高中數(shù)學(xué)會(huì)考知識(shí)點(diǎn)(會(huì)考專用)[教學(xué)借鑒]

1、高中數(shù)學(xué)會(huì)考知識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平復(fù)習(xí)提綱第一章 集合與簡(jiǎn)易邏輯1、 集合 （1）、定義：某些指定的對(duì)象集在一起叫集合；集合中的每個(gè)對(duì)象叫集合的元素。集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性；表示一個(gè)集合要用 。（2）、集合的表示法：列舉法（）、描述法（）、圖示法（）；（3）、集合的分類：有限集、無(wú)限集和空集（記作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；（4）、元素a和集合A之間的關(guān)系：aA，或aA；（5）、常用數(shù)集：自然數(shù)集：N ；正整數(shù)集：N；整數(shù)集：Z ；整數(shù)：Z；有理數(shù)集：Q；實(shí)數(shù)集：R。2、子集 （1）、定義：A中的任何元素都屬于B，則A叫B的子集 ；記作：AB，注意：AB時(shí)，A有兩種

2、情況：A與A（2）、性質(zhì)：、；、若，則；、若則A=B ；3、真子集 （1）、定義：A是B的子集 ，且B中至少有一個(gè)元素不屬于A；記作：；A（2）、性質(zhì)：、；、若，則；4、 補(bǔ)集、定義：記作：；BA、性質(zhì)：； 5、 交集與并集（1）、交集：AB性質(zhì)：、 、若，則（2）、并集：性質(zhì)：、 、若，則6、一元二次不等式的解法：（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三者之間的關(guān)系）判別式：=b2-4acx1x2xyOx1=x2xyOxyO二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩相異實(shí)數(shù)根有兩相等實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式的解集“”取兩邊R一元二次不等式的解集“”取中間不等式解集的邊界值是相應(yīng)方程的解含參數(shù)的不等式

3、axb xc0恒成立問(wèn)題含參不等式axb xc0的解集是R；其解答分a0(驗(yàn)證bxc0是否恒成立)、a0（a0且10a10a”取兩邊,“”取兩邊,“，或|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡。平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于定值2a（02a|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡。平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線L的距離相等的點(diǎn)的軌跡。即：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線L的距離之比為常數(shù)e(e=1)的點(diǎn)的軌跡。第二定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線L的距離之比為常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程圖象F1F2F1F2F由雙曲線求漸進(jìn)線：由漸進(jìn)線求雙曲線：2、求離心率：方法一：用的定義；法二：得到與有關(guān)的方程，解方程，求；（離心率與的

4、關(guān)系可以互相表示：橢圓，雙曲線）3、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）、判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的方法（基本思路）消元一元二次方程判別式 （方程的思想）（2）、求弦長(zhǎng)的方法： 求交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)；弦長(zhǎng)公式（3）、與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題常用“點(diǎn)差法”：把弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差弦的斜率與中點(diǎn)的關(guān)系； （弦的中點(diǎn)與弦的斜率可以相互表示）（4）、與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線：一相切，二與漸近線平行與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線：一相切，二與對(duì)稱軸平行4、圓錐曲線的最值問(wèn)題：（1）、利用第二定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離求最值；（2）、結(jié)合曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距

5、離公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；在上的點(diǎn)常設(shè)，在上的點(diǎn)常設(shè)（3）、利用數(shù)形結(jié)合求最值；基本思路：與直線平行，與曲線相切.（橢圓中，長(zhǎng)軸是最長(zhǎng)的弦；雙曲線中，實(shí)軸是最短的弦。）第九章 直線 平面 簡(jiǎn)單的幾何體1、 平面的性質(zhì)：公理1：如果有一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。（兩平面相交，只有一條交線）且公理3：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。(強(qiáng)調(diào)“不共線”)（三個(gè)推論：1、直線和直線外一點(diǎn)，2、兩條相交直線，3、兩條平行直線，確定一個(gè)平面）空間圖形的平面表示方法：斜二測(cè)畫法（水平

6、長(zhǎng)不變，豎直長(zhǎng)減半）2、 兩條直線的位置關(guān)系：平行，相交，異面：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線（1）、異面直線判斷方法：定義，判定：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線（兩在兩不在）aAa=A（2）、兩條直線垂直：兩條異面直線所成的角是直角，這兩條直線互相垂直垂直相交（共面）、異面垂直，都叫兩條直線互相垂直（3）、空間平行直線：公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行。3、直線與平面的位置關(guān)系： 直線在平面內(nèi)aa/ 直線在平面外 直線與平面相交，記作a=A 直線與平面平行，記作a/4、直線與平面平行：定義：直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)。（1）、判定定理：如果

