【doc】兩向不等壓作用下圓形巷道彈塑性分析攝動解

1、兩向不等壓作用下圓形巷道彈塑性分析攝動解第12卷1990正第4期7月巖土工程yaktugogchengxue13a0vo1.12,no.4luly,1990兩向不等壓作用下圓形巷道彈塑性分析攝動解魏悅廣(山東礦業(yè)學(xué)皖礦建系,泰安)提要本文研究兩向不等壓作用下圓形巷道圈巖的彈塑性司題.假設(shè)材料是理想彈塑性的,在圓孔周圍有一環(huán)狀區(qū)域已進(jìn)入塑巨狀態(tài),在庫侖埽服條件下,甩攝動浩給出彈塑性區(qū)域考慮二階小量的應(yīng)力分布及彈塑性交界線均解析表達(dá)式.與往近似法l勻結(jié)果不同,本文的研究結(jié)果表時,巷道圍巖的彈塑性交界線形狀類似于橢圓,隨著內(nèi)摩擦角的增加更接近于圓形.一,刖雷現(xiàn)有的彈塑性理論對于兩向不等壓作用下圓形巷

2、道圍巖在庫侖屈服條件下的彈塑性問題,至今未能給出完整的解答.以往的研究提出的一些近似計算法或估算法0,都是以圓孔外圍巖完壘處于彈性狀態(tài)時的應(yīng)力解(kirsch解)為基礎(chǔ)的.彈塑性交界線的近似算法0把kitsch解作為彈塑性問題中彈性區(qū)的應(yīng)力解,是缺乏理論根據(jù)的,而且究竟會產(chǎn)生多大的誤差尚不清楚.文獻(xiàn)21注意到這種近似方法的明顯不足,并提出了一種修正方法.修正方法仍顯現(xiàn)出彈性區(qū)的應(yīng)力解具有kirsch解的形式,而且它的運(yùn)算又是以文獻(xiàn)1中近似法的結(jié)果為基礎(chǔ)的.當(dāng)文獻(xiàn)1中近似法的結(jié)果失效時,文獻(xiàn)2中近似法的結(jié)果也將失效.文獻(xiàn)3將kitsch解中的圓孔半徑代之以等壓時的彈塑性交界線(圓)的半徑,將所得

3、的應(yīng)力分布作為彈性區(qū)的應(yīng)力分布,導(dǎo)致在等壓時的彈塑性交界線處徑向應(yīng)力為零.顯然,這與實(shí)際不符.巷遘在開挖前后,周圍巖石的彈性應(yīng)力分布有很大的變化.在巷道周界附近區(qū)域進(jìn)入塑性狀態(tài)前后,圍巖的應(yīng)力分布也將發(fā)生改變.在塑性區(qū)域出現(xiàn)后,若不考慮塑性醫(yī)對彈性區(qū)應(yīng)力分布的影響,其計算結(jié)果的有效性是無法保證的.本文運(yùn)用攝動法給出兩向不等壓作用下圓形巷遣圍巖彈塑性問題的二階攝動解答.本文的研究結(jié)果表明,彈塑性交界線形狀類似于橢圓,并隨著內(nèi)摩擦角增大更接近于圓形,而不是如文獻(xiàn)1,2中近似法所指出的那樣交界線沿45.方向向外擴(kuò)展.關(guān)于攝動解的有效性,本文也作了簡要的討論.二,問題與求解考慮圓形巷道在遠(yuǎn)離巷道周界處

4、受兩向不等壓力作用(圖1).圖中為任意小參數(shù),印作者理工作單位:清華大學(xué)工程力學(xué)系.期磷日期:1989年7月lo日-0<81.巷遣較深,巖土工程l990車_按平面應(yīng)變問題處理.采用極坐標(biāo)系,如圈2所示.假設(shè)拉應(yīng)力為正由應(yīng)力變換公式可知,在遠(yuǎn)離巷道周界處的應(yīng)力邊界條件為;.=一-q1gsc.s.1qein20jt,ii=:一圖1巷道受力情況固2象用曲極坐標(biāo)系考慮在圓孔附近有一環(huán)狀塑性區(qū),其應(yīng)力分布可直接通過平衡微分方程,庫侖屈服條件阻及孔邊應(yīng)力邊界條件求也.因此,該問題可化為在塑性區(qū)應(yīng)力分布已知的情況下確定彈性區(qū)的應(yīng)力分布及彈塑性交界線的問題.(一)塑性區(qū)的應(yīng)力螺答平衡微分方程為一-+gr

