統(tǒng)計物理第六章

1、熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)的對比熱力學(xué)與統(tǒng)計物理學(xué)的對比 熱力學(xué)是熱運動的宏觀理論。 以實驗總結(jié)的定律出發(fā),經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理得到物體宏觀熱性質(zhì)間的聯(lián) 系,宏觀過程進(jìn)行的方向和限度,從而揭示熱現(xiàn)象的有關(guān)規(guī)律。 統(tǒng)計物理是熱運動的微觀理論。 認(rèn)為宏觀物質(zhì)系統(tǒng)由大量微觀粒子組成.宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子的集體 表現(xiàn), 宏觀熱力學(xué)量則是相應(yīng)微觀力學(xué)量的統(tǒng)計平均值。 微觀粒子觀察和實驗出 發(fā) 點 熱力學(xué)驗證統(tǒng)計物理學(xué)， 統(tǒng)計物理學(xué)揭示熱力學(xué)本質(zhì) 二者關(guān)系 近似模型，計算難不深刻缺 點 揭露本質(zhì)，探討具體普遍，可靠優(yōu) 點 統(tǒng)計平均方法 力學(xué)規(guī)律 總結(jié)歸納 邏輯推理 方 法 微觀量，宏觀量宏觀量物 理 量 熱現(xiàn)象熱

2、現(xiàn)象研究對象 微觀理論 （統(tǒng)計物理學(xué)） 宏觀理論 （熱力學(xué)） 第六章第六章 近獨立粒子的最概然分布近獨立粒子的最概然分布 基本內(nèi)容：基本內(nèi)容：粒子運動狀態(tài)的描述粒子運動狀態(tài)的描述 熱力學(xué)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)的描述熱力學(xué)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)的描述 等概率原理等概率原理 三種分布三種分布 6 6-1 -1 粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述 一一. .粒子的運動狀態(tài)粒子的運動狀態(tài) 粒子：指組成宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元。 例：氣體中的分子 金屬中的離子和電子 輻射場中的光子 粒子的運動狀態(tài)是指它的力學(xué)運動運動狀態(tài)。 如果粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運動規(guī)律，對粒子運動狀態(tài)的描述稱為經(jīng)典描述。 如果粒子遵從量子力學(xué)

3、的運動規(guī)律，對粒子運動狀態(tài)的描述稱為量子描述。 r r pppp qqqq , , 321 321 ： ： 廣義動量 廣義坐標(biāo) ）；（ rr pppqqq, 2121 ）；：（ rr pppqqq, 2121 空間 設(shè)粒子的自由度數(shù)r（能夠完全確定質(zhì)點空間位置的獨立坐標(biāo)數(shù)目），粒 子在任一時刻的力學(xué)運動狀態(tài)（或者微觀運動狀態(tài)）由2r個廣義坐標(biāo)和廣義 動量確定： 二二. .粒子的運動狀態(tài)的經(jīng)典描述粒子的運動狀態(tài)的經(jīng)典描述 粒子的能量是廣義坐標(biāo)和廣義動量的函數(shù)： 如果有外場，粒子的能量還是外場的函數(shù)。 由2r個廣義坐標(biāo)和廣義動量張成的2r維直角坐標(biāo)空間： 空間 空間中任何一點代表力學(xué)體系中一個粒子

4、的一個運動狀態(tài)，這個點 稱為粒子運動狀態(tài)的代表點。當(dāng)粒子運動狀態(tài)隨時間改變時，代表點相應(yīng) 地在空間中移動，描畫出一條軌跡。 1.1.三維自由粒子三維自由粒子 自由度：3；空間維數(shù)：6 zmpp ympp xmpp z y x 3 2 1 ：廣義動量 能量：)( 2 1 222 zyx ppp m 能量球面半徑： mr2 zq yq xq 3 2 1 ：廣義坐標(biāo) 三三. .例子例子 dt dA A 以一維自由粒子為例，以 為直角坐標(biāo)，構(gòu)成二維的 空間，設(shè)一維容器的長度為 ，粒子的一個運動狀態(tài) 可以 用 空間在一定范圍內(nèi)的一點代表: x px, L ),( x px O x p x L ),( x

