第2節(jié) 復(fù)平面上的點(diǎn)集

1、Department of Mathematics 1 1 平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念 2 2 區(qū)域與約當(dāng)曲線區(qū)域與約當(dāng)曲線 第二節(jié)第二節(jié) 復(fù)平面上的點(diǎn)集復(fù)平面上的點(diǎn)集 1. 1. 基本概念基本概念: : 0 1.z點(diǎn) 的 鄰域 00 () | ,NzzzzzC 0 00 , () : .z z zz 平面上以為中心任意的正數(shù) 為半徑的 圓內(nèi)部的點(diǎn)的的 鄰集合稱域?yàn)橛洖?0 z點(diǎn) 的 去心鄰域 000 () |0,NzzzzzzC 聚點(diǎn)聚點(diǎn): 00 (),(),NzEzE 有無(wú)窮多點(diǎn)為 聚點(diǎn) 極限點(diǎn) EE的全體聚點(diǎn)所成之集用表示, 孤立點(diǎn)孤立點(diǎn): 00 ,zE zE 外點(diǎn)外點(diǎn)

2、: 000 ,()zE zENzE 或 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn): 0 (Nz )E 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn): 0 (),NzEE 既有 的點(diǎn) 也有不是 的點(diǎn) 集E的全部邊界點(diǎn)所組成的集合稱為E的邊界邊界， 記為 .E 開(kāi)集開(kāi)集: 所有點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的集合； 閉集閉集: 或者沒(méi)有聚點(diǎn)，或者所有聚點(diǎn)都屬于它； 0,MzE zM 有界集有界集: 0,( ) M MENo或使 例例 |1Ezz 1,EzE的每一點(diǎn)及圓周上點(diǎn)都是 的聚點(diǎn) 1,zE圓周為 的邊界 .E為開(kāi)集 ,EE 聚點(diǎn)聚點(diǎn)(極限點(diǎn)極限點(diǎn))的等價(jià)說(shuō)法的等價(jià)說(shuō)法 0 (1),zE 0 (2)(),NzE 有無(wú)窮多點(diǎn) 00 (3)(),NzzE 存在異于 屬于 的點(diǎn) 0

3、(4)(),NzE 含屬于 的兩個(gè)不同的點(diǎn) 0 (5) ,lim nn n zEzz 0 lim(,0,1,2,) nnnn n zzzxiy n 00 lim,lim nn nn xxyy 00 lim0, nn n zzNnNzz 當(dāng)時(shí) 有 以上基本概念的圖示以上基本概念的圖示: 1 z 2 z 區(qū)域區(qū)域 0 z 鄰域鄰域 P 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) 邊界邊界 (1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域: arg;z (4) 帶形域帶形域: .Imbza x y o 例例 2.2.區(qū)域與區(qū)域與JordanJord

4、an曲線曲線 如果平面點(diǎn)集如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件滿足以下兩個(gè)條件, ,則則 稱它為一個(gè)稱它為一個(gè)區(qū)域區(qū)域. . (1) D是一個(gè)是一個(gè)開(kāi)集開(kāi)集； (2) D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折的一條折 線連結(jié)起來(lái)線連結(jié)起來(lái). (1) 區(qū)域區(qū)域 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域,記為記為 定義定義1.5 定義定義1.6 DDD 區(qū)域是連通的開(kāi)集區(qū)域是連通的開(kāi)集. 問(wèn)題問(wèn)題:閉區(qū)域是閉區(qū)域是區(qū)域嗎區(qū)域嗎? (2)Jordan(2)Jordan曲線曲線 連續(xù)曲線連續(xù)曲線C: ( ) ( ) , ( ) , ( ), () , . x ty

5、t xx tyy tatb 如果和是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù) 那末方程組代 表一條連平面曲線為續(xù)曲線稱 平面曲線的復(fù)數(shù)表示平面曲線的復(fù)數(shù)表示: )().()()(btatiytxtzz Jordan曲線曲線( 簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線): . )( )( , )()( : 的起點(diǎn)和終點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別稱為分別稱為與與 為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設(shè)設(shè) Cbzaz btatzzC 121212 121 , , ( )( ) , ( ) . atb atbtttt z tz tz tC 對(duì)于滿足的 與當(dāng) 而有時(shí) 點(diǎn)稱曲線的重點(diǎn)為 沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線 C 稱為稱為JordanJordan曲線曲線

