畢業(yè)論文求函數(shù)極限的若干方法

1、學(xué)號：2008210929哈爾濱師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文題 目 求極限的若干方法學(xué) 生 范秀龍指導(dǎo)教師 孫玉莉 講師年 級 2008級專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)系學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈 爾 濱 師 范 大 學(xué)學(xué)士學(xué)位論文開題報告論文題目 求極限的若干方法學(xué)生姓名 范秀龍指導(dǎo)教師 孫玉莉年 級 08級專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2011年 11月課題來源：由論文指導(dǎo)委員會提供課題研究的目的和意義：在自然科學(xué)中、工程技術(shù)，甚至某些社會科學(xué)中，函數(shù)是被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念，從小學(xué)開始我們就已經(jīng)接觸到了函數(shù)，函數(shù)貫穿了我們整個的學(xué)習(xí)時段。既然函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中處于核心地位，那么我們用什么方法來研究函數(shù)呢？這

2、個方法就是極限。無論是在中學(xué)數(shù)學(xué)還是在大學(xué)數(shù)學(xué)中，極限的概念和思想都非常重要，從量變中認(rèn)識質(zhì)變，都要用到極限。我們還能夠通過極限研究函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、收斂性等概念。因此極限概念是研究函數(shù)的重要概念，具有一定的理論意義和現(xiàn)實意義。首先，本篇論文總結(jié)了求函數(shù)的極限方法，幫助學(xué)生理解和掌握極限概念，牢固地掌握求極限的方法，并把極限的思想運用到更廣泛的區(qū)域。其次，在進(jìn)行函數(shù)極限求解的過程中，巧妙地運用了數(shù)學(xué)中相關(guān)的理論知識，達(dá)到鞏固、復(fù)習(xí)的目的，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的思維能力。第三，運用極限的思想能夠解一些我們不能精確計算的結(jié)果。第四，通過本課題的研究，培養(yǎng)了自身的探究精神，提高了自身的科學(xué)素養(yǎng)和實踐

3、操作能力。國內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢：作研究函數(shù)最基本的方法極限思想，早在古代就有比較清楚的描述。我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家劉薇于公元263年創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，是使用了極限的思想。在近代數(shù)學(xué)許多分支中一些重要的概念與理論都是極限和連續(xù)函數(shù)概念的推廣、延拓和深化。因此只有深刻地理解極限的出發(fā)點是至關(guān)的無窮小量，19世紀(jì)柯西根據(jù)微積分研究的需要改進(jìn)了極限方法。但是前人在對求函數(shù)極限的方法都是單一的，而沒有一個對求函數(shù)極限的方法進(jìn)行全面的歸納總結(jié)。本文就系統(tǒng)而全面地總結(jié)了求函數(shù)極限的方法，并把各類方法加以綜合利用，幫助我們解決求各類函數(shù)極限過程中遇到的問題，對某些題目還能夠不痛的方法解答。 近年

4、許多專家學(xué)者對函數(shù)極限的計算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李廣民研究了用中值定理求函數(shù)極限的方法；曹學(xué)鋒、孫幸榮討論了利用無窮小量計算函數(shù)的極限。眾所周知常見的求極限的方法包含無窮小量、重要極限公式、洛必達(dá)法則等。但實際在求極限時并不是依靠單一方法，而是把多種方法加以綜合運用。對函數(shù)極限求解方法的討論是本文的核心點，本文通過一些典型例題來討論求函數(shù)極限的解法并加以綜合運用。這就需要學(xué)生牢固地掌握求極限的方法并對函數(shù)極限的方法加以歸納、總結(jié)，希望對初學(xué)者有所幫助。課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法：一、 介紹求極限的多種方法二、 利用夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則、函數(shù)的

5、連續(xù)性等方法求極限，在做求解極限的題目時，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細(xì)心分析仔細(xì)甄選，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?。這樣不僅準(zhǔn)確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。三、 研究實際數(shù)學(xué)問題中有關(guān)極限的求法，尋求解決問題的途徑。課題研究起止時間和進(jìn)度安排：2011.09.012011.10.02指導(dǎo)教師給學(xué)生下達(dá)任務(wù)2011.10.022011.11.25完成開題報告的初稿，交指導(dǎo)教師審閱2012.03.152012.04.07完成畢業(yè)論文，交給指導(dǎo)教師審閱2012.04.282012.04.25畢業(yè)論文答辯指導(dǎo)教師審查意見：指導(dǎo)教師 （

