復(fù)變函數(shù)第一章

1、大學(xué)數(shù)學(xué)教程大學(xué)數(shù)學(xué)教程 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換 主講主講 丁然丁然 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 1.1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)及其運(yùn)算 1.2 1.2 復(fù)平面上的曲線和區(qū)域復(fù)平面上的曲線和區(qū)域 1.3 1.3 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 1.4 1.4 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n16世紀(jì)，意大利學(xué)者卡當(dāng)（Cardan）第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方 根寫進(jìn)公式。笛卡爾稱為“虛數(shù)”

2、，歐拉“純屬虛幻”。 n1747年法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾指出，按多項(xiàng)式四則運(yùn)算，這 種數(shù)的結(jié)果總是形式的。 n1730年，棣莫弗公式，1748年歐拉公式，并創(chuàng)作了i作為 虛數(shù)單位。 n復(fù)平面的表示，并與向量對(duì)應(yīng)，理論逐漸完備。 1.1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)及其運(yùn)算 一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念 1、產(chǎn)生背景 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中 稱為虛單位， iyxz 1i yx, ),Re(zx)Im(zy z 2、定義：形如 為任意實(shí)數(shù),且記 分別稱為 的實(shí)部（real part）與虛部(imaginary part)。 張

3、 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n（1） 當(dāng) ，則 稱為純虛數(shù) 。 當(dāng) 時(shí)，則 為實(shí)數(shù)，虛部為0的 復(fù)數(shù)可以看成實(shí)數(shù)。 全體實(shí)數(shù)是全體復(fù)數(shù)的一部分。 復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù) 的推廣。 虛部不為0的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)。 iyxz 0,0 xy ziy 0,0 xy zx 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n（2）復(fù)數(shù)的相等 n所以，復(fù)數(shù)為0意味著什么呢？ n兩個(gè)復(fù)數(shù)是否可以簡(jiǎn)單比較大??？ 121212 ,zzxx yy 111 zxiy 222 zxiy 張 長 華 Complex Analysis

4、 and Integral Transform 兩復(fù)數(shù)相等兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛它們的實(shí)部和虛 部分別相等部分別相等. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 等于等于0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部它的實(shí)部和虛部 同時(shí)等于同時(shí)等于0. 說明說明 兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù)兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的可以比較它們的 大小大小, 如果不全是實(shí)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù), 就不能比較大小就不能比較大小, 也就也就 是說是說, 復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)不能比較大小. 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n（3）共軛復(fù)數(shù) 稱為z的共軛復(fù)數(shù)。 記為 是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例：

5、 zxiy xiy zxiy 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)平面的定義復(fù)平面的定義 復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) 與與有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì) ( , ) ( , ) 成成一一一一 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng). . 因因此此, , 一一個(gè)個(gè)建建立立了了直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系的的平平面面可可以以 用用來來表表示示復(fù)復(fù)數(shù)數(shù), , 通通常常把把橫橫軸軸叫叫實(shí)實(shí)軸軸或或軸軸, , 縱縱軸軸 叫叫虛虛軸軸或或軸軸. . 這這種種用用來來表表示示復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的平平面面叫叫復(fù)復(fù)平平 面面. . zxiyx yzxiyx y x x y y . ),( 表示表示面上的點(diǎn)面上的點(diǎn) 可以用復(fù)平可

6、以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz 二、復(fù)數(shù)的表示法二、復(fù)數(shù)的表示法 1 1、( (復(fù)平面上的復(fù)平面上的) )點(diǎn)表示點(diǎn)表示-用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)(1806(1806高斯高斯 ） 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform r (1)此時(shí)的坐標(biāo)面（稱為 復(fù)平面）與直角坐標(biāo) 平面的區(qū)別與聯(lián)系。 y x ),(yxP x y (2)zxiy復(fù)數(shù)與點(diǎn)（x,y）構(gòu)成 一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)z=x+iy 由（x,y）唯一確定。 為了方便，復(fù)平面復(fù)平面中不區(qū)分點(diǎn)和復(fù)數(shù)。為了方便，復(fù)平面復(fù)平面中不區(qū)分點(diǎn)和復(fù)數(shù)。 張