5、 px 能量： 22 2 2 1 2 xm m p 2.線性諧振子 自由度： 1 空間維數(shù)：2 xmp：廣義動量 能量橢圓 1 2 2 2 22 m x m p x p ; xq ：廣義坐標(biāo) 質(zhì)量為m的粒子在彈性力 作用下,將在原點附近作圓頻率 的簡諧振動，稱為線性諧振子。 AxfmA 3. 轉(zhuǎn)子 質(zhì)點在直角坐標(biāo)下的能量： )( 2 1 222 zyxm 坐標(biāo)用球坐標(biāo)表示: cossinrx sinsinry cosrz o x y z A 考慮質(zhì)量為m的質(zhì)點被具有固定長度的輕桿輕桿系于原點O時所作的運動。 sinsincoscoscossinrrrx cossinsincoscossinrr

6、ry sincosrrz )sin( 2 1 222222 rrrm 0 r )sin( 2 1 22222 rrm 考慮質(zhì)點和原點的距離保持不變 ，于是： 自由度：2 空間維數(shù)：4 廣義坐標(biāo)： )20( ),0( 21 qq 廣義動量： sin 22 2 2 1 mrpp mrpp ; 2 ) sin 1 ( 2 1 2 2 2 2 I M pp I 能量： 如何出來的？ 能量的形式和轉(zhuǎn)子的對稱性有關(guān)。 轉(zhuǎn)子的拉格朗日量： )() sin( 2 1 )()( 2 1 22222 222 rVrrm rVzyxmVTL sin 22 2 mr L p mr L p 轉(zhuǎn)動慣量 2 mrI 廣義動

7、量的形式和轉(zhuǎn)子的拉格朗日量有關(guān)。 平面內(nèi)：在方向，因此 軸向在標(biāo)，可以使得角動量方行對比）。適當(dāng)選擇坐力學(xué)中的角動量守恒進(jìn) （注意和量子和方向都不隨時間改變是一個守恒量，其大小 角動量 沒有力矩，轉(zhuǎn)子的總對之間為中心力，因此由于輕桿沒有質(zhì)量，故 yxA z prM AOOA 0 2 p I p pp I2 ) sin 1 ( 2 1 2 2 2 2 z方向的角動量： p mr mr xyyxmypxpL xyz sincos )( 2 222 I M I Lz 22 2 2 r p M O A z 6 6-2 -2 粒子運動狀態(tài)的量子描述粒子運動狀態(tài)的量子描述 微觀粒子普遍具有波粒二象性（粒子

8、性與波動性） 德布羅意關(guān)系(1924年)： 不確定性關(guān)系（1925年） kp ; hpq 其中 sJ10626. 62 34 h 都稱為普朗克常數(shù)。 在量子力學(xué)中，微觀粒子的運動狀態(tài)是用波函數(shù)來描述的，微觀粒子的 運動狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)往往可以由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的 數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。 微觀粒子不可能同時有確定的動量和坐標(biāo),經(jīng)典描述失效 微觀粒子的運動不是軌道運動 微觀粒子的能量是不連續(xù)的,分立的能量稱為能級。 如果一個能級的量子態(tài)不止一個，該能級就稱為簡并的。 一個能級的量子態(tài)數(shù)稱為該能級的簡并度。 如果一個能級只有量子態(tài)，該能級稱為非簡并的。 普朗克常數(shù)的量綱： 時間能

9、量=長度動量=角動量 具有這樣量綱的一個物理量通常稱為作用量，因而普朗克常數(shù)也稱為基本 的作用量子。這個作用量子常作為判別采用經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù)。 一、自旋一、自旋 電子(質(zhì)子、中子等)具有內(nèi)稟角動量（自旋）和內(nèi)稟磁矩內(nèi)稟角動量（自旋）和內(nèi)稟磁矩,關(guān)系為： 自旋角動量在空間任意方向上的投影（比如說 z 軸）只能取兩個值: ; 2 1 Sz mS 在外磁場中的勢能為 B m e Bm m e BBU Szz 2 量子數(shù)（磁）稱為自旋 2 1 S m S m e 二、線性諧振子二、線性諧振子 , 2 , 1 , 0 ); 2 1 (nn n 圓頻率為 的線性諧振子的能量可能值為 所有能級等間

