直線和圓的方程知識(shí)及典型例題[教育試題]

1、直線和圓的方程知識(shí)關(guān)系直線的方程一、直線的傾斜角和斜率1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時(shí),其傾斜角為,故直線傾斜角的范圍是.2.直線的斜率:傾斜角不是的直線其傾斜角的正切叫這條直線的斜率,即.注：每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.當(dāng)時(shí)，直線垂直于軸，它的斜率k不存在.過(guò)兩點(diǎn)、的直線斜率公式二、直線方程的五種形式及適用條件 名稱方程說(shuō)明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90的直線不能用此式點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上已知點(diǎn)，k 斜率傾斜角為90的直線不能用此式兩點(diǎn)式=(x1，y1)，(

2、x2，y2)是直線上兩個(gè)已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式截距式+=1a直線的橫截距b直線的縱截距過(guò)（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式Ax+By+C=0(A、B不全為零)A、B不能同時(shí)為零數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題直線和圓的方程直線的方程注:確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件,通常用待定系數(shù)法;確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍.直線是平面幾何的基本圖形，它與方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B20）是一一對(duì)應(yīng)的.直線的方程例1. 過(guò)點(diǎn)和的直線的斜率等于1, 則的值為( )(A) (B) (C)1或3 (D)1或4例2. 若, 則直線2co

3、s3y1=0的傾斜角的取值范圍（ ）(A) (B) (C) (0,) (D) 例4. 連接和兩點(diǎn)的直線斜率為_(kāi),與y軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi).例5. 以點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線的方程是 .兩直線的位置關(guān)系一、兩直線的位置關(guān)系1. 兩直線平行:斜率存在且不重合的兩條直線l1y=k1x+b1， l2y=k2x+b2，則l1l2k1=k2;兩條不重合直線的傾斜角為,則.2.兩直線垂直:斜率存在的兩條直線l1y=k1x+b1,l2y=k2x+b2,則l1l2k1k2= -1;兩直線l1A1x+B1y+C1=0，l2A2x+B2y+C2=0，則l1l2A1A2+B1B2 = 03. “到角”與“夾角”:直線到

4、的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角，它的范圍是.注:當(dāng)兩直線的斜率k1,k2都存在且k1k2-1時(shí),;當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可結(jié)合圖形判斷.例6. 將直線繞著它與軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角后，在軸上的截距是( )(A) (B) (C) (D) 例7. 將一張畫(huà)了直角坐標(biāo)系且兩軸的長(zhǎng)度單位相同的紙折疊一次，使點(diǎn)(2，0)與點(diǎn)(2，4)重合，若點(diǎn)（7，3）與點(diǎn)（m ,n）重合，則m+n的值為()(A)4 (B)4(C)10 (D)10例8. 與直線平行且過(guò)點(diǎn)的直線的方程是_。例9. 已知二直線和，若，在y軸上的截距為-1，則m=_，n=_.兩直線的位置關(guān)系兩

5、條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個(gè)角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是,當(dāng)兩直線的斜率k1，k2都存在且k1k2-1時(shí)，則有.4.距離公式。已知一點(diǎn)P(x0，y0)及一條直線l：Ax+By+C=0，則點(diǎn)P到直線l的距離d=；兩平行直線l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0之間的距離d=。5.當(dāng)直線位置不確定時(shí)，直線對(duì)應(yīng)的方程中含有參數(shù).含參數(shù)方程中有兩種特殊情形，它們的對(duì)應(yīng)的直線是有規(guī)律的，即旋轉(zhuǎn)直線系和平行直線系.在點(diǎn)斜式方程y-y0=k(x-x0)中，當(dāng)（x0，y0）確定，k變化時(shí)，該方程表示過(guò)定點(diǎn)（x0，y0）的旋轉(zhuǎn)直線系，當(dāng)k

6、確定，(x0，y0)變化時(shí)，該方程表示平行直線系.已知直線l：Ax+By+C=0，則方程Ax+By+m=0（m為參數(shù)）表示與l平行的直線系；方程-Bx+Ay+n=0（n為參數(shù)）表示與l垂直的直線系。已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，直線l2：A2x+B2y+C2=0，則方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示過(guò)l1與l2交點(diǎn)的直線系（不含l2）掌握含參數(shù)方程的幾何意義是某種直線系，有時(shí)可以優(yōu)化解題思路.例10. 經(jīng)過(guò)兩直線11x3y90與12xy190的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3,-2)的直線方程為_(kāi).例11. 已知ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：BC

