九年級數(shù)學(xué)上冊 垂徑定理課件 人教新課標版

1、圓圓 的的 對對 稱稱 性性 圓的對稱性圓的對稱性 圓是軸對稱圖形嗎？圓是軸對稱圖形嗎？ 如果是如果是, ,它的對稱軸是什么它的對稱軸是什么? ?你能找到多少條對稱你能找到多少條對稱 軸？軸？ O 你是用什么方法解決上述問題的你是用什么方法解決上述問題的? ? n圓是中心對稱圖形嗎？圓是中心對稱圖形嗎？ 如果是如果是, ,它的對稱中心是什么它的對稱中心是什么? ? 你能找到多少條對稱軸？你能找到多少條對稱軸？ 你又是用什么方法解決這個你又是用什么方法解決這個 問題的問題的? ? 圓的對稱性圓的對稱性 圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形. . 圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過

2、圓心的直線, ,它有無它有無 數(shù)條對稱軸數(shù)條對稱軸. . O 可利用折疊的方法即可解決上述問題可利用折疊的方法即可解決上述問題. . n圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形. . 它的對稱中心就是圓心它的對稱中心就是圓心. . 用旋轉(zhuǎn)的方法即可解決這個用旋轉(zhuǎn)的方法即可解決這個 問題問題. . AM=BM, 垂徑定理垂徑定理 AB是是 O的一條弦的一條弦. 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說與同伴說 說你的想法和理由說你的想法和理由. n作直徑作直徑CD,使使CDAB,垂足為垂足為M. O n右圖是軸對稱圖形嗎右圖是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱軸是

3、什么? n小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有: AB C D M n由由 CD是直徑是直徑 CDAB 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. 做一做 垂徑定理垂徑定理 如圖如圖,小明的理由是小明的理由是: 連接連接OA,OB,OA,OB, O AB C D M 則則OA=OB. 在在RtOAM和和RtOBM中中, OA=OB，OM=OM， RtOAM RtOBM. AM=BM. 點點A和點和點B關(guān)于關(guān)于CD對稱對稱. O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對稱對稱, 當圓沿著直徑當圓沿著直徑CD對折時對折時,點點A與點與點B 重合重合, AC和和BC重合重合, AD和和BD重合重合. AC =BC, AD =BD

4、. 垂徑定理垂徑定理三種語言三種語言 定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧. 老師提示老師提示: 垂徑定理是垂徑定理是 圓中一個重圓中一個重 要的結(jié)論要的結(jié)論,三三 種語言要相種語言要相 互轉(zhuǎn)化互轉(zhuǎn)化,形成形成 整體整體,才能運才能運 用自如用自如. O AB C D M CDAB, 如圖如圖 CD是直徑是直徑, AM=BM, AC =BC, AD=BD. CDAB, 垂徑定理的逆定理垂徑定理的逆定理 AB是是 O的一條弦的一條弦,且且AM=BM. 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說與同伴說 說你的想法和理由說

5、你的想法和理由. n過點過點M作直徑作直徑CD. O n左圖是軸對稱圖形嗎左圖是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱軸是什么? n小明發(fā)現(xiàn)圖中有小明發(fā)現(xiàn)圖中有: C D n由由 CD是直徑是直徑 AM=BM 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. M AB 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對的兩條弧分弦所對的兩條弧. 駛向勝利 的彼岸 挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我填一填填一填 1、判斷：、判斷： 垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩并且平分弦所對的兩 條弧條弧. （ ） (2)經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦

6、經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（ ） . (3)弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. （ ） 駛向勝利 的彼岸 挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我畫一畫畫一畫 2.已知：如圖已知：如圖, O 中中,弦弦ABCD,ABCD, 直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點于點F. 圖中相等的線段有圖中相等的線段有 : . 圖中相等的劣弧有圖中相等的劣弧有: . F E O M N A B C D 例例!.已知：如圖，在以已知：如圖，在以O(shè)為圓心的為圓心的 兩個同心圓中，大圓的弦兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓交小圓 于于C，D兩點。你認為兩點。你認為AC和和BD有什有什

7、 么關(guān)系？為什么？么關(guān)系？為什么？ 證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD . A CD B O E 注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作 弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也 是一種常用輔助線的添法是一種常用輔助線的添法 4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長. A BC D 0 E F GH 如圖如圖,矩形矩形ABCD,交圓交圓O于于 E,F,G,H,BE=2,EF=12,AH=5,求求GH的長的長 . 練習(xí)練