6、( (簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線).). . , )( )( , 為簡(jiǎn)單閉曲線為簡(jiǎn)單閉曲線那末稱那末稱 即即的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合如果簡(jiǎn)單曲線如果簡(jiǎn)單曲線 Cbzaz C 換句話說(shuō)換句話說(shuō), 簡(jiǎn)單曲線自身不相交簡(jiǎn)單曲線自身不相交. 例例02. it zet 曲線是簡(jiǎn)單閉曲線 解解 cossin , it zetit cos ,sin0,2 tt在上連續(xù) 1212 ,0,2 ,t ttt時(shí) 12 , itit ee若 12 2,(0, 1, 2,)ttkk 則 12 ,0,2 ,t t由 12 ,02 ,t t只能取 與 it ze故無(wú)重點(diǎn) 判斷下列曲線是否為簡(jiǎn)單曲線判斷下列曲線是否為簡(jiǎn)單曲線?

7、 答答 案案 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 單單 閉閉 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 單單 不不 閉閉 不不 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 單單 閉閉 不不 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 單單 不不 閉閉 )(az)(bz )(az )(bz )(az)(bz )(az )(bz Jordan定理定理 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 將復(fù)平面唯一地將復(fù)平面唯一地 分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集. x y o 內(nèi)部?jī)?nèi)部 外部外部 邊界邊界 (1) 彼此不交彼此不交 (2) E(C)是無(wú)界區(qū)域是無(wú)界區(qū)域 (3) I(C)是有界區(qū)域是有界區(qū)域 (4) 若簡(jiǎn)單折線若簡(jiǎn)單折線T的的 一個(gè)端點(diǎn)屬于一個(gè)端點(diǎn)屬于I(C) , 另一端點(diǎn)屬于另一端點(diǎn)屬于E(C), 則則T必與必與C相

8、交相交. (3) 曲線長(zhǎng)度曲線長(zhǎng)度: 定義定義1.8 設(shè)連接弧設(shè)連接弧AB的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 ( ),()zz tt n t任取實(shí)數(shù)列 0121 ,(1.17) nn ttttt 并且考慮弧并且考慮弧AB上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列 ( ),1,2, jj zz tjn , nn QQ將它們用一折線連接起來(lái)的長(zhǎng)度 1 1 ( )() n njj j Iz tz t (1.17), .sup. n n IAB LIAB 如果對(duì)于所有數(shù)列有上界 則弧稱為可 求長(zhǎng)的上確界稱為弧的長(zhǎng)度 光滑曲線光滑曲線: . 0, )( )( , , )( )( , 22 稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的 那末那末

9、有有的每一個(gè)值的每一個(gè)值且對(duì)于且對(duì)于 都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxt tytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線 稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. . x y o x y o 注注: :按段光滑曲線是可求長(zhǎng)的按段光滑曲線是可求長(zhǎng)的,但簡(jiǎn)單曲線不一定可求長(zhǎng)但簡(jiǎn)單曲線不一定可求長(zhǎng). 問(wèn)題問(wèn)題:曲線的方向如何定義曲線的方向如何定義? 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域D, 如果在其中任作如果在其中任作 一條簡(jiǎn)單閉曲線一條簡(jiǎn)單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于D, 就稱就稱 為單連通域?yàn)閱芜B通域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單連

10、通域一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱就稱 為多連通域?yàn)槎噙B通域. 單連通域單連通域 多連通域多連通域 5. 單連通區(qū)域單連通區(qū)域 滿足下列條件的點(diǎn)集是什么滿足下列條件的點(diǎn)集是什么, 如果是區(qū)域如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域? 例例2 2 0arg, 4 zi zi , 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyxz iz iz , )1( 2 )1( 1 2222 22 yx x i yx yx 4 arg0 知知由由 iz iz 0, )1( 1 22 22 yx yx 0, )1( 2 22 yx x 22 2222 12 0, (1)(1) xyx xyxy , 0)1( 22 yx因?yàn)橐驗(yàn)?, 12 , 01 , 02 22 22 yxx yx x 于是于是 . 2)1( , 1 , 0 22 22 yx yx x , 2)1( 22 集集部且屬于左半平面的點(diǎn)部且屬于左半平面的點(diǎn) 的外的外表示在圓表示在圓 yx 單連通域單連通域. (2) 012,zi , 2 , )