2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)選擇性第一冊教案：第2章2.2　2.2.2　直線的兩點式方程含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材人教a版選擇性必修第一冊教案：第2章 2.22.2.2直線的兩點式方程含解析2.2.2直線的兩點式方程學(xué) 習(xí) 目 標核 心 素 養(yǎng)1.掌握直線方程兩點式的形式、特點及適用范圍(重點)2.了解直線方程截距式的形式、特點及適用范圍（重點)3。會用中點坐標公式求兩點的中點坐標.1。通過直線兩點式方程的推導(dǎo),提升邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2。通過直線的兩點式方程和截距式方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 某區(qū)商業(yè)中心o有通往東、西、南、北的四條大街，某公園位于東大街北側(cè)、北大街東p處，如圖所示公園到東大街、北大街的垂直距離分別為1 km和

2、4 km.現(xiàn)在要在公園前修建一條直線大道分別與東大街、北大街交匯于a、b兩處，并使區(qū)商業(yè)中心o到a、b兩處的距離之和最短在上述問題中,實際上解題關(guān)鍵是確定直線ab,那么直線ab的方程確定后，點a、b能否確定？1直線的兩點式和截距式方程名稱兩點式方程截距式方程已知條件p1（x1，y1)，p2(x2，y2）其中x1x2，y1y2在x軸、y軸上的截距分別為a、b,且a0,b0。示意圖直線方程1適用范圍斜率存在且不為零斜率存在且不為零，不過原點思考：方程和方程（yy1)(x2x1)(xx1)（y2y1）的適用范圍相同嗎？提示不同前者為分式形式方程,它不表示垂直于坐標軸的直線，后者為整式形式方程，它表示

3、過任何兩點的直線2線段的中點坐標公式若點p1，p2的坐標分別為（x1，y1)，（x2，y2)，設(shè)p（x,y）是線段p1p2的中點，則1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“)(1）直線的兩點式方程也可以用（x1x2,y1y2)表示(）(2)任何直線都可以用方程1表示()(3）能用兩點式寫出的直線方程,也可以用點斜式方程寫出()提示（1）(2）（3）2過點a(3,2)，b(4,3)的直線方程是(）axy10bxy10cxy10 dxy10d由直線的兩點式方程,得,化簡，得xy10.3若直線l經(jīng)過點a(2,5)，b(2,7)，則直線l的方程為_x2因為兩點的橫坐標相等，都是2，所以直線方程是x2.4直

4、線y3x2在x軸上的截距是_令y0得x，即在x軸上的截距為。直線的兩點式方程【例1】（1)若直線l經(jīng)過點a（2，1），b(2，7），則直線l的方程為_（2)若點p(3,m）在過點a（2,1)，b（3，4)的直線上，則m_。（1)x2(2)2（1）由于點a與點b的橫坐標相等，所以直線l沒有兩點式方程,所求的直線方程為x2.(2）由直線方程的兩點式得,即.直線ab的方程為y1x2，點p(3，m）在直線ab上，則m132，得m2.由兩點式求直線方程的步驟（1）設(shè)出直線所經(jīng)過點的坐標（2）根據(jù)題中的條件，找到有關(guān)方程，解出點的坐標（3）由直線的兩點式方程寫出直線的方程提醒：當已知兩點坐標，求過這兩點的

5、直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不垂直于坐標軸若滿足,則考慮用兩點式求方程跟進訓(xùn)練1求經(jīng)過兩點a(2,m）和b(n,3)的直線方程解當m3時,直線垂直于y軸，方程為y3，當n2時,直線垂直于x軸,方程為x2。當m3且n2時，由兩點式得直線方程為.直線的截距式方程【例2】求過點(4，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線l的方程思路探究解設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別為a,b.當a0，b0時，設(shè)l的方程為1.點（4，3）在直線上，1,若ab，則ab1,直線方程為xy10。當ab0時，直線過原點，且過點（4，3），直線的方程為3x4y0.綜上知，所求直線方程為xy10或3x