7、邊上的高所在直線方程；AB邊中垂線方程；A平分線所在直線方程.例12. 已知定點(diǎn)P（6，4）與定直線l1：y=4x，過(guò)P點(diǎn)的直線l與l1交于第一象限Q點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)M，求使OQM面積最小的直線l方程.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃線性規(guī)劃當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)在直線Ax+By+C=0上時(shí)，其坐標(biāo)滿足方程Ax0+By0+C=0；當(dāng)P不在直線Ax+By+C=0上時(shí)，Ax0+By0+C0，即Ax0+By0+C0或Ax0+By0+C0（或0）,圓心坐標(biāo)為（-，-），半徑為r=.圓的參數(shù)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2（r0）的參數(shù)方程為:（為參數(shù),表示旋轉(zhuǎn)角），參數(shù)式常用來(lái)表示圓周上的點(diǎn)。注: 確定圓的方

8、程需要有三個(gè)互相獨(dú)立的條件, 通常也用待定系數(shù)法;圓的方程有三種形式，注意各種形式中各量的幾何意義,使用時(shí)常數(shù)形結(jié)合充分運(yùn)用圓的平面幾何知識(shí).圓的直徑式方程： ,其中是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn).（用向量可推導(dǎo)）.二、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交，判定方法有兩種：代數(shù)法：直線：Ax+By+C=0，圓：x2+y2+Dx+Ey+F=0，聯(lián)立得方程組一元二次方程（2）幾何法：直線:Ax+By+C=0，圓：(x-a)2+(y-b)2=r2，圓心（a，b）到直線的距離為d=，則三、圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|為圓心距，則兩圓

9、位置關(guān)系如下：|O1O2|r1+r2兩圓外離；|O1O2|=r1+r2兩圓外切；| r1-r2|O1O2| r1+r2兩圓相交；| O1O2 |=| r1-r2|兩圓內(nèi)切；0| O1O2|0，m0 x0-10 令x0-1=t，則t0,40當(dāng)且僅當(dāng)t=1，x0=11時(shí)，等號(hào)成立,此時(shí)Q（11，44），直線l：x+y-10=0評(píng)注：例13.B 例14.例15.例16. 種蔬菜20畝,棉花30畝,水稻不種,總產(chǎn)值最高27萬(wàn)元.例17.解：設(shè)初中x個(gè)班，高中y 個(gè)班，則設(shè)年利潤(rùn)為s，則作出（1）、（2）表示的平面區(qū)域，如圖，過(guò)點(diǎn)A時(shí)，S有最大值，由解得A（18，12）.易知當(dāng)直線1.2x+2y=s即學(xué)

10、?？梢?guī)劃初中18個(gè)班，高中12個(gè)班,（萬(wàn)元）. 可獲最大年利潤(rùn)為45.6萬(wàn)元. 評(píng) 線性規(guī)劃是直線方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，是新增添的教學(xué)內(nèi)容，是新大綱重視知識(shí)應(yīng)用的體現(xiàn)，根據(jù)考綱要求，了解線性不等式表示的平面區(qū)域，了解線性規(guī)劃的意義并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用，解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵是讀懂內(nèi)容，根據(jù)要求，求出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)，直線性約束條件下作出可行域，然后求線性目標(biāo)函數(shù)在可行域中的最優(yōu)解，歸納如下步驟：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式，作出可行域，寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解但在解答時(shí)，格式要規(guī)范，作圖要精確，特別是最優(yōu)解的求法，作時(shí)還是比較困難的是函數(shù)方程思想的應(yīng)用.例18.A 例19.D 例20. x2+例21. (x例22. 解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，.由已知，得.因?yàn)閮蓤A半徑均為1，所以.設(shè)，則，即.(或)例23.D 例24.C 例25.C 例26.B例27. x2+(y-1)2=1 例28. x+y=0或x+7y-6=0例29. 解：x2+y26x8y=0即(x3)2+(y4)2