10、距，均為 ,每一個能級都是非簡并的，即簡并度為1。 三、轉(zhuǎn)子三、轉(zhuǎn)子 , 2 , 1 , 0 ) 1( 22 lllM I ll l 2 ) 1( 2 基態(tài)非簡并，激發(fā)態(tài)簡并，簡并度：12 l 轉(zhuǎn)子的能量: I M 2 2 量子理論要求: 固定l，角動量在空間任意方向上（比如說 z 軸）的投影: 稱為磁量子數(shù) , 1, ;lllmmM z 轉(zhuǎn)子的運動狀態(tài)由l和m兩個量子數(shù)表征。 ),( lm Y 轉(zhuǎn)子的運動狀態(tài)即量子態(tài)用球諧函數(shù) 描寫，它由l和m兩個量子 數(shù)表征，l稱為角動量量子數(shù)，一般為非負(fù)整數(shù)。 四、自由粒子四、自由粒子 一維自由粒子： , 2 , 1 , 0 , xx nnL 考慮處于長

11、度為 的一維容器中自由粒子。采用周期性邊界條件，其 德布羅意波長 滿足： L , 2, 1, 0, 2 , 2 xxxx nn L kk ：又 ,：得 代入德布羅意關(guān)系式 xx kp , 2, 1, 0 ; 2 2 2 2 222 xx x n nn L m p x :由此得到能量 基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為二度簡并。 xx n L p 2 三維自由粒子 zz yy xx n L p n L p n L p 2 2 2 , 2, 1, 0, zyx nnn 考慮處于長度為L的三維容器中自由粒子的運動狀態(tài)。 假設(shè)此粒子限制在一個邊長為L的方盒子中運動，仿照一維粒子的情 形，該粒子在三個方向動量的

12、可能值為： 量子數(shù)：3個 zyx nnn, 3 222 22 222 2 2 22L nnn mm ppp m p zyxzyx n 能量的可能值為 222 zyx nnn能量值決定于： 比如對于： 1 222 zyx nnn, 2 22 m 有六個量子態(tài)與之對應(yīng)， ) 1 , 0 , 0( ) 1, 0 , 0( )0 , 1 , 0( )0 , 1, 0( )0 , 0 , 1 ( )0 , 0 , 1( 基態(tài)能級為非簡并，激發(fā)態(tài)為6度簡并。 :的數(shù)目為的范圍內(nèi)，可能的到相差為1，因此在且相鄰兩個 是一一對應(yīng)的，與內(nèi)運動，顯然，容器考慮粒子在宏觀大小的 xxxxx xx pdpppn np

13、LV 3 xx dp L dn 2 :的數(shù)目為的范圍內(nèi)，可能的到在同理 yyyy pdppp， yy dp L dn 2 zz dp L dn 2 3 3 ) 2 ( h dpdpVdp dpdpdp L dndndn zyx zyxzyx :的數(shù)目為的范圍內(nèi)，可能的到在 zzzz pdppp :自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 的范圍內(nèi)，到到到內(nèi)，動量在表征，因此容器 ）（或者三個量子數(shù)由動量的三個分量由于自由粒子的量子態(tài) zzzyyyxxx zyxzyx dpp，pdpp，pdpppLV 、n、nn、p、pp 3 進(jìn)一步理解這個式子，我們在空間中引入相格的概念。 首先，注意到 是空間中的一個體積元；