8、習(xí)1 練習(xí)練習(xí)2:在圓在圓O中，直徑中，直徑CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圓求圓O的半徑。的半徑。 10 D C E O A B 反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半徑的半徑r、 圓心到弦的距離圓心到弦的距離d、弦長、弦長a中，中， 任意知道兩個量，可根據(jù)任意知道兩個量，可根據(jù)定理求出第三個量：定理求出第三個量： C D BA O 例例2：如圖，圓：如圖，圓O的弦的弦AB8 ， DC2，直徑，直徑CEAB于于D， 求半徑求半徑OC的長。的長。 D C E O A B 垂徑垂徑 直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點于點F. 練習(xí)練習(xí)3:如圖，如圖，CD為圓為

9、圓O的直徑，弦的直徑，弦 AB交交CD于于E， CEB=30， DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的長。的長。 E D O C A B 圖中相等的線段有圖中相等的線段有 : 挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我畫一畫畫一畫 如圖如圖,M,M為為OO內(nèi)的一點內(nèi)的一點, ,利用尺規(guī)作一條弦利用尺規(guī)作一條弦AB,AB, 使使ABAB過點過點M.M.并且并且AM=BM.AM=BM. O M 小小 結(jié)結(jié) 直徑平分弦直徑平分弦 直徑垂直于弦直徑垂直于弦= 直徑平分弦所對的弧直徑平分弦所對的弧 直徑垂直于弦直徑垂直于弦 直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦（不是直徑） 直徑平分弦所對的弧直徑平分弦所對的弧 = 、圓的軸對稱性、圓的

10、軸對稱性 、垂徑定理及其逆定理的圖式 2. 2. 圓對稱性圓對稱性(2)(2) 垂徑定理垂徑定理三種語言三種語言 定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧. 老師提示老師提示: 垂徑定理是垂徑定理是 圓中一個重圓中一個重 要的結(jié)論要的結(jié)論,三三 種語言要相種語言要相 互轉(zhuǎn)化互轉(zhuǎn)化,形成形成 整體整體,才能運才能運 用自如用自如. O AB C D M CDAB, 如圖如圖 CD是直徑是直徑, AM=BM, AC =BC, AD=BD. 垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用 例例1 1 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(

11、 (即圖中弧即圖中弧CD,CD, 點點O O是弧是弧CDCD的圓心的圓心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E為弧為弧CDCD上的一點上的一點, ,且且 OECDOECD垂足為垂足為F,EF=90m.F,EF=90m.求這段彎路的半徑求這段彎路的半徑. . n解解: :連接連接OC.OC. O C D E F .)90(,mROFRm則設(shè)彎路的半徑為 ,CDOE ).(300600 2 1 2 1 mCDCF 得根據(jù)勾股定理, 即, 222 OFCFOC .90300 2 22 RR .545,R得解這個方程 .545m這段彎路的半徑約為 老師提示老師提示: 注意閃爍注意閃爍 的

12、三角形的三角形 的特點的特點. 趙州石拱橋趙州石拱橋 1.1300多年前多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖如圖)的橋的橋 拱是圓弧形拱是圓弧形,它的跨度它的跨度(弧所對是弦的長弧所對是弦的長)為為 37.4 m,拱高拱高 (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離,也叫弓形高也叫弓形高)為為7.2m,求橋拱的半求橋拱的半 徑徑(精確到精確到0.1m). n你是第一你是第一 個告訴同個告訴同 學(xué)們解題學(xué)們解題 方法和結(jié)方法和結(jié) 果的嗎？果的嗎？ 趙州石拱橋趙州石拱橋 解：如圖，用解：如圖，用 表示橋拱，表示橋拱， 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為，半徑為Rm， 經(jīng)過

13、圓心經(jīng)過圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OD，D為垂足，與為垂足，與 相交于點相交于點C.根根 據(jù)垂徑定理，據(jù)垂徑定理，D是是AB的中點，的中點，C是是 的中點，的中點，CD就是拱高就是拱高. 由題設(shè)由題設(shè) ABAB AB AB , 2 . 7, 4 .37CDAB ABAD 2 1 , 7 .184 .37 2 1 DCOCOD. 2 . 7 R 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 , 222 ODADOA .)2 . 7( 7 . 18 222 RR即 解得解得 R27.9（m）. 答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m. O A B C R D

14、37.4 7.2 船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎 2 . 如圖如圖,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為橋下水面寬為7.2米米,拱頂拱頂 高出水面高出水面2.4米米.現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并米、船艙頂部為長方形并 高出水面高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這此貨船能順利通過這 座拱橋嗎？座拱橋嗎？ 相信自己能獨立相信自己能獨立 完成解答完成解答. 船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎 解解:如圖如圖,用用 表示橋拱表示橋拱, 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O,半徑為半徑為Rm, 經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OD,D為垂足為垂足,與與 相

