高中數(shù)學(xué)論文：雙曲線中幾個(gè)存在性問題的探究

1、雙曲線中幾個(gè)存在性問題的探究在雙曲線內(nèi)容教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)碰到有關(guān)存在性問題，歸結(jié)起來，有以下幾種情形要特別加以關(guān)注。一、過定點(diǎn)的雙曲線的弦中點(diǎn)恰為該定點(diǎn)，則此弦所在直線之存在性的探究問題1 過定點(diǎn)p(x0,y0)作直線l交雙曲線mx2ny2=1(m0、n0)于a、b兩點(diǎn)，若存在這樣的弦ab，它的中點(diǎn)恰為點(diǎn)p，則點(diǎn)p的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？解： 設(shè)a(x1,y1)，b(x2,y2)代入雙曲線方程，兩式相減，再利用x1+x2=2x0, y1+y2=2y0得直線ab的斜率k=（ y0），直線ab方程：yy0=k(xx0)代入雙曲線方程整理得：m（ny02mx02）x2-2mx0（ny02mx02）x n

2、y02+（ ny02mx02）2=0當(dāng)m（ny02mx02）0時(shí)，則ny02+（ ny02mx02）2=0 此時(shí)點(diǎn)p（0，0）當(dāng)m（ny02mx02）0時(shí)，判別式= 4 m ny02（ny02mx02）（1+ ny02mx02）0得mx02ny021，且y0若y0=由圖形對(duì)稱性知，當(dāng)點(diǎn)p滿足mx02ny021時(shí)，存在直線ab，此時(shí)垂直y軸，記，則等價(jià)于 點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)閮蓷l漸近線所夾且有不含雙曲線的上下兩部分點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)殡p曲線內(nèi)的部分即含焦點(diǎn)的左右兩部分所以 點(diǎn)p(x0，y0)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件是：或或（0，0）.二、過雙曲線焦點(diǎn)且長(zhǎng)度為定值的弦之存在性的探究問題2 過雙曲線(a0,b0)的焦點(diǎn)f

3、(c,0)的所有直線中，是否存在被雙曲線截得弦長(zhǎng)為定值l的直線ab，如果存在,有幾條?解： 若過f的直線ab交雙曲線兩支上,則弦長(zhǎng)|2a若過f的直線ab交雙曲線同一支上,設(shè)過f的直線方程 ty = x-c 代入雙曲線方程整理得 記a、b兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1、 x2 x1+x2=當(dāng)且僅當(dāng)直線abx軸時(shí)，上式取到等號(hào).弦長(zhǎng)|af|+|bf|=（ex1-a）+（ex2-a）(e為雙曲線離心率)若2a 即e；若=2a即e=；若2a即1e時(shí) 若l，則這樣的直線ab有且只有四條；若l=，則這樣的直線ab有且只有三條；若2al，則這樣的直線ab有且只有二條；若l=2a，則直線ab有且只有一條；若l2a，則這

4、樣的直線ab有且只有四條；若l=2a，則這樣的直線ab有且只有二條；若l2a，則這樣的直線ab不存在.當(dāng)1e2a，則這樣的直線ab有且只有四條；若l=2a，則這樣的直線ab有且只有三條；若l2a，則這樣的直線ab有且只有二條；若l=，則直線ab有且只有一條；若l1）（）所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在.四、過定點(diǎn)與雙曲線有唯一公共點(diǎn)的直線之存在性的探究問題4 過點(diǎn)p(x0,y0)作直線ab與雙曲線 (a0、b0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，問這樣的直線ab是否存在，如果存在， 則點(diǎn)p的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件，并指出此時(shí)直線的條數(shù).解： 當(dāng)點(diǎn)p（0,0）時(shí)，此時(shí)符合條件的直線不存在；當(dāng)點(diǎn)p在其中一條漸近線上（除中心外）即（且x02+y020），則可引一條與另一條漸近線平行的直線，此時(shí)又只能引一條切線，所以有且只有二條直線滿足題設(shè)要求；當(dāng)點(diǎn)p符合或00、b0)恒有公共點(diǎn)，求雙曲線的離心率的范圍.