7、不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行 （線線平行線面平行） （2）、性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么lm這條直線和交線平行（線面平行線線平行）5、兩個(gè)平面平行：定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)。（1）、判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。（線面平行面面平行）推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行。（2）、性質(zhì)定理：兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行） 兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線，平行于

8、另一個(gè)平面；（面面平行線面平行）夾在兩個(gè)平行平面間的兩條平行線段相等。平行間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線平行 線面平行 面面平行6、直線和平面垂直：定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交，且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，叫直線和平面垂直。（常用于證明線線垂直：線面垂直線線垂直）（1）、判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線和這個(gè)平面垂直。（線線垂直線面垂直）（2）、性質(zhì)定理：過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線只有一條，過(guò)一點(diǎn)和已知直線垂直的平面只有一條。如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面。線段垂直平分面內(nèi)的任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等。（3）正射影：自一點(diǎn)P 向平面

9、引垂線，垂足P叫點(diǎn)P在內(nèi)的正射影（簡(jiǎn)稱射影）斜線在平面內(nèi)的射影：過(guò)斜線上斜足外一點(diǎn)，作平面的垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫斜線在平面內(nèi)的射影。（4）三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直。逆定理：在平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直，則它和這條斜線的射影垂直。CBEADPOAaa7、兩個(gè)平面垂直：定義：平面角是直角的二面角叫直二面角，相交成直二面角的兩個(gè)平面垂直。（1）、判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。（線面垂直面面垂直）（2）、性質(zhì)定理：兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線，垂直于另一個(gè)平面。（面面垂直線

10、面垂直）垂直間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線垂直 線面垂直 面面垂直8、空間向量：在空間具有大小和方向的量，空間任意兩個(gè)向量都可用同一平面內(nèi)的有向線段表示。（1）、共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量，（），/ （）ABPO空間直線的向量參數(shù)表達(dá)式（P在面MAB內(nèi)的充要條件）：或 （叫直線AB的方向向量）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則（2）、共面向量定理：兩個(gè)向量，不共線，則向量與 ，共面 （）平面的向量表達(dá)式（P在面MAB內(nèi)的充要條件）：或O為空間任一點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共面。（3）、空間向量基本定理：如果三個(gè)向量、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)的唯一有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使， ，叫基底，、

11、叫基向量。如果三個(gè)向量、不共面，那么空間向量組成的集合為。（4）、兩個(gè)向量的數(shù)量積：，向量的模| |：向量在單位向量方向的正射影是一個(gè)向量，即， （5）、 共線向量或平行向量：所在的直線平行或重合的向量； 直線的方向向量：和直線平行的向量；共面向量：平行于同一平面的向量； 平面的法向量：和平面垂直的向量。yxz法向量的求法：設(shè)是平行于平面的兩個(gè)不共線向量，是平面的法向量，則：。9、 空間直角坐標(biāo)系：?jiǎn)挝徽换壮Ｓ脕?lái)表示。（如圖）（1，0，0）（0，1，0）（0，0，1）其中：，1、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則（1）；（2）；（3）（）；（4）（即 ）；（5）（6）； | | |cos ， =c

12、os，由此可以得出：兩個(gè)向量的夾角公式cos，當(dāng)cosa、b1時(shí)，a與b同向；當(dāng)cosa、b1時(shí)，a與b反向；當(dāng)cosa、b0時(shí)，ab在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)間的距離公式：A、 B中點(diǎn)M坐標(biāo)公式：10、角（1）、等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相同。（2）、最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的公式：；OBAC（3）、角的范圍：、異面直線所成的角的范圍：兩條直線所成的角的范圍：兩個(gè)向量所成的角的范圍： 、斜線與平面所成的角的范圍：直線與平面所成的角的范圍：、二面角的范圍：（4）、

13、定義及求法：、異面直線所成的角：已知兩條異面直線、，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作，與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）范圍：求法一：作平行線；求法二：（向量）兩條直線的方向向量的夾角的余弦的絕對(duì)值為兩直線的夾角的余弦。、斜線和平面所成的角：一個(gè)平面的斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影的夾角；斜線和平面不垂直，不平行。如果直線和平面平行或在平面內(nèi)，則直線和平面所成的角是0。的角。naAPOqOOBBAA求法一：公式；求法二：解直角三角形，斜線、斜線的射影、垂線構(gòu)成直角三角形；求法三：向量法：已知PA為平面a的一條斜線，n為平面a的一個(gè)法向量，過(guò)P作平面a的垂線PO，連結(jié)OA則PAO為斜線PA和平面