14、zyxzyx dpdpVdpdpdpdpL 3 其次，普朗克常數(shù)h的量綱： h=時間能量=長度動量 h3=長度3動量3 h3是空間中的一個體積，稱之為一個相格。 進(jìn)一步說明： 微觀粒子的運動必須遵守不確定性關(guān)系，不可能同時具有確定的動量和 坐標(biāo)，所以量子態(tài)不能用空間的一點來描述，如果硬要沿用廣義坐標(biāo)和廣義 動量描述量子態(tài)，那么一個狀態(tài)必然對應(yīng)于空間中的一個體積元（相格）， 而不是一個點，這個體積元稱為量子相格。 hpq r rr hppqq 11 3 h dpdpVdp dndndn zyx zyx 右邊表示在空間中以h3為單位的相格的個數(shù)，左邊表示量子態(tài)的數(shù)目。 一個相格h3 內(nèi)只有一個量子

15、態(tài) 自由度為1的粒子，相格大小為普朗克常數(shù)： 如果自由度為r，相格大小為： 對動量采用球坐標(biāo)： cos sinsin cossin pp pp pp z y x o px py pz ddpdpdpdpdp zyx sin 2 dppDdpp h V )( 4 2 3 ：積分對 20:,0: 4sin 0 2 0 dd ddpd h Vp h dpdpVdp dndndn zyx zyx 3 2 3 sin :自由粒子的量子態(tài)數(shù)為 的范圍內(nèi)，到到方向在到在大小內(nèi)，動量體積 d，ddp，ppV :自由粒子的量子態(tài)數(shù)為到在大小內(nèi)，動量體積dp，ppV D(p)表示單位動量大小間隔范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)，

16、稱為動量空間的態(tài)密度。 對非相對論性的自由粒子，有： m p 2 2 dp m p d 2 2 dm h V dD 2123 3 )2( 2 )( 表示單位能量間隔內(nèi)粒子可能的量子態(tài)數(shù)，稱為能量態(tài)密度，簡稱為態(tài) 密度。 )(D :自由粒子的量子態(tài)數(shù)為到在大小量能內(nèi)，體積，dV 注意： 以上討論沒有考慮自旋，并且考慮到是非相對論性的粒子。 如果粒子的自旋不為零，比如電子自旋為1/2，光子自旋為1，由于自旋 角動量在動量方向上的投影有兩個可能值（前面已提到，自旋角動量在空間 中的任意一個方向的投影有兩個可能值），也就是說，有兩個不同的狀態(tài)， 因此上面的量子態(tài)數(shù)公式需乘以2： dm h V dD 2

17、123 3 )2( 2 2)( 6 6-3 -3 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述 一一. .相關(guān)概念相關(guān)概念 ; 1 N i i E 1 1. .系統(tǒng)系統(tǒng) 熱力學(xué)和統(tǒng)計物理學(xué)中研究的對象都是由大量微觀粒子構(gòu)成的系統(tǒng)。 2.2.近獨立粒子近獨立粒子 我們現(xiàn)在只討論：近獨立的全同粒子構(gòu)成的系統(tǒng) （適用于第六七八章內(nèi)容） 粒子之間的相互作用很弱，可以忽略 系統(tǒng)的能量為單個粒子的能量之和： N為系統(tǒng)的粒子的總數(shù) );,(外場參量 iiii pq 二二. . 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經(jīng)典描述 3.3.全同粒子全同粒子 粒子的質(zhì)量、電荷、自旋都相同。 4.4.系統(tǒng)的微觀狀

18、態(tài)系統(tǒng)的微觀狀態(tài) 指構(gòu)成系統(tǒng)的所有粒子的力學(xué)運動狀態(tài)。 假設(shè)系統(tǒng)有N個粒子，每一個粒子的自由度為r，第i個粒子的力學(xué)運動狀 態(tài)，由r個廣義坐標(biāo)和r個廣義動量來描述： 當(dāng)組成系統(tǒng)的N個粒子在某一時刻的運動狀態(tài)都確定時，也就確定了整 個系統(tǒng)的在該時刻的運動狀態(tài)。 因此，確定系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)需要2Nr個變量。 ;, 21r iii qqq r iii ppp, 21 一個粒子在某時刻的力學(xué)運動狀態(tài)可以在空間中用一個點表示； 由N個全同粒子組成的系統(tǒng)在某時刻的微觀運動狀態(tài)可以在空間中用N 個點表示； 如果交換兩個代表點在空間的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。 經(jīng)典力學(xué)中，全同粒子是可以分辨的（因

