數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、hlder不等式的幾種不同形式及其證明和應(yīng)用several hlder inequalities and theirproofs and applications專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作 者:曾運梅指導(dǎo)老師: 張映輝湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院二一一年五月 岳陽摘 要在初步掌握了hlder不等式的基礎(chǔ)上，我們進一步對hlder不等式的幾種不同的形式給出了證明. 通過證明, 進一步掌握好hlder不等式, 并為其在各個領(lǐng)域的應(yīng)用打下好的基礎(chǔ). 關(guān)鍵詞: hlder不等式; young 不等式; hlder不等式的幾種形式; 證明方法; 推廣及應(yīng)用abstractafter mastering seve

2、ral inequalities, we further give their proofs. by this, we further master the hlder inequality and its applications.keywords: hlder inequality; young inequality; several hlder inequalities; the method of proof; extension and application 目 錄摘 要iabstractii0 引言11預(yù)備知識12 hlder不等式的幾種不同形式及其證法52.1 hlder不等式

3、的離散形式及其證法52.2 hlder不等式的積分形式及其證法72.3 hlder不等式的概率形式及其證法93 hlder不等式的推廣及應(yīng)用103.1 hlder不等式的推廣 103.2 hlder不等式的應(yīng)用 11參考文獻140 引言hlder不等式在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和分析、泛函分析、偏微分方程等學(xué)科的研究中發(fā)揮了重要作用, 使用的技巧靈活多樣, 得到的結(jié)果極為深刻. 然而在數(shù)學(xué)知識體系中hlder不等式的證明出現(xiàn)較晚, 限制了它的早期傳播和使用.于是, 首先我們給出了幾條常用的定理以及某些定理的證明, 根據(jù)這些重要定理與初等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系以得到hlder不等式的幾種不同形式的證明; 其次, h

4、lder不等式又經(jīng)常以另外兩種形式出現(xiàn). 一種是離散量的形式, 另一種是連續(xù)量的形式. 本文中通過借助三個引理, 在給定條件下, 先后證明了離散形式的hlder不等式及積分形式的hlder不等式; 再次, 由于隨機不等式是不等式領(lǐng)域的重要組成部分, 這種類型的不等式在許多方面都有著重要的應(yīng)用, 特別是在概率論與數(shù)理統(tǒng)計領(lǐng)域中的作用突出. 因此, 我也給出了hlder不等式的概率形式的證明.hlder不等式的不同形式的證明及其推廣, 可使此不等式就能在初等數(shù)學(xué)階段中給予介紹, 有利于傳播和使用, 并能揭示相關(guān)結(jié)果的本質(zhì), 再充分發(fā)掘利用此結(jié)果, 能使許多問題得到新的簡單而又直接的解決, 體現(xiàn)數(shù)學(xué)

5、的威力, 訓(xùn)練使用這些知識的技巧和能力, 能為以后的發(fā)展奠定基礎(chǔ).總之, 著名的hlder不等式在分析學(xué)中起著非常重要的作用, 它的證法與推廣能解決很多實際問題. 在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上對hlder不等式進行證明, 推廣及應(yīng)用做了一些初探, 探求多種簡潔的證明方法、推廣形式, 通過對其不同形式的證明, 探索出了一些不等式證明的途徑和相關(guān)技巧, 并通過對其在不同程度的推廣, 加強了對hlder不等式的應(yīng)用.1 預(yù)備知識為了方便證明, 本文先給出一些必要的引理1.1（引理1）設(shè)不全相等且，則即1.2(引理2) 1.3(引理3)設(shè) 那么對于 有（時，等號成立）.證明:考察函數(shù)我們發(fā)現(xiàn)又由于 當(dāng)時，函數(shù)在

6、上是減函數(shù).所以，因此，當(dāng)時不等式成立.當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù).所以，因此對一切不等式成立.由此引理得證.1.4 (引理4)（基礎(chǔ)關(guān)系式）設(shè) 則 (1)證明：若中有一個0, 則（1）式顯然成立.設(shè)均不為零, 將（1）式兩邊同時處以, 得 令則上式變?yōu)?（2）所以, 我們只需證明（2）式成立就可以了.令，則令得對再求導(dǎo), 得以代入的表達式中, 得則是的極大值點.故是函數(shù)在上的最大值. 所以，當(dāng)時成立, 從而（1）式成立. 證畢.設(shè)由引理4的不等式可以得到這個不等式對任何都成立, 同時這個不等式是引理1的二元形式.1.5 (引理5)（young不等式）設(shè)且則以下不等式成立：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?證法一

