人教版高中物理《幾何法在物體平衡問題中的應用一》教學案例分析

1、物理中的數學方法幾何法在物體平衡問題中的應用一教學案例分析 運用數學解決物理問題的能力，是中學物理教學的要求之一，也是在當前世界科學技術日新月異迅猛發(fā)展的形勢下對中學物理提出的新的要求。中學物理中常見的數學方法有代數法幾何法三角法和圖線法等。在本節(jié)內容中，主要講述幾何法在解物體平衡問題中變力問題時的應用。一 教學目標1 知識目標（1） 了解力的矢量性，掌握矢量的圖形運算（2） 掌握矢量三角形在力的合成分解和三力平衡時的應用（3） 掌握用幾何圖像法解決物體平衡時力的變化問題2 能力目標通過本節(jié)課的學習，進一步的認識數學方法在物理中的應用。并且培養(yǎng)學生將實際問題抽象成數學問題的能力。3 情感目標通

2、過本節(jié)課的學習，讓學生認識到數學方法在物理中的重要性，并進一步理解物理學科與數學學科之間的關系。二 教學設計思想本節(jié)課是開在高三第一輪復習時的，故學生已經掌握了用平行四邊形定則來進行力的合成和力的分解，并且已經學會用正交分解法力的合成與分解法來解決一些力學問題。所以開設這樣一節(jié)用矢量三角形來解題的課，來進一步的提高學生在物體平衡問題中的解題能力。三 教學過程設計1 矢量三角形在力的合成和分解中的應用首先通過在對已知知識的回顧中，提出新的想法。例1 畫出圖1中的f1與f2的合力f1f2圖1 解答：根據平行四邊形法則，我們可以作出它們的合力，如下圖所示。 f1 f f2因為力即有大小又有方向，所以

3、是矢量。問：思考平行四邊形定則，能想到些什么？學生不難得出：力的合成與矢量的加法一樣。問：那么力的合成與矢量的加法之間有么有什么聯系呢？引導學生得出：力和矢量一樣，都既有大小又有方向，物理上講的求兩個力的合力在數學中的含義是求兩個矢量的矢量和。當物體受到共點力而處于平衡狀態(tài)時，可以得到物體所受的合力為零，從數學上講，相當于這些力的矢量和為零。所以可以通過對力求矢量和的方法來求合力。因為矢量可以平移，所以不難發(fā)現，其實f1f2和它們的合力f可以構成一個三角形（如下圖所示）。f1 f f2將這個三角形單獨畫出來，我們會發(fā)現兩個分力首尾相接，合力從一個分力的首指向另一個分力的尾。f1 f2 f所以不

4、難想到，我們可以借用矢量三角形來進行力的合成，方法如下：首先對其中的一個力進行平移，將這個力與另一個力首尾相接，然后將兩個力的首和尾連接起來便為這兩個力的合力（如下圖所示）。f1f2f1 f2f1 f2f當然此方法與平行四邊形法則其實是同樣的方法，但是卻更能加深學生對力的矢量性的理解，這樣便于他們對幾何法在物理中應用的掌握。例2 對右圖中小球所受的重力根據作用效果進行分解（接觸面都為光滑）：解答：首先判斷重力所產生的作用效果，為對繩子的拉力與對斜面的壓力，所以得到重力兩個分力的方向，然后再圖中用虛線畫出這兩個方向，注意一條線接觸合力的首，另外一條接觸合力的尾。應用矢量三角形，可得兩個分力大?。?/p>

5、如下圖所示）：ggg1g2通過用矢量三角形對力進行分解，來加深學生對矢量三角形的理解。讓學生能夠學會將一個物理問題抽象成一個數學問題。下面通過幾道實際的問題，來繼續(xù)學習這樣一種方法。a o b c 2 三力平衡時的矢量三角形應用例3如右圖，aoboco為三根相同的繩子，物體處于靜止，逐漸增加物體質量，那根繩子首先斷裂。解答：根據題意，首先對o點進行受力分析，因為三力平衡，所以fa和fb的合力與fc兩力平衡，所以fafbfc三個力可以構建一個矢量三角形。（如圖所示） fb fbfa fa fa f合 fc fbfc fc fc從圖中，不難發(fā)現，當三個力處于平衡時，對這三個力進行矢量平移便可以構建

6、一個矢量三角形，而且這三個力分別首尾相接，這其實也可以說明三個力里的任何兩個力的合力與另外一個力大小相等方向相反。通過對三力平衡的講解，能讓學生更加深刻的體會到講物理問題抽象成數學問題后，所帶來的方便。3 運用矢量三角形解題a o b因為在矢量三角形里，三角形的邊長表示了力的大小，所以我們可以通過求解三角形邊長來相應的求解出各個力的大小。那么在幾何三角形中可以用到的方法都可以用在對合力分力或者三力平很問題的求解上。比如說正弦定理，余弦定理，相似三角形，勾股定理等等。接下去，先來介紹直接研究三角形圖像的變化來判斷力的變化問題。例4如圖所示，小球o在兩根細繩的作用下保持靜止，如果此時將b點逐漸移高

