離散型（X,Y)： l 聯(lián)合分

14、布律： l X的邊緣分布律： lY的邊緣分布律 l若X,Y獨(dú)立，則 l在 的條件下 的概率 . 1 ,1,2,; iij j pP Xx Yyi 4. 聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布、獨(dú)立性 ,1,2,;1,2 ijik P Xx Yypij . 1 ,1, 2,. jij i pP XxYyj . ,1,2,;1,2,. ijij p pP Xx Yyij . , ij ji i PXxYy P YyXx p j Yyi Xx 連續(xù)型 ：已知（X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為 lX的邊緣密度函數(shù) lY的邊緣密度函數(shù)為 l若X,Y獨(dú)立，則 l在 的條件下Y的密度函數(shù)為 ( )( , ) X fxf x

15、y dy ( , )f x y ( )( , ) Y fyf x y dx ( , )( )( ) XY f x yfx fy Xx ( , ) () ( ) Y X Y X f x y fy x fx u例20. 已知（X,Y）的聯(lián)合分布律為 （1）將X,Y的邊緣概率填入上表； （2）若Y=0 與X+Y=1獨(dú)立，求a ,b的值. i P Xx X Y 0 1 PY=yj 0 0.4 a 1 b 0.1 PX=xi 分析：由獨(dú)立性知 即 （1） 又由分布律的規(guī)范性有 （2） 解得 a=0.4 , b= 0.1 0,101P YXYP YP XY 0,1P YX (0.4)()abaa 0 0,

16、11,0P YP XYP XY 0.5ab u例21.已知隨機(jī)變量X,Y的分布律分別為： X 0 1 Y -1 0 1 且 , 求(X，Y)的聯(lián)合分布律并 判斷其獨(dú)立性. 分析：直接求不容易，但由 可知 于是，得到（X，Y）的聯(lián)合分布律為 k P k P 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 22 1P XY 22 1P XY 22 0P XY Y X -1 01 0 0 0 1 0 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 練習(xí)： 的分布律為 且 則 并求(X,Y)的聯(lián)合分布律. 101 ,1,2, 111 424 i i X 12 01,P X X 12 _.P XX u例24：G由 及直

17、線 y=0, x=1, 所 圍， (X,Y) 在G上服從均勻分布. 求 (1) (X,Y) 關(guān)于Y的邊緣概 率密度在 處的值. (2) X,Y是否獨(dú)立？ 解：G的面積為 故聯(lián)合密度函數(shù)為 求得 故 2 xe 1 y x 1 2 y 1 2 2 1 1 1 ln2, e e dxx x 1 ,( , ) ( , )2 0, x yG f x y ； 其他. 1 y x 2 e x y 1 y 1 11 1 ( )=(1), 22 y Y fydx 2 2 1 11 ( )(1), 22 e Y fydxe 2 1;ey 2 0;ye 111 ()=(21). 222 Y f l一維離散型，二維離

18、散型（略） l一維連續(xù)型： (1) 若X的密度函數(shù)為 ，Y=g(X)處處可導(dǎo)， 且嚴(yán)格 單調(diào)， 的反函數(shù)為 則 可用公式 (2) 若Y=g(X)不滿足上述條件，則先求Y的分布函數(shù)， 再 關(guān)于y求導(dǎo). ( ( )( ) ,( ) ( ) 0 X Y fh yh yyg x fy 在的值域內(nèi)； 其他. 六、隨機(jī)變量函數(shù)的分布 ( ) X fx ( )yg x ( ),xh y l二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布：已知聯(lián)合密度函 數(shù)為 (1) 若 , 則 (2) 若 , 則 (3) 若 , 則 此外，還有 與 的分布. ZXY ( , ).f x y ZXY Y Z X ( )( ,)(, )( Z f

19、zf x zx dxf zy y dy 卷積公式） 1 ( )( , ) Z z fzf xdx xx ( )( ,) Z fzf x zx x dx m ax,XYmin,X Y u例23. X,Y的聯(lián)合分布律為 求: （1）Z=X+Y的分布律； （2）U=maxX,Y的分布律； （3）V=minX,Y的分布律. Y X0 12 0 0.300.05 0.02 1 0.03 0.200.40 (X,Y) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) 0.30 0.05 0.02 0.03 0.20 0.40 Z=X+Y 0 1 2 1 2 3 U=maxX,Y 0

20、1 2 1 1 2 V=minX,Y 0 0 0 0 1 1 由上可知Z，U，V的分布律為： k P Z 0123 P 0.30.080.220.40 U 012 P 0.30.280.42 V 01 P 0.40.6 u例24. 設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求： （1） 的密度函數(shù)； （2） 的密度函數(shù). 解:（1） 由 得 由公式得 （2） 時(shí)， 時(shí)， 2 21YX 2YX , 2 1 )( 2 2 xexf x X ?xy2),( yhx . 2 1 )( yh ., 2 1 2 1 )( 2 ) 2 ( 2 yeyf y Y ?1y; 012)( 2 yXPyF Y 1y 2 1 12)( 22 y XPyXP