14、a所成的角為q，則 、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角，直線叫二面角的棱；二面角的平面角：垂直于二面角的棱，且與兩個(gè)半平面的交線所成的角。求法一：幾何法：一作二證三計(jì)算.利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角，再解直角三角形；AAOB求法一：向量法：二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角（或其補(bǔ)角）n1和n2分別為平面a和b的法向量，記二面角的大小為q，n1n2l則或(依據(jù)兩平面法向量的方向而定)AAOB總有=，若該二面角為銳二面角 則若二面角為鈍二面角則naAPOq11、距離（滿足最小值原理）（1）、點(diǎn)到平面的距離：一點(diǎn)到它在平面內(nèi)的正射影的距離；求法一：解直角三角形；求

15、法二：等積法，利用體積相等；求法三：向量法：如圖點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，平面的法向量為n,過(guò)點(diǎn)P作平面a的垂線PO，記PA和平面a所成的角為q，則點(diǎn)P到平面的距離（2）、直線到平行平面的距離：直線上任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離；求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求。（3）、兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的共垂線段的長(zhǎng)度；求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求。（4）、異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分；（公垂線是唯一的，必須垂直相交）求法一：解直角三角形；求法二：異面直線上任意兩點(diǎn)的距離公式：求法三：向量法：先求兩條異面直線的一個(gè)公共法向量，再求兩條異面直線上兩點(diǎn)的連線

16、在公共法向量上的射影長(zhǎng)。設(shè)E、F分別是兩異面直線上的點(diǎn)， 是公共法向量，則異面直線之間的距離 12、棱柱（1）、定義：有兩個(gè)面互相平行，其余相鄰兩個(gè)面的交線互相平行的多面體叫棱柱。斜棱柱（側(cè)棱不垂直底面）直棱柱（側(cè)棱垂直底面）正棱柱（底面是正多邊形的直棱柱）（2）、性質(zhì)：、棱柱的側(cè)面是平行四邊形，所有側(cè)棱都相等；過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；abc直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形。、棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等的多邊形。（3）、平行六面體直平行六面體長(zhǎng)方體正方體，平行六面體四棱柱、平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分；、長(zhǎng)方

17、體的對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和；、正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，正方體的面對(duì)角線可構(gòu)成一個(gè)正四面體（如圖）。13、棱錐PABCABCOO（1）、定義：一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫棱錐；底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐。（2）、性質(zhì)：、棱錐被平行于底面的平面所截，則；中截面。、正棱錐各側(cè)棱相等，斜高相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；、正棱錐的高、斜高和斜高在底面的射影組成直角三角形， 高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面的射影組成直角三角形。14、正多面體：每個(gè)面都有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)都有相同的棱數(shù)。正多邊形頂點(diǎn)數(shù)V面 數(shù)F棱 數(shù)E以各面

18、的中心為頂點(diǎn)的正多面體正四面體446四正六面體8612八正八面體6812六正十二面體201230二十正二十面體122020十二歐拉公式：V+F-E=2OOPdrR15、球：（1）、定義：與頂點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫球體；與頂點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫球面；（2）、性質(zhì)：、截圓：一個(gè)平面截一個(gè)球面，截面是一個(gè)圓面；圓心是球心在圓面上的射影， ；過(guò)球心的截圓叫大圓，過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的大圓有一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)；不過(guò)球心的截圓叫小圓。平行于赤道的小圓叫緯線或緯圓。TNOABOCDS、緯度：緯線上一點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的線面角的度數(shù)；圖中：都是緯度；常用經(jīng)度： 以南北軸SN為棱的二面角的度數(shù)；圖

19、中：都是經(jīng)度；常用經(jīng)度差（3）、兩點(diǎn)的球面距離：經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長(zhǎng)度，是球面上兩點(diǎn)的最短連線的長(zhǎng)度。求法：球心角的弧度數(shù)乘以球半徑，即。（4）、球的體積公式：，球的表面積公式： ，柱體，錐體第十章 排列 組合 二項(xiàng)式定理1、計(jì)數(shù)原理：分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）.（每步都能完成）分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）. （多步才能完成）2、 排列：（1）定義：從n個(gè)不同元素中取出m（nm）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，與順序有關(guān)。（2）、排列數(shù)公式： =.(，N*，且)（3）、全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列； ；（4）、價(jià)乘：正整數(shù)1到n的連乘積； ；0！=13、組合：（1）定義：從n個(gè)不同元素中取出m（nm）個(gè)元素，并成一組，與順序無(wú)關(guān)；（組合完成了排列的第一步：）。（2）、組合數(shù)公式： =(，N*，且)；（3）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：= ；+=；例如.4、二項(xiàng)式定理 ：（1）、定理：