15、交于點相交于點C.根根 據(jù)垂徑定理據(jù)垂徑定理,D是是AB的中點的中點,C是是 的中點的中點,CD就是拱高就是拱高. 由題設(shè)得由題設(shè)得 ABAB AB AB . 5 . 1 2 1 , 4 . 2, 2 . 7MNHNCDAB ABAD 2 1 , 6 . 32 . 7 2 1 DCOCOD. 4 . 2 R 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 , 222 ODADOA .)4 . 2(6 . 3 222 RR即 解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 , 22 HNONOH. 6 . 35 . 19 . 3 22 OH即 . 21 . 2

16、5 . 16 . 3DH 此貨船能順利通過這座拱橋此貨船能順利通過這座拱橋. 垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用 在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后， 截面如圖所示截面如圖所示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最，求油的最 大深度大深度. BA O E D 600 垂徑定理的逆應(yīng)用垂徑定理的逆應(yīng)用 在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后， 截面如圖所示截面如圖所示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最，求油的最 大深度大深度. BA O 600 650 D C 挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 1、要把實際

17、問題轉(zhuǎn)變成一個數(shù)學(xué)問題來解決、要把實際問題轉(zhuǎn)變成一個數(shù)學(xué)問題來解決. 2、熟練地運用垂徑定理及其推論、勾股定理，、熟練地運用垂徑定理及其推論、勾股定理， 并用方程的思想來解決問題并用方程的思想來解決問題. n3、對于一個圓中的弦長、對于一個圓中的弦長a、圓心到弦的距離、圓心到弦的距離d、圓半徑、圓半徑r、弓形、弓形 高高h，這四個量中，只要已知其中任意兩個量，就可以求出另外，這四個量中，只要已知其中任意兩個量，就可以求出另外 兩個量，如圖有：兩個量，如圖有： d + h = r 222 ) 2 ( a dr h d a 2 O 2. 2. 圓對稱性圓對稱性(3)(3) 圓的對稱性及圓的對稱性及

18、特性特性 圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形, ,圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的 直線直線, ,它有無數(shù)條對稱軸它有無數(shù)條對稱軸. . n圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形, ,它的對稱中心就是圓心它的對稱中心就是圓心. . n用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到: : n一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一 個角度個角度, ,都能與原來的圖形重合都能與原來的圖形重合. . n這是圓特有的一個性質(zhì)這是圓特有的一個性質(zhì): :圓的圓的 旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)不變性 O A B 圓心角圓心角 圓心角圓心角 頂點在圓心的角頂點在圓心的角(如如AOB). 弦心距

19、弦心距 過圓心作弦的垂線過圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間的距離圓心與垂足之間的距離(如線段如線段OD). 如圖如圖,在在 O中中,分別作相等的圓心角和分別作相等的圓心角和AOB和和AOB, 將其將其 中的一個旋轉(zhuǎn)一個角度中的一個旋轉(zhuǎn)一個角度,使得使得OA和和OA重合重合. n 你能發(fā)現(xiàn)那些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)那些等量關(guān)系?說一說你的理由說一說你的理由. OO A B D O A B D A B A B A B A B A B A B D D D D D D A B D 圓心角圓心角 圓心角圓心角, 弧弧,弦弦,弦心距之間的關(guān)系定理弦心距之間的關(guān)系定理 如圖如圖,如果在兩個等圓如果在兩個等圓 O和和

20、 O中中,分別作相等的圓心角和分別作相等的圓心角和 AOB和和AOB,固定圓心固定圓心,將其中的一個旋轉(zhuǎn)一個角度將其中的一個旋轉(zhuǎn)一個角度,使使 得得OA和和OA重合重合. O A B O A B n 你又能發(fā)現(xiàn)那些等量關(guān)系你又能發(fā)現(xiàn)那些等量關(guān)系?說一說你的理由說一說你的理由. O A B O A B A B A B A B A B A B A B D D D D 圓心角圓心角, 弧弧,弦弦,弦心距之間的關(guān)系定理弦心距之間的關(guān)系定理 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,相等的圓心角所對的弧相等所相等的圓心角所對的弧相等所 對的弦相等對的弦相等, ,所對的弦的弦心距相等所對的弦的弦心距相等. . O A B D AB D O A B D O AB D 由條件由條件: AOB=AOB AB=AB AB=AB OD=OD 可推出 拓展與深化拓展與深化 在在同圓同圓或或等圓等圓中中, ,如果輪換下面五組條件如果輪換下面五組條件: : 兩個圓心角兩個圓心角, ,兩條弧兩條弧, ,兩條弦兩條弦, ,兩條弦心距兩條弦