電大離散數(shù)學(xué)期末考試試題(有幾套帶答案)

1、離散數(shù)學(xué)試題(a卷及答案）一、證明題（10分）1)(p(qr)(qr)(pr)r證明: 左端(pqr)(qp)r)(pq)r)(qp)r)(pq)r)(qp)r)(pq)(qp)r(pq)(pq)rtr(置換)r2)$x(a(x)b(x) xa(x)$xb(x)證明 ：$x(a(x)b(x)$x(a(x)b(x)$xa(x)$xb(x)xa(x)$xb(x)xa(x)$xb(x)二、求命題公式(p(qr)(pqr)的主析取范式和主合取范式（10分）證明：(p(qr)(pqr)(p(qr)(pqr)（p(qr)）(pqr)(pq)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr

2、)m0m1m2m7m3m4m5m6三、推理證明題（10分）1） cd, (cd) e, e(ab), (ab)(rs)rs證明：(1) (cd)e (2) e(ab) (3) (cd)(ab)(4) (ab)(rs) (5) (cd)(rs) (6) cd (7) rs2) x(p(x)q(y)r(x)，$xp(x)q(y)$x(p(x)r(x)證明（1）$xp(x)(2)p(a)(3)x(p(x)q(y)r(x)(4)p(a)q(y)r(a)(5)q(y)r(a)(6)q(y)(7)r(a)(8)p(a)(9)p(a)r(a)(10)$x(p(x)r(x)(11)q(y)$x(p(x)r(x

3、)四、設(shè)m是一個(gè)取定的正整數(shù)，證明：在任取m1個(gè)整數(shù)中，至少有兩個(gè)整數(shù)，它們的差是m的整數(shù)倍證明 設(shè)，為任取的m1個(gè)整數(shù)，用m去除它們所得余數(shù)只能是0，1，m1，由抽屜原理可知，這m1個(gè)整數(shù)中至少存在兩個(gè)數(shù)和，它們被m除所得余數(shù)相同，因此和的差是m的整數(shù)倍。五、已知a、b、c是三個(gè)集合，證明a-(bc)=(a-b)(a-c) （15分）證明 x a-（bc） x ax（bc） x a（xbxc） （x axb）（x axc） x（a-b）x（a-c） x（a-b）（a-c）a-（bc）=（a-b）（a-c）六、已知r、s是n上的關(guān)系，其定義如下：r=| x,yny=x2，s=| x,yny=x

4、+1。求r-1、r*s、s*r、r1,2、s1,2（10分）解：r-1=| x,yny=x2，r*s=| x,yny=x2+1，s*r=| x,yny=（x+1）2，七、若f:ab和g:bc是雙射，則（gf）-1=f-1g-1（10分）。證明：因?yàn)閒、g是雙射，所以gf：ac是雙射，所以gf有逆函數(shù)（gf）-1：ca。同理可推f-1g-1：ca是雙射。因?yàn)閒-1g-1存在z（g-1f-1）存在z（fg）gf（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。r1,2=,，s1,2=1,4。八、（15分）設(shè)是半群，對(duì)a中任意元a和b，如ab必有a*bb*a，證明：(1)對(duì)a中每個(gè)元a，有a*aa。(2

5、)對(duì)a中任意元a和b，有a*b*aa。(3)對(duì)a中任意元a、b和c，有a*b*ca*c。證明 由題意可知，若a*bb*a，則必有ab。(1)由(a*a)*aa*(a*a)，所以a*aa。(2)由a*(a*b*a)(a*a)*(b*a)a*b*(a*a)(a*b*a)*a，所以有a*b*aa。(3)由(a*c)*(a*b*c)(a*c*a)*(b*c)a*(b*c)(a*b)*c(a*b)*(c*a*c)(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*ca*c。九、給定簡(jiǎn)單無向圖g，且|v|m，|e|n。試證：若n2，則g是哈密爾頓圖 證明 若n2，則2nm23m6 （1）。若存在兩個(gè)不相鄰結(jié)點(diǎn)、使得