7、 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 2. 向量表示向量表示-（1）復(fù)數(shù)的模）復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值或絕對(duì)值) , 的?；蚪^對(duì)值的模或絕對(duì)值向量的長度稱為向量的長度稱為 z , 表示表示可以用復(fù)平面上的向量可以用復(fù)平面上的向量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)OPiyxz . 22 yxrz 記為記為 x y x y o iyxz P r 顯然下列各式成立顯然下列各式成立 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform （2）復(fù)數(shù)的輻角）復(fù)數(shù)的輻角 . Arg , , , 0

8、z zOPz z 記作記作 的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量 以表示以表示以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊的情況下的情況下在在 說明說明,0有無窮多個(gè)輻角有無窮多個(gè)輻角任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù) z , 1 是其中一個(gè)輻角是其中一個(gè)輻角如果如果 ).( 2Arg 1 為任意整數(shù)為任意整數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特殊地特殊地 的全部輻角為的全部輻角為那么那么 z 輻角不確定輻角不確定. 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 輻角主值的定義輻角主值的定義: .arg , Arg , )0( 0 00

9、 zz z 記作記作的主值的主值稱為稱為 的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在 , 0 x ) 2 arctan 2 ( x y 其中其中 輻角的主值輻角的主值0 z zarg , 0, 0 yx , 0, 0 yx . 0, 0 yx ,arctan x y , 2 ,arctan x y , 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform （3） 利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差 x y o 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z 21 zz 2 z 兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與

10、相應(yīng)的向量的 加減法運(yùn)算一致加減法運(yùn)算一致. . 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform （4） 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì) ;)1( 2121 zzzz .)2( 2121 zzzz , 2121 故故之間的距離之間的距離和和表示點(diǎn)表示點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)閦zzz 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z . 實(shí)軸對(duì)稱的實(shí)軸對(duì)稱的 復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于 在在和和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)zz x y o iyxz iyxz 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transfo

11、rm 3 3、三角（或極坐標(biāo)）表示三角（或極坐標(biāo)）表示- )sin(cosiriyxz ,| 22 yxzrarctan y x ,cosrx sinry 由由 得得 4 i zre 、 指 數(shù) 表 示 sinicose i 歐拉公式 5、代數(shù)表示- iyxz 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)數(shù)的各種表示可相互 轉(zhuǎn)換，在不同的運(yùn)算中可 選擇不同表示式 進(jìn)行運(yùn)算。 N S P y z Z x 6*、復(fù)球面表示- 將擴(kuò)充復(fù)平面中 | z 的所有復(fù)數(shù)唯一表示為一個(gè)點(diǎn)，則所有復(fù)數(shù)與復(fù)球面上的 點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 張 長 華 Complex

12、 Analysis and Integral Transform Leonhard Euler Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland Died: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia 歐拉資料 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算 1、相等兩個(gè)復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部與虛部分別相等時(shí)才相等。 2、和、差、積、商（分母不為0）代數(shù)式、三角式、 指數(shù)式。按多項(xiàng)式的運(yùn)算方法進(jìn)行， 并將 代入。 另外，我們所熟知的代數(shù)運(yùn)算在復(fù)數(shù)域中依然成立。

13、 2 1i 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 虛數(shù)單位的特性虛數(shù)單位的特性: ; 1 ii ; 1 2 i; 23 iiii ; 1 224 iii; 145 iiii ; 1 246 iii; 347 iiii ; 1 448 iii 則則是是正正整整數(shù)數(shù)一一般般地地，如如果果,n , 1 4 n i, 14 ii n , 1 24 n i. 34 ii n 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 , 222111 iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù) 1. 兩復(fù)數(shù)的和

14、兩復(fù)數(shù)的和: ).()( 212121 yyixxzz 2. 兩復(fù)數(shù)的積兩復(fù)數(shù)的積: ).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz 3. 兩復(fù)數(shù)的商兩復(fù)數(shù)的商: . 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2 1 yx yxyx i yx yyxx z z 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì) 實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩 個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù). . , zz 共軛的復(fù)數(shù)記為共軛的復(fù)數(shù)記為與與 . , iyxziyxz 則則若若

15、 例例2 2.的積的積與與計(jì)算共軛復(fù)數(shù)計(jì)算共軛復(fù)數(shù)yixyix 解解)(yixyix 22 )(yix . 22 yx .,的積是一個(gè)實(shí)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)zz 結(jié)論： 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform )Re(22zxzz ),Im(22ziyizz 222 )Im()Re(|zzzzz z z y xo y y x 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 性質(zhì)性質(zhì): ;)1( 2121 zzzz ; 2121 zzzz ; 2 1 2 1 z z z z ;)2