6、4y0.1變條件本例中把“截距相等改為“截距互為相反數(shù)”,求直線l的方程解當截距均為零時，設(shè)直線方程為ykx，把點（4,3)代入得34k，解得k，所求的直線方程為yx，即3x4y0.當截距均不為零且相反時,可設(shè)直線方程為1，把點(4，3）代入得1，解得a7，所求直線方程為1，即xy70，故所求l的方程為xy70或3x4y0。2變條件本例中把“相等”改為“絕對值相等呢？”解當直線在兩軸上的截距的絕對值相等時，包括：兩截距均為零，即3x4y0兩截距均不為零且相等即xy10。兩截距均不為零且相反即xy70。故所求的直線方程為xy70或xy10或3x4y0.利用截距式求直線方程的注意事項（1）用截距式

7、求直線方程時，縱截距和橫截距都必須存在且都不為0.若a0,b0，則直線方程為x0;若a0，b0，則直線方程為y0;若a0，b0，則直線方程為ykx(k0)(2)截距相等且不為零，可設(shè)xya；截距相反且不為零，可設(shè)xya；截距相等且均為零,可設(shè)ykx.直線方程的靈活應(yīng)用探究問題1. 若已知直線過定點，選擇什么形式較好？過兩點呢？提示點斜式. 若直線過兩定點可選擇兩點式或點斜式2若已知直線的斜率，選哪種形式的方程?提示可選擇斜截式3若已知直線與兩坐標軸相交，選哪種形式的方程較好？提示選擇截距式較好【例3】已知a(3,2)，b(5，4)，c（0，2），在abc中，（1）求bc邊的方程；（2)求bc邊

8、上的中線所在直線的方程思路探究(1）(2)求直線方程解(1)bc邊過兩點b(5，4），c（0，2），由兩點式，得，即2x5y100，故bc邊的方程是2x5y100(0x5）（2)設(shè)bc的中點為m(a,b)，則a，b3，所以m，又bc邊的中線過點a（3,2），所以，即10x11y80，所以bc邊上的中線所在直線的方程為10x11y80。1本例中條件不變，試求ab邊上的高線所在直線的方程解設(shè)ab邊上的高線所在直線斜率為k，kab,k，又高線過點c(0，2)，由點斜式方程得高線所在直線方程為y2（x0），即4x3y60。2本例中條件不變，試求與ab平行的中位線所在直線的方程解由探究1知kab，即中位

9、線所在直線斜率為，由例題知bc的中點為,所以由點斜式方程可得,中位線所在直線方程為y3，即6x8y90。直線方程的選擇技巧（1）已知一點的坐標,求過該點的直線方程，一般選取點斜式方程,再由其他條件確定直線的斜率(2）若已知直線的斜率,一般選用直線的斜截式，再由其他條件確定直線的一個點或者截距(3)若已知兩點坐標,一般選用直線的兩點式方程,若兩點是與坐標軸的交點,就用截距式方程（4)不論選用怎樣的直線方程，都要注意各自方程的限制條件，對特殊情況下的直線要單獨討論解決1當直線沒有斜率(x1x2）或斜率為0（y1y2)時，不能用兩點式求它的方程，此時直線的方程分別是xx1和yy1，而它們都適合(x2

10、x1）（yy1）(y2y1)(xx1),即兩點式的整式形式,因此過任意兩點的直線的方程都可以寫成（x2x1)（yy1）（y2y1)（xx1)的形式2直線的截距式是兩點式的一個特殊情形，用它來畫直線以及判斷直線經(jīng)過的象限或求直線與坐標軸圍成的三角形的面積比較方便注意直線過原點或與坐標軸平行時,沒有截距式方程,但直線過原點時兩截距存在且同時等于零1過p1（2，0)，p2(0，3)兩點的直線方程是（)a0 b0c1d1c由條件可知,直線在x軸、y軸上的截距分別為2，3，所以方程為1。2過兩點(1,1）和（3，9）的直線在x軸上的截距是_由兩點式得，即y12（x1)，令y0得x，所以直線在x軸上的截距為.3經(jīng)過點（1，5)，且與直線1垂直的直線方程是_x3y160直線1的斜率是3，所以所求直線的斜率是，所以所求直線方程是y5(x1），即x3y160.4求過點p