6、d()d()m，則有2nm(m2)(m3)mm23m6，與（1）矛盾。所以，對(duì)于g中任意兩個(gè)不相鄰結(jié)點(diǎn)、都有d()d()m，所以g是哈密爾頓圖。離散數(shù)學(xué)試題(b卷及答案）一、證明題（10分）1)(pq)(p(qr)(pq)(pr)t證明 左端(pq)(p(qr)(pq)(pr)(摩根律) (pq)(pq)(pr)(pq)(pr)(分配律) (pq)(pr)(pq)(pr) (等冪律) t(代入)2)x(p(x)q(x)xp(x)x(p(x)q(x)證明 x(p(x)q(x)xp(x)x(p(x)q(x)p(x)x(p(x)q(x)p(x)x(p(x)q(x)xp(x)xq(x)x(p(x)q(

7、x)二、求命題公式(pq)(pq) 的主析取范式和主合取范式（10分）解：(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq) (ppq)(qpq)(pq)m1m0m2m3三、推理證明題（10分）1)(p(qs)(rp)qrs證明：（1）r 附加前提(2)rp p(3)p t(1)(2),i(4)p(qs) p(5)qs t(3)(4),i(6)q p(7)s t(5)(6),i(8)rs cp2) x(p(x)q(x)，xp(x)$x q(x)證明：(1)xp(x) p(2)p(c) t(1),us(3)x(p(x)q(x) p(4)p(c)q(c) t(3),us(5)q(c)

8、 t(2)(4),i(6)$x q(x) t(5),eg四、例5在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意放置九個(gè)點(diǎn)，證明其中必存在三個(gè)點(diǎn)，使得由它們組成的三角形（可能是退化的）面積不超過1/8（10分）。證明：把邊長(zhǎng)為1的正方形分成四個(gè)全等的小正方形，則至少有一個(gè)小正方形內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)，它們組成的三角形（可能是退化的）面積不超過小正方形的一半，即1/8。五、已知a、b、c是三個(gè)集合，證明a(bc)=(ab)(ac) （10分）證明：x a（bc） x ax（bc） x a（xbxc）（ x axb）（x axc） x（ab）x ac x（ab）（ac）a（bc）=（ab）（ac）六、p=a1，a2，an是集合a的

9、一個(gè)劃分，定義r=|a、bai，i=1，2，n，則r是a上的等價(jià)關(guān)系（15分）。證明：aa必有i使得aai，由定義知ara，故r自反。a,ba，若arb ，則a,bai，即b,aai，所以bra，故r對(duì)稱。a,b,ca，若arb 且brc，則a,bai及b,caj。因?yàn)閕j時(shí)aiaj=f，故i=j，即a,b,cai，所以arc，故r傳遞?？傊畆是a上的等價(jià)關(guān)系。七、若f:ab是雙射，則f-1:ba是雙射（15分）。證明: 對(duì)任意的xa，因?yàn)閒是從a到b的函數(shù)，故存在yb，使f，f-1。所以,f-1是滿射。對(duì)任意的xa，若存在y1,y2b，使得f-1且f-1,則有f且f。因?yàn)閒是函數(shù)，則y1=y

10、2。所以，f-1是單射。 因此f-1是雙射。八、設(shè)是群，和是的子群，證明：若abg，則ag或bg（10分）。證明 假設(shè)ag且bg，則存在aa，ab，且存在bb，ba（否則對(duì)任意的aa，ab，從而ab，即abb，得bg，矛盾。）對(duì)于元素a*bg，若a*ba，因a是子群，a-1a，從而a-1 * (a*b)b a，所以矛盾，故a*ba。同理可證a*bb，綜合有a*babg。綜上所述，假設(shè)不成立，得證ag或bg。九、若無向圖g是不連通的，證明g的補(bǔ)圖是連通的（10分）。證明 設(shè)無向圖g是不連通的，其k個(gè)連通分支為、。任取結(jié)點(diǎn)、g，若和不在圖g的同一個(gè)連通分支中，則，不是圖g的邊，因而，是圖的邊；若和