6、簽字） 年 月 教研室（研究室）評審意見：_教研室（研究室）主任 （簽字） 年 月院（系）審查意見：_院（系）主任 （簽字） 年 月學(xué) 士 學(xué) 位 論 文題 目 求極限的若干方法學(xué) 生 范秀龍指導(dǎo)教師 孫玉莉年 級 2008級專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)系學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)2012年4月目 錄摘 要1關(guān)鍵詞1一、函數(shù)極限的定義性質(zhì)及作用1二、函數(shù)極限的計算及多種求法21.定義法22.利用極限四則運算法則33.利用夾逼性定理求極限34.利用兩個重要極限求極限45.利迫斂性來求極限46.用洛必達(dá)法則求極限57.利用定積分求極限68.利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的

7、關(guān)系求極限69.利用變量替換求極限710.利用遞推公式計算或證明序列求極限711.利用等價無窮小量代換來求極限812.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限913.利用泰勒公式求極限1014.利用兩個準(zhǔn)則求極限1015.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限1216.利用單側(cè)極限求極限13總結(jié)13參考文獻(xiàn)14外文摘要15求極限的若干方法 范秀龍摘 要:在數(shù)學(xué)分析中，極限思想貫穿于始末，求極限的方法也顯得至關(guān)重要。本文主要探討、總結(jié)求極限的一般方法并補(bǔ)充利用級數(shù)收斂及利用積分求極限的特殊方法，而且把每一種方法的特點及注意事項作了詳細(xì)重點說明，并以實例加以例解，因此彌補(bǔ)了一般教材的不足。由于本文通過總結(jié)、研究對求極限的各種

8、方法的很多細(xì)節(jié)作了具體注解，使方法更具針對性、技巧性，因此，克服了遇到問題無從下手的缺點,能夠做到游刃有余。關(guān)鍵詞：夾逼準(zhǔn)則 單調(diào)有界準(zhǔn)則 洛必達(dá)法則 微分中值定理學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性。因為，代數(shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以為了要利用代數(shù)處理代表無限的量，於是精心構(gòu)造了“極限”的概念。一、 函數(shù)極限的定義性質(zhì)及作用在“極限”的定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數(shù)除以的麻煩，而引入了一個過程任意小量。就是說，除數(shù)不是零，所以有意義，同時，這個過程小量可以取任意小，只要滿足在的區(qū)間內(nèi)，都小于該任意小量，我們就說他的極限為

9、該數(shù)你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧，但是，他的實用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能，這個概念是成功的。限的概念是高等數(shù)學(xué)中最基本最重要的概念，它是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的. 例如：我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元三世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術(shù)，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用.數(shù)列極限標(biāo)準(zhǔn)定義：對數(shù)列，若存在常數(shù)，對于任意，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，成立，那么稱是數(shù)列的極限。函數(shù)極限標(biāo)準(zhǔn)定義：設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義，若存在常數(shù)，對于任意，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，成立，那么稱是函數(shù)在無窮大處的極限。設(shè)函數(shù)在處的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)，對于任意，總存在正數(shù)

10、，使得當(dāng)時，成立，那么稱是函數(shù)在處的極限。函數(shù)極限具有的性質(zhì)：性質(zhì) 1（唯一性） 如果存在，則必定唯一性質(zhì) 2（局部有界性） 若存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有界性質(zhì) 3（保序性） 設(shè)性質(zhì)4（迫斂性）設(shè)，且在某內(nèi)有，則.數(shù)學(xué)分析的主要任務(wù)是研究函數(shù)的各種性態(tài)以及函數(shù)值的計算或近似計算，主要內(nèi)容是微積分，在微積分中幾乎所有的基本概念都是用極限來定義的?？梢哉f，沒有極限理論就沒有微積分。二、函數(shù)極限的計算及多種求法極限一直是數(shù)學(xué)分析中的一個重點內(nèi)容，而對數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。求數(shù)列極限的最基本的方法還是利用數(shù)列極限的定義，也要注意運用兩個重要極限，其中，