16、(zz ;)Im()Re()3( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式證明略以上各式證明略. 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n復(fù)數(shù)的乘積 )sin()cos( 21212121 irrzz )sin()cos( 2121 2 1 2 1 i r r z z n模和輻角 )()()( 2121 zArgzArgzzArg )()()( 21 2 1 zArgzArg z z Arg n集合相等 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform kzzzz2)a

17、rg()arg()arg( 2121 kzz z z 2)arg()arg()arg( 21 2 1 )sin()cos(ninrz nn n單位復(fù)數(shù)相乘相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，比如 iz 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 模為1時(shí)，可得棣莫弗公式 nini n sincos)sin(cos 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 四、復(fù)數(shù)的四、復(fù)數(shù)的n n次方根次方根 1 (cossin), 22 (cossin) (0,1,1) n n zri kk wzri nn kn 若則 w n

18、 r 0k 的n個(gè)值恰為以原點(diǎn)為中心， 的內(nèi)接正 邊形的頂點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)， 為半徑的圓周 n 0 w稱為主值。 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 答疑解惑答疑解惑 答：不能，實(shí)數(shù)能比較大小，是因?yàn)閷?shí)數(shù)是有序的；而答：不能，實(shí)數(shù)能比較大小，是因?yàn)閷?shí)數(shù)是有序的；而 復(fù)數(shù)是無序的，所以不能比較大小。復(fù)數(shù)是無序的，所以不能比較大小。 假設(shè)復(fù)數(shù)有大小，其大小關(guān)系應(yīng)與實(shí)數(shù)中大小關(guān)系保持假設(shè)復(fù)數(shù)有大小，其大小關(guān)系應(yīng)與實(shí)數(shù)中大小關(guān)系保持 一致，（因?yàn)閷?shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的特例），不妨取一致，（因?yàn)閷?shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的特例），不妨取0 0和和i i加以討論：加以討論： 1 1

19、、復(fù)數(shù)能否比較大小，為什么？復(fù)數(shù)能否比較大小，為什么？ 0,0,010,iiiii設(shè)則得顯 然 矛 盾 注：復(fù)數(shù)的模、實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，輻角也是實(shí)數(shù)，注：復(fù)數(shù)的模、實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，輻角也是實(shí)數(shù)， 可比較大小可比較大小。 i 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 2 2、復(fù)數(shù)可以用向量表示，則復(fù)數(shù)的運(yùn)算與向量的、復(fù)數(shù)可以用向量表示，則復(fù)數(shù)的運(yùn)算與向量的 運(yùn)運(yùn) 算是否相同？算是否相同？ 答：有相同之處，但也有不同之處。 加減和數(shù)乘運(yùn)算相同，乘積運(yùn)算不同，向量運(yùn)算有數(shù)量 積、向量積和混合積，復(fù)數(shù)則沒有；復(fù)數(shù)運(yùn)算有乘除及乘冪、 方根，但向量沒

20、有；乘積運(yùn)算的幾何意義不同。 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 典型例題典型例題 例例1 1、判斷下列命題是否正確？、判斷下列命題是否正確？ （1 1） （2 2） （3 3） 7512ii )57arg()21arg(ii )57Re()57Im(ii （ ） （ ） （ ） 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 例例2 2、求下列復(fù)數(shù)的模與輻角、求下列復(fù)數(shù)的模與輻角 （1） （2） （3） （4） i3 i23 1 iii 2510 4 n i 2 31 張 長 華 Comple

21、x Analysis and Integral Transform 解（解（1 1）22 (3)( 1)2, 15 arg( )arctan 63 z z （1） 22 321 131313 z 3 2 arctan)arg(z , 13 2 13 3 )23)(23( 23 23 1 i ii i i （2 2） 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform ,3144 102510 iiiiiii ,103) 1(| 22 z3arctan)arg(z （3） , 1|z ,2 3 )arg( k n z (2 3 n kk 滿足的 ） 3 1

22、3 cossin 233 n i inn ei 3 13 arg( )arctan 3) 23 i i ez (模為1, (4) 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 例例3 3、求滿足下列條件的復(fù)數(shù)、求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z z： （1） （3） izz2| , 3 )2arg( z （2） 且且 3,zai2|2|z 6 5 )2arg(z 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform zxiy解：（1） 設(shè)：則 22 2xiyxyi 22 3 21. 4 xxyyxi 3 由，得,故z= 4