11、在圖g的同一個(gè)連通分支中，不妨設(shè)其在連通分支（1）中，在不同于的另一連通分支上取一結(jié)點(diǎn)，則，和，都不是圖g的邊，因而，和，都是的邊。綜上可知，不管那種情況，和都是可達(dá)的。由和的任意性可知，是連通的。一、 選擇題.(每小題2分，總計(jì)30) 1. 給定語句如下：（1）15是素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）（2）10能被2整除，3是偶數(shù)。（3）你下午有會(huì)嗎？若無會(huì)，請(qǐng)到我這兒來?。?）2x+30.（5）只有4是偶數(shù)，3才能被2整除。(6)明年5月1日是晴天。以上6個(gè)語句中，是簡(jiǎn)單命題的為（a）,是復(fù)合命題的為（b）,是真命題的為（c）,是假命題的是（d）,真值待定的命題是（e）a: (1)(3)(4)(6) (1)(4

12、)(6) (1)（6） b: (2)(4) (2)(4)(6) (2)(5)c: (1)(2)(5)(6) 無真命題 （5） d: (1)(2) 無假命題 (1)(2)(4)(5)e: (4)(6) （6） 無真值待定的命題2. 將下列語句符號(hào)化：（1）4是偶數(shù)或是奇數(shù)。（a）設(shè)p：4是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)（2）只有王榮努力學(xué)習(xí)，她才能取得好成績(jī)。（b）設(shè)p：王榮努力學(xué)習(xí)，q：王榮取得好成績(jī)（3）每列火車都比某些汽車快。（c）設(shè)f(x):x是火車，g(y):y是汽車，h(x,y):x比y快。a: pq pq pq b: pq qp pqc: x $y (f(x) g(y) (h(x,y)x (f

13、(x) $y(g(y)h(x,y)x (f(x) $y(g(y)h(x,y)3. 設(shè)s=1,2,3,下圖給出了s上的5個(gè)關(guān)系,則它們只具有以下性質(zhì):r1是（a）,r2是(b),r3是(c)。a b c:自反的，對(duì)稱的，傳遞的 反自反的，對(duì)稱的 自反的 反對(duì)稱的 對(duì)稱的 自反的，對(duì)稱的，反對(duì)稱的，傳遞的4. 設(shè)s=，1，1，2，則有 （1）（a）s （2） (b) s（3） p(s)有（c）個(gè)元數(shù)。 （4）（d）既是s的元素，又是s的子集a: 1,2 1 b: 1,2 1c: 3 6 7 8 d: 1 二、證明（本大題共2小題，第1小題10分，第2小題10分，總計(jì)20分）1、用等值演算算法證明等

14、值式 (pq)(pq)p2、構(gòu)造下面命題推理的證明如果今天是星期三，那么我有一次英語或數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)；如果數(shù)學(xué)老師有事，那么沒有數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)；今天是星期三且數(shù)學(xué)老師有事，所以我有一次英語測(cè)驗(yàn)。三、計(jì)算（本大題共4小題，第1小題5分，第2小題10分，第3小題15分，總計(jì)30分）1、設(shè)，求公式：的真值。2、設(shè)集合上的關(guān)系 ，求出它的自反閉包，對(duì)稱閉包和傳遞閉包。3、設(shè)上的整除關(guān)系，是否為上的偏序關(guān)系？若是，則：1、畫出的哈斯圖；（10分）2、求它的極小元，最大元，極大元，最大元。（5分）四、用推導(dǎo)法求公式的主析取范式和主合取范式。（本大題10分）答案：一、 選擇題1. a: b: c: d: e: 2.a:

15、 b: c: 3.a: b: c: 4.a: b: c: d:二、證明題1. 證明 左邊（(pq)p）（(pq)q)） （分配律） p（(pq)q)） (吸收律) p（(pq) (qq)） （分配律） p（(pq)1） （排中律） p (pq) （同一律） p （吸收律）2.解：p：今天是星期三。 q：我有一次英語測(cè)驗(yàn)。 r：我有一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)。 s：數(shù)學(xué)老師有事。 前提：p(qr) , sr , ps 結(jié)論：q 證明：ps 前提引入p 化簡(jiǎn)p(qr) 前提引入qr 假言推理s 化簡(jiǎn)sr 前提引入r 假言推理q 析取三段論推理正確。三、計(jì)算1. 該公式的真值是1，真命題。或者2、3、（1） 是上

16、的偏序關(guān)系。（2）極小元、最小元是1,極大元、 最大元是24。四、安徽大學(xué)2004-2005學(xué)年第二學(xué)期離散數(shù)學(xué)期末考試試卷（a卷）參考答案一、單項(xiàng)選擇1 在自然數(shù)集上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？（ ）a. b. c. d. 2 下列代數(shù)系統(tǒng)中，哪個(gè)是群？（ ）a. ，*是模7加法 b. （有理數(shù)集合），*是一般乘法c. （整數(shù)集合），*是一般減法 d. ，*是模11乘法3 若是的真子群，且，則有（ ）。a. 整除 b. 整除 c. 整除且 整除 d. 不整除且 不整除4 下面哪個(gè)集合關(guān)于指定的運(yùn)算構(gòu)成環(huán)？（ ）a. ，關(guān)于數(shù)的加法和乘法abcdefgb.階實(shí)數(shù)矩陣，關(guān)于矩陣的加法和乘法c. ，

17、關(guān)于數(shù)的加法和乘法d. ，關(guān)于矩陣的加法和乘法5 在代數(shù)系統(tǒng)中，整環(huán)和域的關(guān)系為（ ）。a. 域一定是整環(huán) b.域不一定是整環(huán) c. 整環(huán)一定是域 d. 域一定不是整環(huán)6 是自然數(shù)集，是小于等于關(guān)系，則是（ ）。a. 有界格 b.有補(bǔ)格 c. 分配格 d. 有補(bǔ)分配格7 圖1-1給出的哈斯圖表示的格中哪個(gè)元素?zé)o補(bǔ)元？（ ）a. b. c. d. 圖1-18 給定下列序列，可構(gòu)成無向簡(jiǎn)單圖的結(jié)點(diǎn)度數(shù)序列的是（ ）。a.（1，1，2，2，3） b.（1，3，4，4，5）c.（0，1，3，3，3） d.（1，1，2，2，2）9 歐拉回路是（ ）。a.路徑 b.簡(jiǎn)單回路 c.既是基本回路也是簡(jiǎn)單回路

18、d.既非基本回路也非簡(jiǎn)單回路10 哈密爾頓回路是（ ）。a.路徑 b.簡(jiǎn)單回路 c.既是基本回路也是簡(jiǎn)單回路 d.既非基本回路也非簡(jiǎn)單回路二、填空題（以下每個(gè)下劃線為一空，請(qǐng)按要求填入合適的內(nèi)容。每空2分，共30分）。1 設(shè)是非空有限集，代數(shù)系統(tǒng)中，對(duì)運(yùn)算的單位元是，零元是，對(duì)運(yùn)算的單位元是。 a b ca a b a b cc c 2 在運(yùn)算表2-1中空白處填入適當(dāng)符號(hào)，使成為群。，。3 設(shè)，是群的子群，其中，是模12加法，則有個(gè)真子群，的左陪集，。4設(shè)是一個(gè)布爾代數(shù)，如果在上定義二元運(yùn)算為：，則是一個(gè)。表2-15 任何一個(gè)具有個(gè)元素的有限布爾代數(shù)都是。6 若連通平面圖有4個(gè)結(jié)點(diǎn)，3個(gè)面，則