11、可以利用等量代換，展開、約分，三角代換等方法化成比較好求的數(shù)列，也可以利用數(shù)列極限的四則運算法則計算。夾逼性定理和單調(diào)有界原理是很重要的定理，在求的時候要重點注意運用。洛必達(dá)法則、黎曼引理是針對某些特殊的數(shù)列而言的。還有一些比較常用的方法，在本文中都一一列舉了。1.定義法利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)是一個數(shù)列,是實數(shù),如果對任意給定的,總存在一個正整數(shù)，當(dāng)時,都有,我們就稱是數(shù)列的極限.記為.例1: 按定義證明.解: 令,則讓即可,存在,當(dāng)時,不等式: 成立,所以2.利用極限四則運算法則應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運算法則,其前提條件是參加運算的數(shù)列或函數(shù)首先是收斂數(shù)列或函數(shù),其次在做除法

12、運算時,要求必先使分母的極限不為0,因此,為了利用四則運算定理計算數(shù)列或函數(shù)極限成為收斂數(shù)列或函數(shù),需以原分子、原分母中隨n或x增大最快的項除分子、分母,使恒等變形后的分子、分母為滿足數(shù)列或函數(shù)極限四則運算定理條件的收斂數(shù)列或函數(shù),值得我們注意的是在應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運算前,先把所給的商式消去分子分母的公共零因子。例2: 求,其中.解: 分子分母均為無窮多項的和,應(yīng)分別求和,再用四則運算法則求極限,原式 3.利用夾逼性定理求極限當(dāng)極限不易直接求出時, 可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當(dāng)

13、在連加或連乘的極限里,可通過各項或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。例3:求的極限。解: 對任意正整數(shù)n,顯然有 , 而,由夾逼性定理得 4.利用兩個重要極限求極限兩個重要極限是和，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn)。利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例4：求極限【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊，最后湊指數(shù)部分。解：5.利迫斂性來求極限設(shè),且在某內(nèi)有,則例5：求的極限解：. 且由迫斂性知 做此類型題目的關(guān)鍵在于找出大于已知函數(shù)

14、的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并且所找出的兩個函數(shù)必須要收斂于同一個極限。6.用洛必達(dá)法則求極限 洛必達(dá)法則為：假設(shè)當(dāng)自變量趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和滿足：和的極限都是或都是無窮大；和都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為；存在（或是無窮大），則極限也一定存在，且等于，即= 。利用洛必達(dá)法則求極限，由于分類明確，規(guī)律性強(qiáng)，且可連續(xù)進(jìn)行運算，可以簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但運用時需注意條件。例6:求解: 是待定型 注：運用洛比達(dá)法則應(yīng)注意以下幾點1、要注意條件，也即是說，在沒有化為時不可求導(dǎo)。2、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。3、要及時化簡極限符號后面的分式，

15、在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會引起錯誤。7.利用定積分求極限設(shè)函數(shù) 在區(qū)間上連續(xù)，將區(qū)間分成個子區(qū)間在每個子區(qū)任取一點，作和式（見右下圖），當(dāng)時，(屬于最大的區(qū)間長度)該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x) 在區(qū)間的定積分。要求深刻理解與熟練掌握的重點內(nèi)容有：1、定積分的概念及性質(zhì)。2、定積分的換元法和分部積分法，3、變上限的定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓（newton）萊布尼茲（leibniz）公式。要求一般理解與掌握的內(nèi)容有：4、廣義積分的概念與計算。例7:求解: 設(shè),則在內(nèi)連續(xù),所以, 所以原式難點：定積分的概念，上

16、限函數(shù)，定積分的換元法。8.利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限首先, 利用無窮小量乘有界變量仍然是無窮小量,這一方法在求極限時常常用到;再者利用等價無窮量。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時, 這個無窮小量可以用它的等價無窮小量來代替,從而使計算簡化。例8：求的值解：因為是無窮小量，而是有界變量，所以 還是無窮小量，即 9.利用變量替換求極限為了將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉(zhuǎn)化為新的極限過程。最常用的方法就是等價無窮小的代換。例9： 已知試證證明：令則時，于是

17、 易知當(dāng)時第二、三項趨于零，現(xiàn)證第四項極限亦為零。事實上，因（當(dāng)時），故有界，即，使得。故10.利用遞推公式計算或證明序列求極限借助遞推公式計算或證明序列的極限，也是一種常見的方法，在這里我們需要首先驗證極限的存在性。在極限存在的前提下，根據(jù)極限的唯一性，來解出我們所需要的結(jié)果，但往往驗證極限的存在形式比較困難的，需要利用有關(guān)的不等式或?qū)崝?shù)的一些性質(zhì)。例10（1）設(shè)，對，定義。證明 且時，（2）若c為任意的正數(shù)。置于（1）的遞推公式中，給出，假設(shè)，則當(dāng)時，解：（1）對任意的n, ，而且，因為 推得，因此，序列是單調(diào)遞增且有界，它的極限存在，設(shè)為x，從遞推公式中得到 解得，即。（2）因為且對任意