19、為經(jīng)典粒子的運動是軌道運動， 原則上是可以被跟蹤的）。如果在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將兩個粒子 的運動狀態(tài)加以交換，交換前后，系統(tǒng)的力學(xué)運動狀態(tài)是不同的。 形象描述： 1 2 1.1.微觀粒子的全同性原理微觀粒子的全同性原理 三三. . 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子力學(xué)描述系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子力學(xué)描述 微觀粒子的波粒二相性（微觀世界的基本特征） 不確定性關(guān)系 微觀粒子不是軌道運動 全同的微觀粒子不可分辨 2.2.量子力學(xué)如何描述系統(tǒng)的微觀粒子運動狀態(tài)？量子力學(xué)如何描述系統(tǒng)的微觀粒子運動狀態(tài)？ 全同的粒子可以分辨 全同的粒子不可分辨確定每一個量子態(tài)上的粒子數(shù) 確定每一粒子的量子態(tài) （1924年，印

20、度人玻色（Bose）首次提出） （定域系統(tǒng)） （非定域系統(tǒng)） 一個簡單規(guī)則（幾乎普遍適用）： 由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子； 由偶數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子； 由奇數(shù)個費米子構(gòu)成的復(fù)合粒子是費米子。 He H H 421 原子為玻色子原子，原子， b）玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子。 如：光子、介子等。 a）費米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子。 如：電子、質(zhì)子、中子等。 3.3.玻色子與費米子玻色子與費米子 He H H 332 原子為費米子原子，原子， 例子： 費米子遵從泡利不相容原理泡利不相容原理: 在含有多個全同近獨立費米子的系統(tǒng)，占據(jù)一個個體量子態(tài)的費米子不可 能超過一個。 玻色

21、子構(gòu)成的系統(tǒng)不受泡利不相容原理的約束。 4.4.玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng) 玻耳茲曼系統(tǒng): 由可分辨的全同近獨立粒子組成； 特點：處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。 玻色系統(tǒng): 由不可分辨的全同近獨立的玻色粒子組成； 特點：不受泡利不相容原理的約束，即處在同一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù) 不受限制。 費米系統(tǒng): 由不可分辨的全同近獨立的費米粒子組成； 特點：受泡利不相容原理的約束，即處在同一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù) 最多只能為1個粒子。 設(shè)系統(tǒng)由兩個粒子組成，粒子的個體量子態(tài)有3個，如果這兩個粒子分 屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)時，試分別討論系統(tǒng)各有那些

22、可能的 微觀狀態(tài)？ 量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài) 3 1 AB 2 AB 3 AB 4 AB 5 BA 6 AB 7 BA 8 AB 9 BA 對于玻爾茲曼系統(tǒng)（定域系統(tǒng)）可有9種不同的微觀狀態(tài)： 量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3 1 AA 2 AA 3 AA 4 AA 5 AA 6 AA 對于玻色系統(tǒng)，可以有6種不同的微觀狀態(tài)： 量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3 1 AA 2 AA 3 AA 對于費米系統(tǒng)，可以有3個不同的微觀狀態(tài)： 粒子類別量子態(tài)1量子態(tài)2量子態(tài)3 玻耳茲曼系統(tǒng) A B A B A B AB BA AB BA AB BA 玻色系統(tǒng) A A A A A A AA AA AA 費米系統(tǒng) AA AA

23、AA 分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的兩個粒子占據(jù)三個量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù)分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的兩個粒子占據(jù)三個量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù) 經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué) 在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)稱為經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)。 量子統(tǒng)計力學(xué) 在量子力學(xué)基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計物理學(xué)稱為量子統(tǒng)計力學(xué)。 兩者在統(tǒng)計上的原理上相同，區(qū)別在于對微觀粒子的描述。 力學(xué)（經(jīng)典力學(xué)或量子力學(xué)）+統(tǒng)計學(xué)原理=統(tǒng)計力學(xué)（統(tǒng)計物理學(xué)） 6-4 6-4 等概率原理等概率原理 系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)：指熱力學(xué)中討論的系統(tǒng)的狀態(tài)，即熱力學(xué)宏觀態(tài)，由 一組參量表示，如總粒子數(shù)N、總能量E、體積V。 為了研究系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，沒