23、 2 (2)3,23212zaizaia 則 a 的值為(- 3, 3)內(nèi)任一實(shí)數(shù), 故滿足條件的z有無窮多個(gè). 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 1 3 2 ri 2 3 -2 2 r 2 1 2 r i 111 13 (3)2cossin 3322 zrirr i 設(shè) 222 5531 2cossin 6622 zrirr i 1 1 2 2 rz則 12 2,2 3 13 rr zi 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 01 23 zzz 1 23 zzz 例例4 4 求方程

24、求方程的根。并將的根。并將 分解因式。分解因式。 1)1)(1( 423 zzzzz解 ， 101z 0 而的根為z 01 4 z則的其余三個(gè)根即為所求 01 4 z 4 20 sin 4 20 cos1 4 k i k z 得 由 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform iizk 2 3 sin 2 3 cos,3 3 時(shí) 0sin0cos1i 10sin0cos,0 0 izk時(shí) iizk 2 sin 2 cos,1 1 時(shí) 1sincos,2 2 izk時(shí) 32 10, 1,zzzii根為 32 1()(1)()zzzzizzi 且 張

25、 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 1.2 1.2 復(fù)平面上的曲線和區(qū)域復(fù)平面上的曲線和區(qū)域 一、復(fù)平面上的曲線方程一、復(fù)平面上的曲線方程 0),(yxF )( )( tyy txx 平面曲線有直角坐標(biāo)方程平面曲線有直角坐標(biāo)方程 和參數(shù)方程和參數(shù)方程兩種形式。兩種形式。 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方 程(或不等式)來表示; 也可以由給定的 復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所 表示的平面圖形. 張 長 華 Complex Analysis and I

26、ntegral Transform i 2 zz y , 2 zz x 0),(yxF 由代入知 曲線C的方程可改寫成復(fù)數(shù)形式0) 2 , 2 ( i zzzz F iyxz)()()(tiytxtz )(tzz 若令，而，則 曲線C的參數(shù)方程等價(jià)于復(fù)數(shù)形式 。 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 例1 將通過兩點(diǎn)z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù) 數(shù)形式的方程來表示. 解 通過點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表 示為 121 121 (), () (). xxt xx t yyt yy 因此, 它的復(fù)數(shù)形

27、式的參數(shù)方程為 z=z1+t(z2z1). (t+) 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以 寫成 z=z1+t(z2z1). (0t1) 取 , 得知線段 的中點(diǎn)為 1 2 t 1 2 z z 12 2 zz z 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 例2 求下列方程所表示的曲線: 1)| 2; 2)|2 | |2|; 3)Im()4. zi ziz iz 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transfor

28、m 解1) | 2zi 設(shè)z=x+iy, 方程變?yōu)?22 22 |(1) | 2 (1)2, (1)4 xyi xy xy 為一圓 i Ox y 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 幾何上, 該方程表示到點(diǎn)2i和2的距離相等的點(diǎn)的軌 跡, 所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和2的線段的 垂直平分線, 方程為yx, 也可用代數(shù)的方法求出 2)|2 | |2|ziz O x y 2 2i yx 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 設(shè)z=x+iy, 那末 3)Im()4.iz (1) Im(

29、)1 izxy i izy 可得所求曲線的方程為y3. O y x y3 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 1( )( )( ) ()( ), ( ) ( ) z tx tiy tatbx t y t tz t 、連續(xù)曲線設(shè)，其中 是實(shí)變量的連續(xù)函數(shù)，則表示復(fù)平面上的連續(xù)曲線C。 二、簡(jiǎn)單曲線與光滑曲線二、簡(jiǎn)單曲線與光滑曲線 22 2 , ( )( ) ( ) ( )0( )( )( ) ta bx ty t x ty tz tz az b C 、光滑曲線若對(duì)，有和連續(xù)且不同時(shí)為零， 即，則稱為光滑曲線。稱和為曲 線 的起點(diǎn)和終點(diǎn)。 1