5、-ct:09+.+.,:.庫侖屈服條件為(rp):十4fr.十(r+日)sin=2cc0s其中c為粘聚力,為內(nèi)摩擦角.圓孔的應(yīng)力邊界條件為rir.r0=0,tr?i.=o顯然式(4)與d無關(guān),由于塑性區(qū)的應(yīng)力解答只與內(nèi)邊界條件有關(guān),力的問題屬于軸對稱問題.此時tr日0其余應(yīng)力分量只是坐標(biāo)r的函數(shù).由式(2)一(5)容易求得塑性區(qū)的應(yīng)力分量為=一cci()一1r=一gii_一if:一c()-1cctg11:一l(+)i.j.)frp:0/(4)可見在理性區(qū)內(nèi)求解應(yīng)(5)(6)第4期魏廣兩向不等壓作用下圓形巷道彈塑性分析攝動解其中=2sincv(1一sln)為了區(qū)別于彈性區(qū)應(yīng)力的表達(dá)方式,在塑性區(qū)

6、直力分量的上方加記號().(=)彈性匹應(yīng)力廈彈塑性交界錢的攝動解1.彈性區(qū)問題的提法用應(yīng)力函數(shù)(r,日)表示的基本方程為(+)=o11ararr2一0ar.一:一()一一_ar,無窮遠(yuǎn)處應(yīng)力邊界條件見式(1).彈塑性交界線廠處的應(yīng)力連續(xù)條件為,:i,:,13(7)(8)(9)其中n,分別表示彈塑性交界線廠的法線和切線.由所考慮的理想彈塑性材料殛式(9)可知lr:!r(10)再由應(yīng)力變渙公式及式(9),(10)可給出用坐標(biāo)應(yīng)力分量表示的彈塑性交界線廠處的應(yīng)力連續(xù)條件為l:1,i,:囂另外,為了確定彈塑性交界線廠,我們還必須給出在廠處(r=rr)彈性應(yīng)力分量也直滿足庫它伺服條件的表達(dá)式,即(一日)

7、-i-4fr日.+(r4-日)5in廬=2cc0s(18)用攝動法求解.設(shè)問題的解答形式為,:(;,+.,+.-.r=r十r十8r十:i-i-l=le0+0l2fr8fr0+e2fr04-:(r)+e(r,)+=;(r,日)+.r=ri-月l()4-ert(日)+(13)14巖土工程式(13)中最后一式為彈塑性交界線的攝動表述式.式中的月為s=(圓)半徑,b,月為待定函數(shù)(在求解過程中定出).將式(13)代入式(8)(1)(11)及(12),對比e備次冪的系數(shù),邊各有關(guān)多項(xiàng)式舍取項(xiàng)數(shù)的具體情況分別表述如下.(1)e.階問題基本方程0時對應(yīng)的彈塑性交界線可將聞題按式(13)各式右(嘉+).,:,

8、0定解條件(毒0)+(+)sin,.r:.s(2)8階問題基本方程的形式與式(8)完全相同,只是在各變量上方標(biāo)出1.定解條件當(dāng)r=r1+b月l(),有o】i)r+er(15)1】1扣(1+cos20),童qsin2口(16)在上式中保留b.改項(xiàng),是由于彈塑性交界線的s階修正使得逸些項(xiàng)對e次項(xiàng)有影響(3)e階問題基本方程的形式與式(8)相同,只是備變量上方標(biāo)出2定解條件口rir=0,fra=0當(dāng)r=rd+erl()+8r.(口)有梅r_rll=*r_rrrr00socc2=nsr+一8+no+ro0ii.:一0第4期魏說廣:兩向不等壓作用下圓形巷道彈塑性分析攝動解l50i)r+sr+s2rr】2

9、sfr+sfr5=fr6o(,一)+(,+o.e)sin4+s(,一)+(,+)sin4,1i(,一口)+(,+i+si(r一d)+(,+口)i+si(o-r一)+(r+adsin+2f:,_/(ix,一)j=2ccos(4)階問題s.階等情況的問題,亦可仿照上述程序提出.2.問題的解答(1)求解s.階問題s=0對應(yīng)等壓軸對稱問題,容易求得其應(yīng)力解答為,=一(ar一z)=一(+警)月:r.(+1tgq)(n)l式中a=sin+詈c.的表達(dá)由式(7)描述.(2)8階問題的解答將式(17)等號兩邊在r=月處展成泰勒級數(shù),令e次項(xiàng)的系缸相等,則月()善(ii.,fr4irp=0i腳)=一r一(,+n