24、必要也不可能追究微觀狀態(tài)的復(fù)雜變化， 只要知道各個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，就可以用統(tǒng)計方法求微觀量的統(tǒng)計平均 值。因此，確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計物理的根本問題。 例1：孤立系統(tǒng)的總粒子數(shù)N （不是開系）、總能量E （外界不做功 也不傳熱）、體積V （外界不做功）不變。 系統(tǒng)的微觀狀態(tài)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)：參考6-3所講述的內(nèi)容。 在經(jīng)典力學(xué)中，系統(tǒng)由2Nr個廣義坐標(biāo)和廣義動量描述。 在量子力學(xué)中，確定系統(tǒng)每一個粒子的量子態(tài)（定域系統(tǒng)） 或者，確定每一個量子態(tài)上有多少個粒子（非定域系統(tǒng)） 例2：和大熱源接觸達(dá)到平衡的系統(tǒng)的總粒子數(shù)N （是閉系） 、溫度T （和大熱源接觸） 、體積V （外界不做功）不

25、變。 為什么需要這個原理？為什么需要這個原理？ ： 。 對于處于平衡狀態(tài)下的孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)由N、E、 V 確定，但系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是大量的，并且發(fā)生著復(fù)雜的變化， 在相同的宏觀條件下，沒有理由認(rèn)為哪一個狀態(tài)出現(xiàn)的概率更大 一些，很自然認(rèn)為，這些微觀狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。 也就是說，對于孤立系統(tǒng)，在相同的宏觀條件下，系統(tǒng)的各 個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。 等概率原理： 等概率原理是統(tǒng)計物理學(xué)中的一個合理的基本假設(shè)，該原理 不能從更基本的原理推出，也不能直接從實驗上驗證，它的正 確性在于從它推出的各種結(jié)論與客觀實際相符而得到肯定。 正確性？正確性？ 6 6-5 -5 分布與微

26、觀狀態(tài)數(shù)分布與微觀狀態(tài)數(shù) 一一. . 分布分布 設(shè)有一個系統(tǒng)，由大量的近獨立粒子構(gòu)成，具有確定的N、E、V ，對于 確定的宏觀狀態(tài)下，如果系統(tǒng)的粒子按能級作如下排列： 能級： 簡并度： 粒子數(shù)： , , , , 21l , , , , 21l , , , , 21l aaa 滿足限制條件：數(shù)了每一個能級上的粒子稱為一個分布，它給出把數(shù)列, l a Ea Na l ll l l 給定了一個分布，只能確定處在每一個能級上的粒子數(shù)，它與系統(tǒng)的 微觀狀態(tài)是兩個性質(zhì)不同的概念。 微觀狀態(tài)是粒子運動狀態(tài)或稱為量子態(tài)。它反映的是粒子運動特征。 例如：在某一能級上，假設(shè)有3個粒子，這三個粒子是如何占據(jù)該能 級

27、的量子態(tài)，也就是它的微觀狀態(tài)是什么樣的，我們需要確定。 本節(jié)的主要任務(wù)是：在給定的一個分布下，計算系統(tǒng)的微在給定的一個分布下，計算系統(tǒng)的微 觀狀態(tài)數(shù)觀狀態(tài)數(shù)。 同一個分布對于玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)給出的微觀狀態(tài) 數(shù)顯然是不同的，下面分別加以討論。 涉及到的數(shù)學(xué)就是高中的排列組合問題排列組合問題。 玻耳茲曼系統(tǒng)的粒子可以分辨，若對粒子加以編號，則 個粒子占據(jù)能 級 的 個量子態(tài)時，是彼此獨立、互不關(guān)聯(lián)的。 l a l l 二二. . 玻耳茲曼系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)玻耳茲曼系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) l a l a l ll l a l l N! l a l l l l a N ! ! l l a l