30、212121 3,( )( )( ) 11 atb atbttz tz tz tC、若對(duì)，當(dāng)而有時(shí)，點(diǎn)稱為曲線 的重點(diǎn)。 沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱為簡(jiǎn)單曲線或約當(dāng)（Jardan）曲線。 （識(shí)別曲線的類型教材P ） 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n除在z(a)=z(b)外無其它重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱為簡(jiǎn)單閉曲線，例如， 是一條簡(jiǎn)單閉曲線（如圖）. )20(sincosttitz 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n在幾何直觀上，簡(jiǎn)單曲線是平面上沒有“打結(jié)” 情形的連續(xù)曲線，即簡(jiǎn)單曲線自身

31、是不會(huì)相交 的；簡(jiǎn)單閉曲線除了沒有“打結(jié)”情形之外， 還必須是封閉的，例如，圖中的 是簡(jiǎn)單曲線， 是簡(jiǎn)單閉區(qū)域，圖中的 ， 不是簡(jiǎn)單曲線，但 是閉曲線. 1 C 2 C 3 C 4 C 3 C 圖 圖 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 三、區(qū)域三、區(qū)域 1、去心鄰域)( 0 zN 3、區(qū)域及分類 2、內(nèi)點(diǎn)與開集 區(qū)域連通的開集。 有有洞洞或或有有瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)多多連連通通域域 無無瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)無無洞洞單單連連通通域域 、 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n鄰域鄰域 平面上以 為心， 為半

32、徑的圓： 內(nèi)部所有點(diǎn) 的集合稱為點(diǎn)的 鄰 域，記為 ，即 稱集合 為 的去心 鄰域， 記作 . 0 z0 0 zx ),( 0 zN ),( 00 zzzzN 0 0 zzz 0 z 0 ( , )N z 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n內(nèi)點(diǎn)：設(shè)G為復(fù)平面上的點(diǎn)集，若 且存在 的一個(gè)鄰域 ，則稱 為G的內(nèi)點(diǎn)。 n邊界點(diǎn)：若點(diǎn) 而P的任意一個(gè)鄰域內(nèi)既包含有 G的點(diǎn)又包含有不屬于G的點(diǎn)，則稱P為G的邊界點(diǎn)。 G的邊界點(diǎn)所組成的集合稱為G的邊界。 Gz 00 z GzN)( 00 z GP 張 長 華 Complex Analysis a

33、nd Integral Transform n開集開集 如果點(diǎn)集 的每一個(gè)點(diǎn)都是 的內(nèi)點(diǎn)， 則稱 為開集. n閉集閉集如果點(diǎn)集 的余集為開集，則稱 為閉 集. n連通集連通集 設(shè)是 開集，如果對(duì)于 內(nèi)任意兩點(diǎn)， 都可用折線連接起來，且該折線上的點(diǎn)都屬 于 ，則稱開集 是連通集. n區(qū)域（或開區(qū)域）區(qū)域（或開區(qū)域） 連通的開集稱為區(qū)域或開 區(qū)域. n閉區(qū)域閉區(qū)域 開區(qū)域 連同它的邊界一起，稱為閉 區(qū)域，記為 . D D D DD DD DD D D 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n3. 單連通域、多連通域 n設(shè) 是復(fù)平面上一區(qū)域，如果

34、在 內(nèi)任作一條簡(jiǎn) 單閉曲線 ，其內(nèi)部的所有點(diǎn)都在 中，則稱區(qū) 域 為單連通區(qū)域；否則稱 為多連通區(qū)域或復(fù) 連通區(qū)域. n任一去心鄰域、環(huán)形域都是多聯(lián)通的。 DD CD DD 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n在幾何直觀上，單連通區(qū)域是一個(gè)沒有“空洞 （點(diǎn)洞）和縫隙”的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有 “洞或縫隙”的區(qū)域，它可以是由曲線 所圍 成的區(qū)域中挖掉幾個(gè)洞，除去幾個(gè)點(diǎn)或一條線 段而形成的區(qū)域（如圖）. C 圖 屬于單連通區(qū)域?qū)儆趩芜B通區(qū)域D D內(nèi)的任一條簡(jiǎn)單閉曲線，在內(nèi)的任一條簡(jiǎn)單閉曲線，在D D內(nèi)可以經(jīng)過內(nèi)可以經(jīng)過 連續(xù)的變形而收縮成一

