理論力學(xué)1_緒論 拉格朗日力學(xué)

1、理論力學(xué)理論力學(xué) 宋若龍宋若龍 崔志文崔志文 王鯤王鯤 吉林大學(xué)物理學(xué)院吉林大學(xué)物理學(xué)院 物理樓物理樓246 考核方式考核方式 作業(yè)：作業(yè)： 20分分 階段考試：階段考試：20+20分分 期末考試：期末考試：40分分 參考書參考書 1. 王克協(xié)，經(jīng)典力學(xué)教程，吉林大學(xué)出版社王克協(xié)，經(jīng)典力學(xué)教程，吉林大學(xué)出版社 2. 秦敢，力學(xué)與理論力學(xué)（下冊），科學(xué)出版社秦敢，力學(xué)與理論力學(xué)（下冊），科學(xué)出版社 3. 朗道，力學(xué)，高等教育出版社朗道，力學(xué)，高等教育出版社 4. Goldstein, H., Classical Mechanics 5. 李德明，經(jīng)典力學(xué)，高等教育出版社李德明，經(jīng)典力學(xué)，高等教育

2、出版社 6. Jose，J. V., Classical Dynamics: A contemporary approach, 緒緒 論論 研究對象：低速研究對象：低速 宏觀物體宏觀物體 的機(jī)械運(yùn)動的機(jī)械運(yùn)動 三個里程碑：三個里程碑： 1687, Newton, 自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 1788, Lagrange, 分析力學(xué)分析力學(xué) 1834, Hamilton, 論動力學(xué)中的一種普遍方論動力學(xué)中的一種普遍方 法法（哈密頓原理）（哈密頓原理） 內(nèi)內(nèi) 容容 第一章第一章 向量與非慣性系向量與非慣性系 第二章第二章 拉格朗日力學(xué)拉格朗日力學(xué) 第三章第三章 哈密頓力學(xué)哈密頓力學(xué) 第四

3、章第四章 微振動微振動 第五章第五章 中心力中心力 第六章第六章 剛體剛體 第七章第七章 非線性動力學(xué)與混沌非線性動力學(xué)與混沌 分析力學(xué)分析力學(xué) 經(jīng)典力學(xué)問題經(jīng)典力學(xué)問題 第二章第二章 拉格朗日力學(xué)拉格朗日力學(xué) Chapter 2. Lagrangian mechanics 牛頓力學(xué)的局限性牛頓力學(xué)的局限性 0),( ),(),( , 00 trf amamtrftrrFrm rr ct 主動力主動力 約束力約束力 非慣性力非慣性力 約束方程約束方程 初始條件初始條件 1717, 約翰約翰 伯努利，虛功原理伯努利，虛功原理 Johann Bernoulli, Principle of virt

4、ual work 1744, 莫培督，最小作用量原理莫培督，最小作用量原理 Maupertuis, Principle of least action 1752,達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾, 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 DAlembert, DAlembert Principle 1760, 拉格朗日，拉格朗日方程拉格朗日，拉格朗日方程 Lagrange, Lagranges equation 1788, 拉格朗日，拉格朗日，分析力學(xué)分析力學(xué) Lagrange, Analytical mechanics 1834, 哈密頓，哈密頓原理哈密頓，哈密頓原理 Hamilton, Hamiltons Princi

5、ple 1835, 哈密頓，正則方程哈密頓，正則方程 Hamilton, Canonical equation 分析力學(xué)的發(fā)展分析力學(xué)的發(fā)展 1. 避開系統(tǒng)各部分之間的約束力和繁瑣的避開系統(tǒng)各部分之間的約束力和繁瑣的 向量運(yùn)算，用一標(biāo)量拉格朗日函數(shù)（向量運(yùn)算，用一標(biāo)量拉格朗日函數(shù)（L=T-V） 描述系統(tǒng)的動力學(xué)特征。描述系統(tǒng)的動力學(xué)特征。 2. 將力學(xué)建立在新的原理之上：哈密頓原將力學(xué)建立在新的原理之上：哈密頓原 理。理。 3. 用能量來描述力學(xué)系統(tǒng)，適用于從量子用能量來描述力學(xué)系統(tǒng)，適用于從量子 力學(xué)到宇宙學(xué)等物理學(xué)的各個領(lǐng)域。力學(xué)到宇宙學(xué)等物理學(xué)的各個領(lǐng)域。 分析力學(xué)的特點(diǎn)分析力學(xué)的特點(diǎn)