28、l a l l l BM a N a N l l ! ! ! ! . 分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為： 玻色系統(tǒng)的粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)能容納的粒子個數(shù)不受限 制。 12345 l a l l )!1( ll a 三三. . 玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) 首先 個粒子占據(jù)能級 上的 個量子態(tài)可能方式為： 考慮到粒子的不可分辨性，交換 個粒子不產(chǎn)生新的狀態(tài)；同時，在 上圖中，交換 個量子態(tài)(注意固定一個量子態(tài))也不產(chǎn)生新的微觀狀 態(tài)，因此，在上式中，要除以粒子的交換數(shù)和量子態(tài)的交換數(shù)，故得： )!1( !/)!1( llll aa 將各種能級的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布相應(yīng)

29、的微觀狀態(tài)數(shù)為： l a ) 1( l l ll ll EB a a )!1( ! )!1( . 費米系統(tǒng)的粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)最多只能容納一個粒子。 個粒子占據(jù)能級 上的 個量子態(tài)，相當(dāng)于從 個量子態(tài)中挑出 個來為粒子所占據(jù)，有 種可能的方式。 l a l l l l a )!( !/ ! llll aa 四四. . 費米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)費米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) 將各能級的結(jié)果相乘，就得到費米系統(tǒng)與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為： l lll l DF aa)!( ! ! . : 1 個盒子 1 簡單理解：簡單理解： : 2 盒子個 2 : l 盒子個 l 個球放入 1 a 個球放入 2 a

30、個球放入 l a 1.1.玻耳茲曼系統(tǒng)的粒子可以分辨，每一個量子態(tài)上粒子玻耳茲曼系統(tǒng)的粒子可以分辨，每一個量子態(tài)上粒子 數(shù)不受到限制，因此問題就是：數(shù)不受到限制，因此問題就是： 2.2.玻色系統(tǒng)的粒子不可以分辨，每一個量子態(tài)上粒子數(shù)不玻色系統(tǒng)的粒子不可以分辨，每一個量子態(tài)上粒子數(shù)不 受到限制，因此問題就是：受到限制，因此問題就是： 3.3.費米系統(tǒng)的粒子不可以分辨，每一個量子態(tài)上粒子數(shù)不費米系統(tǒng)的粒子不可以分辨，每一個量子態(tài)上粒子數(shù)不 會超過會超過1 1，因此問題就是：，因此問題就是： N個個完全不相同完全不相同的球放在盒子中的方法有多少種？的球放在盒子中的方法有多少種？ N個個完全相同完全相

31、同的球放在盒子中的方法有多少種？的球放在盒子中的方法有多少種？ N個個完全相同完全相同的球放在盒子中的方法有多少種？的球放在盒子中的方法有多少種？ 對所有能級 ; 1 l l a 五五. .經(jīng)典極限條件經(jīng)典極限條件 則稱滿足經(jīng)典極限條件，也稱非簡并性條件。 如果在玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)中，任一能級上的粒子數(shù)均遠(yuǎn)小于該能級 的量子態(tài)數(shù)，即： l ll ll EB a a )!1( ! )!1( . l l lllll a aa ! )2)(1( l l a l a l ! ! . N BM l lll l DF aa)!( ! ! . l l llll a a ! ) 1() 1( l l a l

32、a l ! ! . N BM l a l l ! . . N BM DFEB !1 N 在玻色和費米系統(tǒng)中， 個粒子占據(jù)能級 上的 個量子態(tài)時本來是 有關(guān)聯(lián)的，但在滿足經(jīng)典極限條件的情形下，由于每個量子態(tài)上的平均粒 子數(shù)遠(yuǎn)小于1，粒子間的關(guān)聯(lián)可以忽略（這也是經(jīng)典極限條件稱為非簡并性 條件的原因）。這時，全同性的影響只表現(xiàn)在因子 上。 1 l l a 0 hpq r rr hppqq 011 0 h 對于經(jīng)典系統(tǒng)，由于對坐標(biāo)和動量的測量總存在一定的誤差，假設(shè)： 六六. .經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)經(jīng)典統(tǒng)計中的分布和微觀狀態(tài)數(shù) 這時經(jīng)典系統(tǒng)的一個運動狀態(tài)不能用一個點表示，而必須用一個體積元表 示