10、/舌.【cn)r.r一將已求得的解答代人上式并化簡,可得,im.1rfl:.!,:c0,咖r_rj(19)(20)(21)(22)(23)l6巖士工程學(xué)攫lg9o觀察式(16)及式(23)的前兩式,可設(shè)=,:(r)+,(r)c.s2日,代入式(8)的第一式,一得到求解,(r)及,=(r)的兩個常微分方程,解方程求得,及,后得到,再代人式(8)的后三i式并由邊界條件式(16)及式(23)的前兩式,可得r一;(一)一(一警+).嗍=一(+筍)+善(+等)c.i:;(+警一)snz冉將上式代入式(23)的求一式可求得l(日)=o(12eos20)其中=詈(1一sin)/(gsjn+cc05)(3)階

11、問題的解答分別將式(19)兩邊在r=月處展成泰勒級數(shù),令e次項(xiàng)的系數(shù)相等,可得.:z告(一呂,)+吾等(一)一卵trir2lr.=一rr一cr+inr-r=一rr.嘉一+cs卜:霧一(;,+毒)sin+rr齋(,一(,+z(呂,一將已求得的解答代入上式并化簡,則有,l:肋(;一2c.s2日+c0s硼)f2日i,.r:一4g#(sia28一sin4日)1一tta)+(,+(24)(25)(26)(27)(28)第4期巍悅廣:兩向不等壓作用下圓形巷道彈塑性分析攝動解17一譬f+sinb)3+sinch)c.s2012(一sin)l+2(5_sjn.s40觀察式(8)及式(28)的前兩式,可設(shè)應(yīng)力函

12、數(shù)的形式為:日l(r)+口.(r)c.s20+ga(r)c.s4口將其先代入式(8)中第一式可求出g,g.,然后代入第二至第四式并利用邊界條件式(18)廈式(28)前兩式,求出8階的應(yīng)力分量為,=肋等一.島qcos20(一等+3r4)一島ax(一10rb)c.s=一缸謄州肋r4cosz.(.罟)a(29)2.(等一s)s島a(.一s手)i再將上式代入式(28)第三式得日)=一2i(5+sjn)+4(1-3sin扯.s2日3-5sin)c.s4(30)至此,已經(jīng)得到圓形巷遒在遠(yuǎn)離巷道周界受兩向不等壓作用時,彈塑性問翹i包括應(yīng)力及彈塑性交界線的=階攝動解答.8o階的彈塑性交界線r為ri=r考慮e階

13、小量修正的彈塑性交界線廠為f=ri+i(口)(32)考慮到s階小量修正的彈塑性交界線廠為r=r1+eri(日)+月2(日)(33)式中月,月(日)及r(口)分別由式(20)第三式,式(25)及式(30)確定.算甜1由兩種計算方案計算出彈塑性交界線.由子彈塑性交界線關(guān)于,軸對稱,只取四分之一區(qū)域進(jìn)行計算.一些特殊點(diǎn)的位置坐標(biāo)如表1所示,箍出兩種方案,彈照性交界線圖形如圖3所示.巖土工程l1彈量性交界螋位置(rf)數(shù)據(jù)寰計算條件f0一1530一56075901.42811.428l1.42811.42811.42811.42811.46181.4951.52011.52921.42:l1.4e66

14、1.48991.51481.5240方案2.o1.84031.84031.84031.84031.84031.84031.8403廠=3o.c2.45mpa1.76191.78291.84031.91871.99722.05462.0756g=24.5mpa廠e=0.2l1.75351.7201.82361.89701.97382.03212.05390=lm廠往:衰中,c取值與文獻(xiàn):1算鍘的取值耜同,rr/mw.圖3攝動解的彈塑性交界線算啻l2對于兩向不等壓作用下含圓孔無限大平面,在tresca屈服條件及mises屈眼條件下彈塑性交界線為一橢圓(此時兩個屈服條件具有完壘相同的形式).tres

