2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)選擇性第一冊教案：第2章2.1　2.1.1　傾斜角與斜率含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材人教a版選擇性必修第一冊教案：第2章 2.12.1.1傾斜角與斜率含解析2。1直線的傾斜角與斜率2.1.1傾斜角與斜率學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1。理解直線的斜率和傾斜角的概念（重點(diǎn))2理解直線的方向向量和向量坐標(biāo)表示（重點(diǎn)）3了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會(huì)應(yīng)用斜率公式求直線的斜率(難點(diǎn)）1. 通過傾斜角概念的學(xué)習(xí)，提升直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)2。 通過斜率和直線方向向量的學(xué)習(xí),培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).看下面幾個(gè)問題師大家知道兩點(diǎn)確定一條直線，那么經(jīng)過一點(diǎn)有多少條直線？生無數(shù)條師那么再給出什么條件就可確定一條呢？生傾斜程度（方向)師那

2、么我們今天就將開始學(xué)習(xí)反應(yīng)直線傾斜程度的兩個(gè)量-傾斜角和斜率1傾斜角的相關(guān)概念（1）傾斜角的定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角如圖所示，直線l的傾斜角是_apx，直線l的傾斜角是bpx.(2）傾斜角的范圍：直線的傾斜角的取值范圍是0180，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0。2斜率的概念及斜率公式（1）定義：傾斜角(90）的正切值(2）記法:ktan 。(3）斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角（范圍）00909090180斜率(范圍)0（0，）不存在（,0) （4）經(jīng)過兩點(diǎn)p1(x1，y1），p2(x2，y2）(x1x2）的直

3、線的斜率公式：k.思考：所有直線都有斜率嗎？若直線沒有斜率，那么這條直線的傾斜角為多少？提示不是若直線沒有斜率，則其傾斜角為90。3直線的方向向量坐標(biāo)若p1(x1，y1)，p2(x2，y2），則直線p1p2的方向向量的坐標(biāo)為（x2x1，y2y1)若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y),則k.1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“）(1)若直線的斜率存在,則必有傾斜角與之對(duì)應(yīng)(）(2）若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對(duì)應(yīng)(）(3）若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等()(4）直線的傾斜角的集合0180與直線集合建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(）提示(1）(2）（3)（4）2已知一條直

4、線過點(diǎn)（3,2)與點(diǎn)（1，2）,則這條直線的傾斜角是（)a0b45c60d90ak0， 0.3已知直線l的傾斜角為30，則直線l的斜率為()a b c1 da由題意可知，ktan 30。4已知經(jīng)過兩點(diǎn)（5，m）和（m,8）的直線的斜率等于1，則m的值是_由斜率公式可得1,解之得m.直線的傾斜角【例1】求圖中各直線的傾斜角（1)(2）（3)解（1）如圖,可知oab為直線l1的傾斜角易知abo30，oab60，即直線l1的傾斜角為60.(2）如圖，可知xab為直線l2的傾斜角，易知oba45，oab45，xab135，即直線l2的傾斜角為135。（3)如圖,可知oac為直線l3的傾斜角,易知abo

5、60，bao30,oac150,即直線l3的傾斜角為150。求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意（1）方法:結(jié)合圖形，利用特殊三角形（如直角三角形)求角（2）兩點(diǎn)注意：當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí),傾斜角為90。注意直線傾斜角的取值范圍是0180。跟進(jìn)訓(xùn)練1一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為（090），則其傾斜角為(）ab180c180或90 d90或90d如圖，當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí)，傾斜角為90；當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí),傾斜角為90.故選d。直線的斜率【例2】（1）過兩點(diǎn)a(4,y)，b（2,3）的直線的傾斜角是135，則y等于（

6、）a1 b5 c1 d5(2)(教材p55練習(xí)t5改編)經(jīng)過a(0，y），b(1,0)兩點(diǎn)的直線的方向向量為(1，2），則y_.(3)如圖，直線l1的傾斜角130，直線l1l2，求l1、l2的斜率思路探究(1）利用公式k（x1x2）tan ；(2）利用方向向量的共線求解；(3）利用公式ktan （90)（1）d（2)2(1)過兩點(diǎn)a(4，y),b(2，3）的直線的傾斜角是135，tan 1351,解得y5。（2）由條件可知，直線的方向向量為(10,0y)，即(1，y）又（1，2)是直線的另一方向向量，則,解得y2.（3)解直線l1的傾斜角為130，直線l2的傾斜角29030120，ktan 3