33、，該體積元的大小為： 它表示經(jīng)典系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)在 空間所占的體積，稱為經(jīng)典相格，這 里 由測量精度決定，它最小值為普朗克常數(shù)，在經(jīng)典物理學(xué)中，它沒有 下限。 現(xiàn)將 空間劃分為許多體積元 ，以 表示運動狀態(tài)處在 內(nèi)的 粒子所具有的能量， 內(nèi)粒子的運動狀態(tài)數(shù)為 ，這樣， 個粒子 處在各 的分布可表示為 。 l a l l l N l l r l h0 能級： 簡并度： 粒子數(shù)： , 21l , 21l aaa , 00 2 0 1 r l rr hhh 體 積 元: , 21l 由于經(jīng)典粒子可以分辨，處在一個相格內(nèi)的粒子個數(shù)不受限制，所以經(jīng) 典系統(tǒng)遵從玻耳茲曼系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律，所以與分布 相應(yīng)的

34、經(jīng)典系統(tǒng)的 微觀狀態(tài)數(shù)為： l a l a l r l l l cl ha N 0 . ! ! 玻耳茲曼系統(tǒng) 玻色系統(tǒng) 費米系統(tǒng) 經(jīng)典系統(tǒng) l a l l l l BM a N ! ! . )!1( ! )!1( . ll ll l EB a a )!( ! ! . lll l l DF aa l a l l l l cl ha N ) ( ! ! 0 微觀狀態(tài)數(shù) 對于不同的分布，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的。 可能存在這樣一個分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。 6 6-6 -6 玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布 等概率原理：對處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個可能的微觀狀態(tài)數(shù)的幾 率是相等的。 一一. 最概然分

35、布最概然分布 微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最概然分布。 下面推導(dǎo)玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。 玻耳茲曼系統(tǒng)真正的應(yīng)用是：定域系統(tǒng) （固體的統(tǒng)計物理問題：順磁性固體；固體的熱容量問題） 的整數(shù)是遠(yuǎn)大于1 );1(ln!lnmmmm 斯特令公式： 三三. 玻玻耳耳茲曼分布茲曼分布 二二. 條件極值和拉格朗日乘法條件極值和拉格朗日乘法 參見：陳傳璋等，數(shù)學(xué)分析下冊P196。 l a l l l BM l a N ! ! . l ll l l aaNln!ln!lnln l ll l ll aaaNNln) 1(ln) 1(lnln l ll l ll aaaNNlnlnl

36、n 這些不完全是獨立的，必須滿足兩個約束條件： ; 0 l l aN0 l ll aE 引入兩個拉格朗日不定乘子 和 ，定義拉格朗日函數(shù)： 0 l ll a F a L l a l ll l ll aaaNNFln) 1(ln) 1(lnln l ll l l aEaNFL ; l l aN l ll aE 即： 有極值等價于F有極值，有極值的必要條件為： 0)ln( l l l a l ea ll l l llll l a aa a F lnlnlnln1ln 以上是微觀狀態(tài)數(shù)有極值的的必要條件，下面驗證，這個極值也是極大的： l l l l a a )ln(ln 0 )( )ln(ln 2 2 l l l l l l a a a a l l ll a a F a ln ln 是極大值 ; l l l eN l ll l eE 玻耳茲曼分布也可表示為處在能量為 的量子態(tài)上的平均粒子數(shù)： s s ef s ; s s eN s s s eE 上式給出了玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻耳茲曼分布玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為玻耳茲曼分布。 和 分 別由下面條件決定： l ea ll 和 分別由下面條件決定： 假設(shè)分布對玻耳茲曼