35、點(diǎn)。連續(xù)的變形而收縮成一點(diǎn)。 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 覆覆蓋蓋不不可可被被半半徑徑有有限限的的圓圓域域無無界界域域 蓋蓋可可被被半半徑徑有有限限的的圓圓域域覆覆有有界界域域 注：閉區(qū)域注：閉區(qū)域 的的邊邊界界區(qū)區(qū)域域DDD ，它不是區(qū)域。，它不是區(qū)域。 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C C把復(fù)平面分為三個(gè)不相把復(fù)平面分為三個(gè)不相 交的點(diǎn)集：有界區(qū)域稱為交的點(diǎn)集：有界區(qū)域稱為 C C的內(nèi)部；無界區(qū)域，的內(nèi)部；無界區(qū)域， 稱為稱為 C C的外部；的外部； C C，稱為內(nèi)部與外部的邊界。，稱為內(nèi)部與外部的邊界。 張 長 華

36、Complex Analysis and Integral Transform (1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r 課堂練習(xí)課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界? (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域:;arg 21 z (4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界. x y o 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 1.3 1.3 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 一、復(fù)變函數(shù)的概念一、復(fù)變函數(shù)的概念 1、定義、定義)(zfw 對(duì)于集合對(duì)

37、于集合G中給定的中給定的 iyxz，總有一個(gè)（或幾個(gè)）確定的復(fù)數(shù)，總有一個(gè)（或幾個(gè)）確定的復(fù)數(shù) ivuw與之對(duì)應(yīng)，并稱與之對(duì)應(yīng)，并稱G為定義集合，而為定義集合，而 GzzfwwG),(| * 稱為函數(shù)值集合稱為函數(shù)值集合(值域值域). 多多值值函函數(shù)數(shù) 單單值值函函數(shù)數(shù) 分類分類 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 2、復(fù)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù) )(zfw 與實(shí)函數(shù)的關(guān)系與實(shí)函數(shù)的關(guān)系 ),(),( )( ),(),( yxvvyxuu zfw vuyx wz f f 討論一個(gè)復(fù)變函數(shù) )z(fw 研究兩個(gè)實(shí)二元函數(shù) ),( ),( yxv y

38、xuu 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n例例1 將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù) 化 為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù). n解解 設(shè) ， ，代入 得 n比較實(shí)部與虛部得 ， 1 2 zw iyxzivuw 1 2 zw ivuw1)( 2 iyx 22 12xyixy 1 22 yxuxyv2 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n例例2 將定義在全平面除原點(diǎn)區(qū)域上的一對(duì)二元實(shí) 變函數(shù) ， （ ） n化為一個(gè)復(fù)變函數(shù). n解解 設(shè) ， ， 則 將 ， 以及 代入上式，經(jīng)整理后，得 22 2 yx

39、x u 22 yx y v 0 22 yx iyxzivuw 22 2 yx iyx ivuw )( 2 1 zzx )( 2 1 zz i y z zyx 22 )0( 2 1 2 3 z zz w 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 教材教材P14（例（例1.3.2)1.3.2)0( 1 z z w是否為單值函數(shù)是否為單值函數(shù) i yx y yx x yx iyx iyxz ivuw 222222 11 令令 ,iyxz,ivuw 則 2222 , yx y v yx x u 均為單值的實(shí)二元函數(shù) )0( 1 z z w是單值函數(shù)。

40、故 3 3、復(fù)變函數(shù)的單值性討論、復(fù)變函數(shù)的單值性討論 ( , ), ( , )u x y v x y對(duì)應(yīng)的兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)的單值性討論。 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform zw 2 教材P14 (例1.3.3）是單值函數(shù)嗎？ 2222 ()2,wuivuvuvizxiy方法一：由得 yuv xvu 2 22 ，均為多值的實(shí)二元函數(shù) 2 ,xyuy wz 對(duì) 給 定， 存 在 兩 組與 之 對(duì) 應(yīng) ， 故是 多 值 函 數(shù) 方法二、 見教材P15,P15,（復(fù)數(shù)的n次方根） 張 長 華 Complex Analysis and Integ

41、ral Transform 二、映射二、映射 復(fù)變函數(shù)的幾何圖形表示復(fù)變函數(shù)的幾何圖形表示 ( )yf xxy實(shí)自變量 與因變量 都在同一個(gè)平面內(nèi)。 其幾何描述，函數(shù)圖形為曲線。 ( )( , ) ( , ) wf zzx yz wu v 復(fù)自變量的幾何描述在 平面內(nèi)， 因變量的幾何描述需在另一個(gè)平面（w平面）內(nèi)。 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 函數(shù)函數(shù)在幾何上可以看著是把在幾何上可以看著是把 z 平面上的一個(gè)點(diǎn)平面上的一個(gè)點(diǎn) 集集 D （定義域）（定義域）變到變到 w 平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集 G （值（值 域）的一個(gè)映射