19、有條邊。7 一棵樹有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)度數(shù)為2，一個(gè)結(jié)點(diǎn)度數(shù)為3，三個(gè)結(jié)點(diǎn)度數(shù)為4，它有個(gè)度數(shù)為1的結(jié)點(diǎn)。8 無向圖是由（）棵數(shù)組成的森林，至少要添加條邊才能使成為一棵樹。三、求解題（20分） 1 試寫出中每個(gè)子群及其相應(yīng)的左陪集。 （6分）274412313652 若一個(gè)有向圖是歐拉圖，它是否一定是強(qiáng)連通的？若一個(gè)有向圖是強(qiáng)連通的，它是否一定是歐拉圖？說明理由。 （6分）3 有向圖如圖3-1所示。（1）求的鄰接矩陣； （2分）（2）中到長(zhǎng)度為4的路徑有幾條？ （2分）（3）中到自身長(zhǎng)度為3的回路有幾條？ （2分）（4）是哪類連通圖？ （2分）圖3-1四、證明題（30分）1 設(shè)是一群，。定義：，。證明也

20、是一群。 2 證明：（1）證明在格中成立：。 （5分）（2）證明布爾恒等式：。 （5分）3 證明：（1）在6個(gè)結(jié)點(diǎn)12條邊的連通平面簡(jiǎn)單圖中，每個(gè)面由3條邊圍成。 （5分）（2）證明當(dāng)每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)大于等于3時(shí)，不存在有7條邊的簡(jiǎn)單連通平面圖。安徽大學(xué)2004-2005學(xué)年第二學(xué)期離散數(shù)學(xué)期末考試試卷（a卷）參考答案一、單項(xiàng)選擇1b; 2.d; 3.a; 4.c; 5.a; 6.c; 7.b; 8.d; 9.b; 10.c.二、填空題1 ，； 2 ，；3 5，；4 交換群；5 同構(gòu)；6 5；7 9；8 。三、求解題1 解：子群有：，。的左陪集為：，的左陪集為：，的左陪集為：，2 答：（1）一個(gè)

21、有向歐拉圖一定是強(qiáng)連通圖。因?yàn)槭菤W拉圖，存在歐拉回路，中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)至少在中出現(xiàn)一次。因而中任意兩點(diǎn)，都在中，相互可達(dá)，故是強(qiáng)連通的。（2）一個(gè)強(qiáng)連通圖不一定是有向歐拉圖。因?yàn)閺?qiáng)連通圖中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的入度不一定等于其出度。3 解：（1） （2）由中可知，到長(zhǎng)度為4的路徑有條（56748，）。（3）由中可知，到自身長(zhǎng)度為3的回路有1條（）。（4）是單向連通圖。四、證明題1 證明：顯然是上的二元運(yùn)算（即滿足封閉性），要證是群，需證結(jié)合律成立，同時(shí)有單位元，每個(gè)元素有逆元。 ，有 運(yùn)算是可結(jié)合的。 其次，是的單位元。事實(shí)上，有； 最后證明，是在中的逆元。事實(shí)上， 由以上證明，是群。2 證明：（1） （公式

22、(13)分配不等式）又因?yàn)?，所以。?）因?yàn)椋杂校?（吸收律）即等式成立。 3 證明：（1）因圖中結(jié)點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)分別為，根據(jù)歐拉公式，得。又，而簡(jiǎn)單連通平面圖的每個(gè)面至少由3條邊圍成，所以在6個(gè)結(jié)點(diǎn)12條邊的連通平面簡(jiǎn)單圖中，每個(gè)面由3條邊圍成。（2）設(shè)圖為簡(jiǎn)單連通平面圖，有個(gè)面。（反證法） 若，由歐拉公式知，而每個(gè)面至少由3條邊圍成，有，則，且是整數(shù)，所以；又對(duì)任結(jié)點(diǎn)，有，故，且是整數(shù)，所以。這樣就有，與矛盾，所以結(jié)論正確。安徽大學(xué)2007 2008學(xué)年第 2 學(xué)期離散數(shù)學(xué)（下）考試試卷（a卷）一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1. 下列集合關(guān)于數(shù)的加法和乘法運(yùn)算不能構(gòu)成環(huán)的是（ ）a