6、2.1 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) (generalized coordinates) 1. 約束約束(Constraints) 限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系自由運(yùn)動的條件，稱為約束。限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系自由運(yùn)動的條件，稱為約束。 mitrrrf ni , 2 , 1 , 0),( 21 完整約束完整約束(holonomic: essentially integrable) （幾何約束，可積約束）（幾何約束，可積約束） mitrrrrrrf nni , 2 , 1 , 0),( 2121 非完整約束非完整約束(nonholonomic) (微分約束，速度約束微分約束，速度約束) mirrrf ni , 2 , 1 ,

7、0),( 21 穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束(stable) 2. 自由度自由度(Freedom) 對受完整約束的系統(tǒng)，唯一地確定其位形（位置和形狀）所必對受完整約束的系統(tǒng)，唯一地確定其位形（位置和形狀）所必 須給出的獨(dú)立參量的數(shù)目，稱為自由度。須給出的獨(dú)立參量的數(shù)目，稱為自由度。 3. 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)(Generalized coordinates) 任何一組能明確表明體系位形的參數(shù)，都可以作為一組坐標(biāo)，任何一組能明確表明體系位形的參數(shù)，都可以作為一組坐標(biāo)， 稱為廣義坐標(biāo)。稱為廣義坐標(biāo)。 獨(dú)立變更，唯一確定體系位形獨(dú)立變更，唯一確定體系位形 2D平面運(yùn)動平面運(yùn)動2D純滾動純滾動 r ),(),( ,

8、3yxrf ),(),( , 2xf ),( ),( , 2 21 xxf 2D平面運(yùn)動平面運(yùn)動 2 x 1 x Alf, 1 2D平面運(yùn)動平面運(yùn)動 l 2D平面運(yùn)動平面運(yùn)動 h 第二章第二章 拉格朗日力學(xué)拉格朗日力學(xué) 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 1. 約束約束（限制質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動的條件） 2. 自由度自由度f（對受完整約束的系統(tǒng)，唯一地 確定體系的位置和形狀必須給出的獨(dú)立量 的數(shù)目） 3. 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)q（任何一組能明確表明體系位 形的參數(shù)） 4. 位形空間位形空間（由f個廣義坐標(biāo)張成的f維空間） 5. 虛位移虛位移 （符合約束條件的無限小、瞬時 的位置變更，不經(jīng)歷時間） 1.1 約束和廣義坐標(biāo)約束和廣義坐

9、標(biāo) r 1.2 虛功原理虛功原理 1. 理想約束：理想約束： 2. 虛功原理：平衡的充要條件虛功原理：平衡的充要條件 3. 廣義力：廣義力： 4. 平衡的穩(wěn)定性平衡的穩(wěn)定性 0 ii rR 0 ii rF q r FQ i i q V Q 所有主動力都是保守力 0)( 0 x V 0)( 0)( 0 0 xV xV穩(wěn)定 不穩(wěn)定 1.達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理 2. 拉格朗日方程拉格朗日方程 3. 保守系拉格朗日方程保守系拉格朗日方程 4. 拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) 5. 廣義動量廣義動量 1.3 達(dá)朗貝爾原理與拉格朗日方程達(dá)朗貝爾原理與拉格朗日方程 0 iii rmRF Q q T q T dt

10、 d 0 q L q L dt d VTtqqL),( q L q T p 1.4 哈密頓原理與拉格朗日方程哈密頓原理與拉格朗日方程 1. 變分法變分法 泛函泛函 取極值的條件取極值的條件 2 1 )(),(,( x x dxxyxyxfJ 0 y f y f dt d 2. 哈密頓原理哈密頓原理 對相同的起止位置和約束，完整保守系對相同的起止位置和約束，完整保守系 在所有可能的運(yùn)動中，真實(shí)運(yùn)動使拉格朗在所有可能的運(yùn)動中，真實(shí)運(yùn)動使拉格朗 日函數(shù)對時間的積分取極值。日函數(shù)對時間的積分取極值。 2 1 ),( t t dttqqLsS 1.5 拉格朗日方程第一積分拉格朗日方程第一積分 1.循環(huán)坐標(biāo)循環(huán)坐標(biāo) 2. 哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù) Constant, 00 pp q L dt d q L VTH VTTH LqptpqH tpqq 02 , ),( t L dt dH Constant0 H t L （對穩(wěn)定約束）（對穩(wěn)定約束） 1.6 受廣義有勢力系統(tǒng)拉式