18、的，可以在上作歸納證明，對任意的，。由知，所以序列是單調(diào)遞增的，因而極限存在，借助遞推公式可求的其極限為。11.利用等價無窮小量代換來求極限所謂等價無窮小量即稱與是時的等價無窮小量，記作定理：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有1.若則2.若則證明： 可類似證明，在此就不在詳細(xì)證明了！ 由該定理就可利用等價無窮小量代換來求某些函數(shù)的極限例11：求的極限解：由 而；故有注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價無窮小量，如：由于，故有又由于故有，。另注：在利用等價無窮小代換求極限時，應(yīng)該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則

19、不能隨意代換。如上式中若因有，；，而推出的則得到的結(jié)果是錯誤的。小結(jié):在求解極限的時候要特別注意無窮小等價替換,無窮小等價替換可以很好的簡化解題。12.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限包括：如函數(shù)在點連續(xù)，則 及若且f(u)在點a連續(xù)，則例7：求的極限解：由于及函數(shù)在處連續(xù)，故13.利用泰勒公式求極限由于泰勒公式的特殊形式，對于求解某些函數(shù)的極限有簡化求解過程的作用。 例13：求 解：本題可用洛比達(dá)法則來求解，但是運算過程比較繁瑣，在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，取因而求得14.利用兩個準(zhǔn)則求極限 (1)函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則）：

20、若一正整數(shù),當(dāng)時，有且則有 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列和，使得。例:14 求的極限解：因為單調(diào)遞減，所以存在最大項和最小項 則 又因為（2）：單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項遞推公式求極限。 例：15 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。 證明：從這個數(shù)列構(gòu)造來看 顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。 又因為 所以得. 因為前面證明是單調(diào)增加的。 兩端除以得 因為則, 從而 即 是有界的。根據(jù)定理有極限，而且極限唯一。 令則 則.因為解方程得 所以15

21、.利用級數(shù)收斂的必要條件求極限利用級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則運用這個方法首先判定級數(shù)收斂，然后求出它的通項的極限 例：16 求 解：設(shè) 則 由比值判別法知收斂，由必要條件知16.利用單側(cè)極限求極限形如：1） 求含的函數(shù)趨向無窮的極限，或求含的函數(shù)趨于的極限;2）求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;3）分段函數(shù)在分段點處的極限;4）含偶次方根的函數(shù)以及或的函數(shù)，趨向無窮的極限. 這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點處的極限，首先必須考慮分段點的左，右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點處的極限存在，否則極限不存在。例：17 求在的左右極限 解： 總結(jié)以上方法是在高等數(shù)學(xué)里求解極限的重要方

22、法。在做求解極限的題目時，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細(xì)心分析仔細(xì)甄選，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒?。這樣不僅準(zhǔn)確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。這就要求學(xué)習(xí)者要吃透其精髓，明了其道理，體會出做題的竅門。達(dá)到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結(jié)，日積月累，定會熟能生巧，在做題時得心應(yīng)手。從上述的介紹中可以看出求極限的方法不拘一格， 我們應(yīng)具體問題具體分析，不能機(jī)械地用某種方法，對具體題目要注意觀察，有時解題可多種方法混合使用，要學(xué)會靈活運用。參考文獻(xiàn)：1 郝 梅：求函數(shù)極限的方法.福建教育學(xué)校學(xué)報.2006.10.2 劉小軍:

23、高等數(shù)學(xué)解題方法.云南廣播電視大學(xué)理工學(xué)院學(xué)報.2006.083 劉書田：高等數(shù)學(xué).北京大學(xué)出版社.20054 陳 璋：朱學(xué)炎等.數(shù)學(xué)分析.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等教育出版社.20065 郝 涌：盧士堂等.數(shù)學(xué)考研精解.華中理工大學(xué)出版社.2004外文摘要the limit of the number of methodsfan xiu-longabstract: in the mathematical analysis, limit thought throughout the story, the limit of the method are crucial. this paper mainly dis