23、.自然數(shù)集合； b.整數(shù)集合； c.有理數(shù)集合； d.實(shí)數(shù)集合。2. 設(shè)為整數(shù)集合，則下列集合關(guān)于數(shù)的加法運(yùn)算不能構(gòu)成獨(dú)異點(diǎn)的是（ ）a.； b.； c.； d.。3. 設(shè)，為模加法，則下列元素是的生成元的是（ ）a.2； b.3； c.4； d.5。4. 設(shè)是整環(huán)，則不一定是（ ）a.可交換環(huán)； b.無零因子環(huán)； c.含么環(huán)； d.域。5. 格不一定具有（ ）a.交換律； b.結(jié)合律； c.分配律； d.吸收律。6. 設(shè)，和分別表示求最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)運(yùn)算，則是（ ）a.有補(bǔ)格； b.分配格； c.有補(bǔ)分配格； d.布爾代數(shù)。7. 一個(gè)含個(gè)結(jié)點(diǎn)的無向圖中有個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)分別為，則第個(gè)結(jié)點(diǎn)的

24、度數(shù)不可能是（ ）a.0； b.1； c.2； d.4。8. 設(shè)連通的簡(jiǎn)單平面圖中有10條邊和5個(gè)面，則的結(jié)點(diǎn)數(shù)為（ ）a.6； b.7； c.8； d.9。9. 設(shè)無向樹中有個(gè)結(jié)點(diǎn)度數(shù)為，個(gè)結(jié)點(diǎn)度數(shù)為，個(gè)結(jié)點(diǎn)度數(shù)為，則中的樹葉數(shù)為（ ）a.10； b.11； c.12； d.13。10.設(shè)為連通的無向圖，若僅有個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)是奇數(shù)，則一定具有（ ）a、歐拉路徑； b、歐拉回路； c、哈密爾頓路徑； d、哈密爾頓回路。二、填空題（每小空2分，共20分）1. 設(shè)為實(shí)數(shù)集合，則在代數(shù)中，關(guān)于運(yùn)算的么元是 ，零元是 。2. 設(shè)為模加法，則在中，元素的階為 ，的階為 。3. 設(shè)，和分別為求最大公約數(shù)和最

25、小公倍數(shù)運(yùn)算，則在布爾代數(shù)中，原子的個(gè)數(shù)為 ，元素的補(bǔ)元為 。4. 在格中，當(dāng)且僅當(dāng) 當(dāng)且僅當(dāng) 。5. 一個(gè)具有個(gè)結(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單連通無向圖的邊數(shù)至少為 ，至多為 。三、解答題（第1小題12分，第2小題8分，共20分）1. 設(shè)圖如圖1所示，(1) 求的鄰接矩陣；(2) 求，說明從到的長(zhǎng)為的路徑各有幾條；(3) 求的可達(dá)矩陣； (4) 求的強(qiáng)連通分圖。2. 求群的所有子群及由元素確定的各子群的左陪集，其中，是模加法。四、證明題（每小題10分，共40分）1. 證明布爾恒等式：。2. 設(shè)為實(shí)數(shù)集合，和為數(shù)的加法和乘法運(yùn)算，對(duì)，證明：為獨(dú)異點(diǎn)。3. 證明：若簡(jiǎn)單無向圖滿足，則圖是連通圖。4. 設(shè)是一個(gè)群，；