7、：當(dāng)時, 以上不等式顯然成立.當(dāng)時, 令則其次, 對于上式兩端同時乘以 有由可得所以 證畢.證法二：考察函數(shù)顯然是凸函數(shù).因此，1、當(dāng)時， 上式不等號是由于凸函數(shù)的性質(zhì).2、當(dāng) 時，顯然有 由上述1和2, 引理5得證.1.6 (引理6)若在上連續(xù), 將等分 (分點包括兩端點)，有 記等分的每個小區(qū)間長度為而 則有：證明：由得又由在上連續(xù)，在上存在定積分，而是在上的“積分和”的一種特殊情況.故有證畢. 1.7 (引理7)設(shè)是中給定的可測集, 是定義在上的可測函數(shù)., 若可積, 稱是冪可積的函數(shù)構(gòu)成一個類，記成或簡稱為, 稱為空間，即對于空間的元, 稱為的范數(shù).2. hlder不等式的多種形式及證

8、明方法2.1 hlder不等式的離散形式及其證明離散形式：設(shè)以及 則 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)與成比例.證法一 ：（應(yīng)用引理5）因此成立.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立. 證法二：在引理4中, 取則式子變?yōu)閷⑸鲜絻蛇厡η蠛? 便得令 代入上式, 即有 即所以 證法三：在引理5中我們?nèi)∫?式變?yōu)閷⑸厦鎯蛇厡η蠛捅愕?所以2 .2 hlder不等式的積分形式及其證明 積分形式：設(shè)在上可積, 其中且, 則有 證法一：令則利用引理5得兩邊關(guān)于在上積分有從而有得證.證法二:設(shè)為上的非負(fù)可積函數(shù)，則當(dāng)或時, 上式顯然成立. 令則由hlder不等式的離散形式可知（1）在（1）兩端同時乘以 , 有 （2）（2）式右端于是，（2

9、）式就轉(zhuǎn)化為而 故 將代入上式, 得 （3）即（4）對（4）式兩端取極限，當(dāng)時, 并由引理6得 化簡上式, 即得證畢.2.3 hlder不等式的概率形式及證明概率形式：設(shè)為一個正隨機變量, 為任意正實數(shù)且存在.則有證明：令則由且在上有最小值因此有取期望得而 所以即 3 hlder不等式的推廣及應(yīng)用3.1 hlder不等式的推廣 定理 設(shè)滿足且 則對任何可測函數(shù)有 證明：當(dāng)時顯然成立.（即hlder不等式的積分形式） 假設(shè)當(dāng)時成立, 即 （1） 這里滿足下面驗證當(dāng)時結(jié)論是否成立.即驗證當(dāng)時是否成立. 令，則且 由hlder不等式得 ， （2） 由假設(shè)得到 所以 代入（2）式即得結(jié)論, 命題得證.

10、 注：此結(jié)論形式上與hlder不等式積分形式有細(xì)微差別, 但由于所以上述命題的結(jié)論也可以改成：從定理可以看出, 當(dāng)時，不等式就是積分形式的hlder不等式.因此，不等式（1）是積分形式的hlder不等式的推廣.3.2 hlder不等式的應(yīng)用1）卷積形式的young不等式：設(shè), 則 ;2）廣義形式的young不等式： 則有 且有證明：當(dāng)時，就是通常的young不等式. 當(dāng)時，此時成立是顯然的. 下面只考慮的情形，由得 ， ， ， 利用hlder不等式得 . 對上式兩端取次方，在上積分后，取次方，即得結(jié)果.3）積分形式的閔可夫斯基不等式：如果，對于，有，并且.證明：當(dāng)時，由絕對值的三角不等式關(guān)系，

11、顯然成立. 當(dāng)時，我們應(yīng)用hlder不等式積分形式的技巧來證明. 當(dāng)時， ， 因此，由（2.2）hlder不等式的積分形式我們有 即 ， 即 . 證畢.注：當(dāng)時，上述等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在兩個不全為零的非負(fù)數(shù)，使得；這里, 應(yīng)用積分形式的hlder不等式證明了上述形式的不等式. 致謝 本文是在張映輝博士的指導(dǎo)和幫助下完成的, 在此對張老師表示衷心的感謝!參考文獻1 王松桂，賈忠貞. 矩陣論中不等式m. 合肥：安徽教育出版社，1994.2 hardy g h，littlewood j e，polya g. inequalitiesm.zed. londan:cambridge univ press

12、, 1952.3 楊虎. kantorovieh不等式的延拓與均方誤差比效率j. 應(yīng)用數(shù)學(xué), 1998,4:85-90.4 wang sonsgui，yang hukantorovichtpye inequalities and the measures of inefficiency of the glsej.acta mathematicae applicatae sinica.1989,5:372-381.5 翟連林著名不等式m北京：中國物資出版社, 19946 胡克. 解析不等式的若干問題m（第二版），武漢大學(xué)出版社，2007.7 胡雁軍，李育生，鄧聚成.數(shù)學(xué)分析中的證題方法與難題選解m.河南大學(xué)出版社, 1985.8 d.s密特利諾維奇著. 張小萍，王龍譯. 解析不等式m. 科