42、（或映照）。域）的一個(gè)映射（或映照）。 ;映象象原象GD 的象叫的象叫DGzw ( )wf z注：?jiǎn)沃岛瘮?shù)的反函數(shù)存在且為單值函數(shù)。 D 與 G 中的點(diǎn)為一一對(duì)應(yīng) 映射為雙射映射為雙射 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 典典 型型 例例 題題 2 zw例例1、求、求 z 平面上的下列圖形在映射平面上的下列圖形在映射下的象。下的象。 , 4 0 2 20r ,Cyx 1 22 3 ； 2 2Cxy ,x 4.y 4 , 20 ) 1 ( r 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 解解:

43、 : xyvyxuzw2, 222 )arg(2)arg(,| 2 zwzw 乘法的模與輻角定理乘法的模與輻角定理 How complex the expression are! 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform u v 4i 圖a 4 20 )( ，rrezew ii , 2 2, 40 映為 虛軸上從點(diǎn)虛軸上從點(diǎn)0到到4i的一段（見圖的一段（見圖a ）。）。 (1)記記 ，則，則 即即w平面內(nèi)平面內(nèi) 0,02 4 0,04 2 r （2）同理知，z平面上， 映為w平面上扇形域（見圖b）， 即 4 圖b v u 4i （3）見教材）見

44、教材P16 例例1.3.4（3） 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 映為 x vu, （4 4） 將直線將直線 建立建立所滿足的象曲線方程所滿足的象曲線方程 yv ,yu2 22 y，消，消 ， )(4 222 uv 是以原點(diǎn)為焦是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，開口向左的拋物線（見圖點(diǎn)，開口向左的拋物線（見圖c1)c1) v u 圖圖c 12 )(4 222 uv 其是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，其是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，開口向右的拋物線（見圖開口向右的拋物線（見圖c2c2）。）。 y 22 ,2uxvx 將將 線線映為映為 ，消，消 x 得得 張 長 華 Complex

45、Analysis and Integral Transform 22 9xy（ 1） 22 (1)1xy（2） z w 1 例例2 2、 求下列曲線在映射求下列曲線在映射下的象下的象 解法一解法一（1 1） 2222 , 1 yx y v yx x u z w 消 x, y 建立 u, v 所滿足的象曲線方程或由兩個(gè)實(shí)二元函數(shù) 反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲線方程即得象 曲線方程 9 11 22 22 yx vu 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 22 111 vu ivu ivu iyx w z

46、z w （2） 22 22 vu v y vu u x 1)1()( 2 22 2 22 vu v vu u 代入原象曲線方程，得 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 解法二解法二 )3|(9zzz或 w z, w z z w 111 22 9xy（1）將化為 9 11 ww 代入原象方程得代入原象方程得 9 1 ww 1 | 3 w （ 或） 9 1 22 vu化為實(shí)方程形式化為實(shí)方程形式 （2 2）留作練習(xí)。）留作練習(xí)。 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 2222 11 3(

47、)(1)(1) f zxiy xyxy z 例將函數(shù) 改寫成關(guān)于 的解析式. z zzf zz i yzzx 1 )( )( 2 1 , )( 2 1 )( 代入得 將共軛法解法一 22 ()( ) 111 ( )()() f zxiy f zxiyxiyzzz xyz zz 解法二拼湊法將的表達(dá)式湊成的因式. 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 2 () 0( ) ( ) 111 ( )(1)( ) yf xzxf z f xxxf zz xxz 解法三 設(shè)零法 令得的表達(dá)式.再以 代換 得 注：象曲方程與原象曲線方程的表示 多采用一致

48、形式，即要么均為實(shí)方程 形式,要么均為復(fù)數(shù)方程的形式. 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)的的極極限限一一、 1.4 1.4 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù) 性性 定義、1 0 0 0 lim( ) ()(), ( ) lim( ) zz zz f zA zzf z A f z 形式與一元實(shí)函數(shù)的極限一致,記 理解與二元 多元 實(shí)函數(shù)的極限一致 幾何描述 對(duì)任何的方式路徑,趨近于同一個(gè) 確定的復(fù)數(shù) 掌握判別不存在的方法 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform

49、n復(fù)變函數(shù)的極限 n定義定義 設(shè)函數(shù) 在 的某去心鄰域內(nèi)有定義， 若對(duì)任意給定的正數(shù) （無論它多么?。┛偞嬖?正數(shù) ，使得適合不等式 的所有 ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式 則稱復(fù)常數(shù) 為函數(shù) 當(dāng)時(shí) 的極限，記 作 或 )(zf 0 z )( )(0 0 zz z )(zf Azf)( A )(zf 0 zz Azf zz )(lim 0 )()( 0 zzAzf 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 有如下的定理存在有如下的定理存在 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n定理定理1.4

50、.1 設(shè) ， 則 的充分必要條件為: 且 ),(),()(yxivyxuzf 000 iyxz 00 )(lim 0 ivuAzf zz 0 0 0 lim ( , ) xx yy u x yu 0 0 0 lim ( , ) yy xx v x yv 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n復(fù)變函數(shù)的極限四則運(yùn)算法則： n設(shè) ， ，則 (1) (2) (3) Azf zz )(lim 0 Bzg zz )(lim 0 BAzgzfzgzf zzzz

51、zz )(lim)(lim)()(lim 000 ABzgzfzgzf zzzzzz )(lim)(lim)()(lim 000 )0( )(lim )(lim )( )( lim 0 0 0 B B A zg zf zg zf zz zz zz 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n例例1 試求下列函數(shù)的極限. （1） （2） 解解 （1）法法1 設(shè) ，則 ，且 得 z z iz1 lim 1 1 lim 1 z zzz z z iyxziyxz z z iyx iyx 22 2222 2xyxy i xyxy 1 lim zi z z

52、 i yx xy i yx yx yy xx 22 1 22 22 1 2 limlim 11 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 法法2 （2） 設(shè) ，則 ，得 1 lim zi z z i i i z z iz iz 1 1 lim lim 1 1 iyxziyxz 1 1 lim 1 z zzzz z 1 ) 1)(1( lim 1 z zz z 1 lim(1)2 z z 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n例例2 證明函數(shù) 在 時(shí)極限不存在. n證證 設(shè) ， n而 ， .

53、 n考慮二元實(shí)函數(shù) 當(dāng) 沿著 （ 為 任意實(shí)數(shù)）趨向于 ，即 n ( ) z f z z 0z iyxz ( ) z f z z 22 2222 2xyxy i xyxy 22 22 ( , ) xy u x y xy 22 2 ( , ) xy v x y xy ( , )u x y ( , )x yykxk 0 2 2 ( , )(0,0)0 () 1 lim( , )lim( , ) 1 x yx y kx k u x yu x y k 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform n 顯然，極限值隨 值的不同而不同，所以 根據(jù)二元實(shí)變函數(shù)極

54、限的定義知， 在 趨向于 時(shí)的極限不存在，即得結(jié)論. k ( , )u x y( , )x y 0 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 例例3 3 證證 : . 0 )Re( )( 不存在不存在 時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)證明函數(shù)證明函數(shù) z z z zf , iyxz 令令,)( 22 yx x zf 則則 , 0),(,),( 22 yxv yx x yxu , 趨于零時(shí)趨于零時(shí)沿直線沿直線當(dāng)當(dāng)kxyz 22 00 lim),(lim yx x yxu kxy x kxy x 22 0 )( lim kxx x x 張 長 華 Comple

55、x Analysis and Integral Transform )1( lim 22 0 kx x x , 1 1 2 k , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 0 0 不存在不存在所以所以yxu yy xx , 0),(lim 0 0 yxv yy xx 根據(jù)定理可知根據(jù)定理可知, . )(lim 0 不存在不存在zf z 張 長 華 Complex Analysis and Integral Transform 2、 存 在 判 別 法轉(zhuǎn) 化 為 實(shí) 函 數(shù) 極 限 存 在 性 判 別 000 00 18 00000 00 (1.4.1) ( )( , )( , ), lim( )lim( , ), lim ( , ) , zzxxxx yyyy Pf zu x yiv x y Aui f zAu x yu vzxiy v x yv 見教材定理設(shè) 則 3、四則運(yùn)算法則類似一元實(shí)函數(shù)的極限