26、定義一個(gè)映射，使得對(duì)于有；證明：是安徽大學(xué)2007 2008學(xué)年第 2 學(xué)期離散數(shù)學(xué)（下）考試試卷（a卷）一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共20分）1.a； 2.c； 3.d； 4.d； 5.c； 6.b； 7.b； 8.b； 9.a； 10.a。二、填空題（每小空2分，共20分）1.，； 2.，； 3.，； 4.，； 5.，。三、解答題（第1小題12分，第2小題8分，共20分）1. (1) 的鄰接矩陣； 2分(2) ； 5分從到的長(zhǎng)為的路徑的條數(shù)分別為； 8分(3) 的可達(dá)矩陣為； 10分(4) 因，故的強(qiáng)連通分圖的結(jié)點(diǎn)集為，。 12分2. 的子群為：，； 4分元素確定的各子群的左陪集對(duì)應(yīng)為：，

27、。 8分四、證明題（每小題10分，共40分）1. 2分 6分。 10分2. 因?qū)瓦\(yùn)算封閉，故對(duì)運(yùn)算封閉；對(duì)， 2分,故，從而上的運(yùn)算滿足結(jié)合律； 6分因?qū)Γ蕿檫\(yùn)算的么元； 綜合以上，為上的可結(jié)合的二元運(yùn)算，且關(guān)于運(yùn)算有么元，所以為獨(dú)異點(diǎn)。 10分3. 假設(shè)有個(gè)連通分圖，則因?yàn)楹?jiǎn)單無向圖，故， 4分因?yàn)?，所以?8分所以，這與矛盾！所以圖是連通圖。 10分4. 對(duì)，若，則，故，從而為單射； 3分，且，因此，使，所以為滿射； 6分，故為同態(tài)； 9分所以是的群自同構(gòu)。 10分if we dont do that it will go on and go on. we have to stop i

28、t; we need the courage to do it.his comments came hours after fifa vice-president jeffrey webb - also in london for the fas celebrations - said he wanted to meet ivory coast international toure to discuss his complaint.cska general director roman babaev says the matter has been exaggerated by the iv

29、orian and the british media.blatter, 77, said: it has been decided by the fifa congress that it is a nonsense for racism to be dealt with with fines. you can always find money from somebody to pay them.it is a nonsense to have matches played without spectators because it is against the spirit of foo

30、tball and against the visiting team. it is all nonsense.we can do something better to fight racism and discrimination.this is one of the villains we have today in our game. but it is only with harsh sanctions that racism and discrimination can be washed out of football.the (lack of) air up there wat

31、ch mcayman islands-based webb, the head of fifas anti-racism taskforce, is in london for the football associations 150th anniversary celebrations and will attend citys premier league match at chelsea on sunday.i am going to be at the match tomorrow and i have asked to meet yaya toure, he told bbc sp

32、ort.for me its about how he felt and i would like to speak to him first to find out what his experience was.uefa hasopened disciplinary proceedings against cskafor the racist behaviour of their fans duringcitys 2-1 win.michel platini, president of european footballs governing body, has also ordered

33、an immediate investigation into the referees actions.cska said they were surprised and disappointed by toures complaint. in a statement the russian side added: we found no racist insults from fans of cska.baumgartner the disappointing news: mission aborted.the supersonic descent could happen as earl

34、y as sunda.the weather plays an important role in this mission. starting at the ground, conditions have to be very calm - winds less than 2 mph, with no precipitation or humidity and limited cloud cover. the balloon, with capsule attached, will move through the lower level of the atmosphere (the tro

35、posphere) where our day-to-day weather lives. it will climb higher than the tip of mount everest (5.5 miles/8.85 kilometers), drifting even higher than the cruising altitude of commercial airliners (5.6 miles/9.17 kilometers) and into the stratosphere. as he crosses the boundary layer (called the tropopause),e can expect a lot of turbulence.the balloon will slowly drift to the edge of space at 120,000 feet ( then, i would assume, he will slowly step out onto something resembling an olympic diving platform.below, the earth becomes the concrete bottom of a swimming