7、0，ktan 120。解決斜率問題的方法（1）由傾斜角(或范圍）求斜率（或范圍)利用定義式ktan （90）解決(2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k(x1x2）求解(3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常利用數(shù)形結(jié)合列公式求解跟進(jìn)訓(xùn)練2設(shè)點(diǎn)a(m,m3）,b(2，m1），c(1,4)，直線ac的斜率等于直線bc的斜率的3倍，則實(shí)數(shù)m的值為_4依題意知，直線ac的斜率存在，且m1.kac1，kbc，由題意得kac3kbc，13，解得m4.直線的傾斜角和斜率的綜合探究問題1斜率公式k中，分子與分母的順序是否可以互換？y1與y2，x1與x2的順序呢？提示斜率公式中分子與分母的順序不可以互換，但y1與y2

8、和x1與x2可以同時(shí)互換順序，即斜率公式也可寫為k。2斜率的正負(fù)與傾斜角范圍有什么聯(lián)系？提示當(dāng)ktan 0時(shí)， 傾斜角是鈍角;當(dāng)ktan 0時(shí), 傾斜角是銳角;當(dāng)ktan 0時(shí)， 傾斜角是0。3直線的斜率k隨傾斜角的增大而增大嗎？提示不是，在內(nèi)，k隨的增大而增大，在內(nèi)，k也是隨的增大而增大【例3】已知兩點(diǎn)a（3，4），b（3,2），過點(diǎn)p(1,0）的直線l與線段ab有公共點(diǎn)(1）求直線l的斜率k的取值范圍;（2)求直線l的傾斜角的取值范圍思路探究結(jié)合圖形考慮，l的傾斜角應(yīng)介于直線pb與直線pa的傾斜角之間，要特別注意，當(dāng)l的傾斜角小于90時(shí)，有kkpb；當(dāng)l的傾斜角大于90時(shí)，則有kkpa.解

9、如圖所示,由題意可知kpa1，kpb1。（1)要使直線l與線段ab有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是k1或k1。（2）由題意可知，直線l的傾斜角介于直線pb與pa的傾斜角之間,又pb的傾斜角是45，pa的傾斜角是135，所以的取值范圍是45135.1變條件本例中,三點(diǎn)坐標(biāo)不變，其它條件改為過b的直線l與線段ap有公共點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍解如例題中圖所示，根據(jù)斜率公式得kab,kbp1,直線l的斜率的取值范圍為.2變條件本例中,a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)不變，其它條件去掉，在直線y1上求一點(diǎn)p，使pa、pb的斜率互為相反數(shù)解點(diǎn)p在直線y1上，可設(shè)點(diǎn)p(x，1)又條件可知kpa，kpb一定存在由斜

10、率公式得kpakpb0，解得x.故所求p點(diǎn)坐標(biāo)為。直線的傾斜角和斜率的關(guān)系(1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率當(dāng)傾斜角是90時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)(2)直線的斜率也反映了直線相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度當(dāng)090時(shí),斜率越大,直線的傾斜程度越大;當(dāng)90180時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度也越大直線的斜率和傾斜角反映了直線的傾斜程度,二者緊密相連,如下表:直線情況平行于x軸垂直于x軸的大小00909090180k的范圍0k0不存在k0k的增減情況k隨的增大而增大k隨的增大而增大1已知直線經(jīng)過點(diǎn)a(0，4)和點(diǎn)b(1，2），則直線ab的斜率為（）a3b2c2 d不存在b由直線的斜率公式,得k2.2若直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是()a090 b90180c90180 d0180c直線經(jīng)過第二、四象限時(shí)，直線的傾斜角為鈍角,故90180，選c。3已知直線ab與直線ac有相同的斜率，且a(1,0），b（2，a)，c（a,1)，則實(shí)數(shù)a的值是_依題意:kabkac，即，解得a。4已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30,則直線l的傾斜角為_60或120有如圖兩種情況：第一種情況傾斜角903060，第二種情況傾斜角9030120.5已知交于點(diǎn)m(8，6)的四條直線l1,l2，l3，l4的傾斜角之比為12