7、，并且同時保持小球的位置不變（ob繩相應變長），那么兩根繩子受到的拉力將如何改變？問：在解題之前首先應該注意哪些問題？在將物理問題抽象成數學問題時，需要做哪些工作？ 通過對學生的提問，讓學生明白用數學方法來處理物理問題的一般過程。使學生學會對一些簡單的問題用數學建立模型。解答：首先確定小球o為研究對象，然后對其進行受力分析?？芍∏騩受到重力和兩根繩對它的拉力fa和fb。根據三力平衡時的矢量三角形，將fa和fb進行矢量平移，與g構成一個矢量三角形（如下圖所示）。fa fb o fb fa gg fc問：觀察所構建的矢量三角形，并且指出題目中的各個條件在這個三角形里表示什么？ 解答：構建完矢量三

8、角形后，便已經將一個力學問題抽象成了一個數學的幾何問題。問題中fa與fb的變化已經轉化為了求三角形邊長的變化問題。根據題意，已知物體重力不變，所以三角形中g的大小和方向都不變，又因為a和o點位置都不變，所以可以確定fa的方向不變。從題目中不難發(fā)現已知的改變量只有fb的方向（與重力的夾角越來越?。?，所以根據這些條件，對三角形進行變形便可得出結論，fa越來越小，fb先變大后變?。ń忸}過程如下圖所示）。fb fb fa fafa g g g1 2o 通過這道題目，可以看到矢量三角形在解決研究某些條件改變時力的變化問題非常的方便快捷。并且讓學生了解這樣的一個解題過程，首先對問題進行分析判斷，然后畫出其

9、受力圖，再將受力圖轉變?yōu)閿祵W上的三角形問題。最后通過對三角形的解答得出最后的結果。這道題研究的是三角形中一條邊方向變化時的情況，下面幾題研究另外的幾種變化情況。并讓學生用新的方法進行思考。例5如圖所示，在驗證平行四邊形定則的實驗時，已知此時連著彈簧秤1的細繩與橡皮筋反向延長線夾角為，連著彈簧秤2的細繩與橡皮筋反向延長線夾角為。+=90o。如果保持橡皮筋節(jié)點位置不變，在不改變彈簧秤1示數大小的情況下，減小，那么彈簧稱2示數的大小和角應該怎么改變？ 解答：以節(jié)點o為研究對象，o點在三個拉力作用下處于平衡狀態(tài)，根據三力平衡可知這三個力可以構成一個矢量三角形。f f2 f1 f f o f2f1 f2

10、 f1根據已知條件可知，f的大小方向都不變，f1的大小不變，但是變小。根據條件，可以得知f1的首部在一個圓弧上移動，尾部指向f的首部（如上圖所示）。由此圖不難得出結論，f2在變小，也在變小。通過上面兩題的練習，可以得出這類題目的一半步驟。1 先由問題確定研究對象，判斷研究對象的運動狀態(tài)2 然后對物體進行受力分析，如果為三力平衡，則直接構建矢量三角形。如果不是，則進行力的合成或者分解來構建矢量三角形。3 將題目中已知的量映射到三角形中，在判斷哪些邊或角為不變量，哪些為變量。再通過對變量的作圖，得出最后結論。一般情況下，變量都為一個。但是有時也會出現多個變量的情況，不過對于解題過程來說都是一樣的。

11、如下題：lo例6在工地中，搬運工人常借助于圖中的裝置來向高樓搬運物體。為了使物體不碰撞樓房邊緣，要確保掉物體得繩與樓房距離l不變。問物體在搬運過程中，兩名工人的拉力f1和f2分別怎么變？ (已知下面工人的位置不變動，物體不需要搬運到樓頂) 解答：首先確定研究對象為o點，然后根據題意可知o點處于平衡狀態(tài)。對o點受力分析可知o點受到三個力，其中f3與物體重力的大小和方向都相同。然后根據三力平衡構建矢量三角形（如下圖所示）f1 f3 f2 f1 f1 f3f2 f3 f2當物體逐漸被往上拉時，物體的重力不會改變，所以f3的大小和方向都不變。但是f1和f2的方向大小都在改變。由于l不變我們可以得到f1與豎直方向夾角在變大，而f2與豎直方向夾角在變小。在圖像中改變這兩個夾角，便可以很方便的得到答案。f1和f2都在變大（如上圖所示）。四 課后反思因為本課程中直接得到矢量三角形的方法較為新穎，可能有些學生不能理解