15、ca屈服條件沒有考慮應(yīng)力第一不變量對屈服的影響.而庫侖屈服條件則考慮了這一效應(yīng),從本文的結(jié)果可看出,庫侖屈服條件下彈塑性交界線也類似于橢圓.下面以文獻(xiàn)5中給出的三組口/值為例(口=,=(,/a)一1),討論上述兩個屈服條件下彈塑性交界線形狀的差異(口/在庫侖屈服條件時對應(yīng)q/2c)o對比兩種情況下橢圓的長短軸比值:a/b,見表2.通過上述兩個屈服條件下的計算數(shù)據(jù)比較可知,由于庫侖屈服條件考慮了第一應(yīng)力不變量對屈服的形響,使得彈塑性交界線的形狀為接近予圓形的橢圓.巖石的內(nèi)摩擦角禽大,共第d期魏_兌廣:兩向不等壓作用下圓形巷道彈塑性分析攝動解彈塑性交界線與圓愈接近.衰2兩種準(zhǔn)一下艟曩i蓐鼻曩性交界

16、線長短軸比(a=詈)對廂衰屈服準(zhǔn)則去_1.4旨_1.3去=1.2(.)=0.0714e=0.1538e=0.280001.22231.50001.8571151.05981.18981.3l15201.07071.15021.2404251.05891.1l8l1.1879301.0d431.09831.1478庫侖351.08871.07371.1104401.o2771.05801.0868451.02161.o462501.0106三,結(jié)語本文在庫侖屈服條件下,用攝動法處理了兩向不等壓作用下圓形巷道的彈塑性問題.通過本文方法的結(jié)果與以往近似法的結(jié)果比較,大體有以下結(jié)論.1.本文是以彈塑性

17、問題的基本方程,邊界條件殛彈塑性交界處的應(yīng)力連續(xù)條件為基本出發(fā)點(diǎn)的,采用攝動法逐階給出攝動解答.這樣則可將誤差限制到一個極小量級之內(nèi).而以往的近似法則是憑借彈性解的結(jié)論,預(yù)先假設(shè)彈塑性問題彈性區(qū)的應(yīng)力分布符合kitsch解的形式,彈塑性交界線的計算也是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的,這樣做究竟會引起多大的誤差是不清楚的.2.由攝動理論可知,攝動船答為一漸近展開武,往往只需取其前面幾項(xiàng)(一般取劐階項(xiàng),其絕對誤差與es階項(xiàng)同量級)就能得到令人相當(dāng)滿意的結(jié)果.因?yàn)閿z動漸近展開式的系數(shù)值一般隨著項(xiàng)數(shù)的增加而遞減得相當(dāng)快,所以即使?jié)u近級數(shù)不收斂,取攝動解的前幾項(xiàng)也是有效的.在0<e<1的情況下,漸近級數(shù)是

18、收斂的,攝動解答的有效性尤其突出.有時甚至在e>l的情況下攝動解法也是有效的.筆者給出在tresca屈服條件下,用攝動法處理圓洞受兩向不等壓作用的彈塑性問題,所得二階攝動結(jié)果與精確解相比誤差極小.當(dāng)攝動參數(shù)高達(dá)0.5348時,=階攝動船的誤差也不超過2?5.本文的結(jié)果指出,兩向不等壓作用下圓形巷遘圍巖彈塑性問題彈性區(qū)的應(yīng)力分布不符合kirsch解的形式,以往的近似法誤差是很大的.筆者在此對我院陳子蔭教授的支持和幫助表示衷心感謝i巖土工程1890暈參考文獻(xiàn)1h.卡斯特紊,隧道與坑道靜力學(xué),上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,198o,p.120.2子學(xué)馥等,地下工程圍巖穩(wěn)定分析,第八章,煤炭工業(yè)出版社,1

19、983.9嚴(yán)克強(qiáng),不對稱荷載作用下圜洞圍巖塑住黑的估算方法,巖圭工程,voi.4,no.2.1982,p.5d.4鄭穎人,圜彤洞室圍巖塑性區(qū)應(yīng)力和邊界線的近似計苒,地下工程,no.9,1980,pp.卜75rae,.a.,nmoc髓ynpyroact:ieceahaaa,nphkaeaateat;iaeme=a-gka,t0mx,1946,p.63.6nuyfeh,a.h.pertarbatloamfho出,wiley,newyork,1973.7chlen,w.z.,chinesej.physics,vo1.7,no.21947,p.102.b魏悅廣,tresea準(zhǔn)則下圈洞受兩向不等壓作用的攝動解,曉用數(shù)學(xué)和力學(xué),待發(fā)表.perb?rat!onsolutionsforelastopasticanalysisofcirculartunnelunderunequal