超對稱可積系統(tǒng)的玻色化和精確解畢業(yè)論文

1、畢 業(yè) 論 文2013屆 超對稱可積系統(tǒng)的玻色化和精確解 學生姓名 學 號 09103118 院 系 數(shù)理信息學院 專 業(yè) 物理學 指導教師 完成日期 2013年5月25日 超對稱可積系統(tǒng)的玻色化和精確解摘 要 在量子場論和非線性方程中，運用超對稱幾乎是同時進行的。非線性方程進行超對稱化擴展后擁有的特性是在超對稱變換下系統(tǒng)不變并且在費米場趨向于零時回歸到普通方程，進行超對稱化擴展的非線性方程是一個玻色場和費米場相耦合系統(tǒng)。超對稱方程的重要性已經(jīng)在眾多學者從物理學領域中進行的相關研究里得到充分體現(xiàn)。對超對稱方程進行玻色化可以避開因常規(guī)方法在處理棘手的反對易費米子領域時所遇到的困難。 本文首先介紹

2、skdv方程和sito方程，然后逐步引出兩、三個費米子參數(shù)的玻色化skdv方程和sito方程，最后得到n費米子參數(shù)的玻色化skdv方程和sito方程。并對這些玻色化的超對稱方程利用形變映射法構造其精確解。關鍵詞 超對稱方程；玻色化；行波解bosonization supersymmetric integrable systems and the exact solutionabstract in the quantum field theory and nonlinear equations, using the supersymmetry is almost at the same time

3、.the characteristics of nonlinear equations are supersymmetric extensions with the supersymmetry transformation system unchanged and in the fermi field tends to zero return to ordinary equation,for the nonlinear equation of supersymmetric extensions is a bose and fermi field coupled system.fully ref

4、lected the importance of the research of supersymmetry equations have been carried from the field of physics in many scholars. for bosonization of supersymmetry equations can be avoided for the conventional method in the treatment of intractable anticommuting fermion fields encountered difficulties.

5、 this paper first presents the skdv equation and sito equation,then gradually raises the two or three fermion parameter bosonization of skdv equation and sito equation, the n fermion parameters obtained the bosonization of skdv equation and sito equation.and these bosonization supersymmetry equation

6、s using the mapping method to construct the exact solution.key words supersymmetry equations;traveling wave solutions;bosonization目 錄中文摘要i英文摘要ii目錄iii引言11. 兩費米子skdv方程和sito方程的玻色化研究31.1 兩費米子情況下skdv方程和sito方程的玻色化31.2形變映射法構造skdv方程和sito方程的精確解42. 三費米子skdv方程和sito方程的玻色化研究72.1三費米子情況下skdv方程和sito方程的玻色化72.2形變映射法構

7、造skdv方程和sito方程的精確解83. n費米子skdv方程和sito方程的玻色化研究113.1 n費米子情況下skdv方程和sito方程的玻色化113.2 形變映射法構造skdv方程和sito方程的精確解134. 結論14參考文獻14致 謝16引言 作為一門基礎學科的非線性科學主要研究一些在非線性現(xiàn)象中所體現(xiàn)出的共同性質。從二十世紀六十年代以來，非線性科學從相關以非線性為特征的分支學科的基礎之上進行了逐步發(fā)展。非線性科學被譽為是本世紀自然科學繼相對論、量子力學之后的“又一次大革命”。非線性科學所涉及到的學科范圍之廣是令人驚嘆的，自然和社會科學各個領域都能發(fā)現(xiàn)的非線性科學使得人們對現(xiàn)實世界

8、的傳統(tǒng)看法得到顛覆性的改變。對非線性科學的研究不但在自然科學上有重大的意義，而且對社會科學中相關決策國計民生和利用人類生存環(huán)境等問題上也有著不可估量的實際意義。物理學中，非線性的相關問題出現(xiàn)已久。在過去，物理學中研究動力學問題都局限于容易求解的線性系統(tǒng)，然而實際的自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象的動力學規(guī)律都需要利用非線性的方程來表示。線性系統(tǒng)所常用的疊加法在非線性系統(tǒng)中想要解決問題是如此困難以致在更多的情況下完全是無效的。在諸多學者對非線性方程的大量研究下，目前，解析方法和數(shù)值方法成為了用于求解非線性微分方程的重要手段。隨著上個世紀六十年代計算機技術的迅猛發(fā)展，人們可以比較簡便的用數(shù)值方法求得一般非線性方

9、程的精確解。相關的非線性方程內容在物理領域中也隨著研究的深入而逐漸豐富。在量子場論和非線性方程中，運用超對稱幾乎是同時進行的。非線性方程進行超對稱化擴展后的特點是在超對稱變換下系統(tǒng)不變并且在費米場趨向于零時回歸到普通方程。物理領域中，玻色子和費米子具有不同的自旋以及不同的統(tǒng)計性質說明了超對稱并不是將一個玻色場和一個費米場進行簡單的結合，進行超對稱化擴展的非線性方程是一個玻色場和費米場相耦合系統(tǒng)。超對稱方程的重要性已經(jīng)在眾多學者從物理學領域中進行的相關研究里得到充分體現(xiàn)。對非線性方程超對稱化的研究首先起源于二十世紀七十年代初期由理論物理學家提出的統(tǒng)一場論，隨后逐漸發(fā)展起來的超分析、超幾何、超代數(shù)

10、理論都是由數(shù)學家基于前者進行的。隨著現(xiàn)代科學研究正進行著迅猛發(fā)展，近40年以來，人們已經(jīng)得到了多個超對稱化的可積的非線性方程，比較著名的有korteweg-de vries(kdv)方程,modified korteweg-de vries(mkdv)方程，sine-gordon方程1，ito方程以及經(jīng)典boussinesq方程2。其中超對稱kdv(supersymmetric kdv)方程是已經(jīng)被人們廣泛研究一類重要的有許多超對稱推廣的系統(tǒng)。它是荷蘭數(shù)學家korteweg和他的學生de vries在1895年研究淺水波運動時所得到的，同時發(fā)現(xiàn)的skdv方程孤立解證明了相應孤子理論的正確性。s

11、kdv系統(tǒng)具有painlev屬性3，是雙hamilton結構4,5，它能夠進行darboux變換6，它具有雙線性形式， backlund變換（bt），lax對和無窮多守恒定律等性質。求解超對稱方程精確解的方法并不是唯一的，如今發(fā)展起來的hopf-cole變換、逆散射法7,8、雙線性hirota方法9 、齊次平衡法、backlund變換法、darboux變換法、常系數(shù)riccati展開法和tanh函數(shù)法、dressing方法等都是比較經(jīng)典的求解方法。其中雙線性hirota方法是由hirota為了求出kdv方程的多孤子解而在1971年發(fā)展起來的一種方法，現(xiàn)已經(jīng)成為求非線性偏微分方程孤子解最普遍的方

12、法。雙線性hirota方法適用于方程組中多個方程的多孤子求解。這種方法主要將方程通過變量代換化為雙線性方程，然后運用攝動理論尋找該方程的孤子解。然而，由于反對易的費米領域會帶來一些在處理超對稱方程的困難，得到超對稱系統(tǒng)的精確解比純玻色子系統(tǒng)困難得多。正基于此，安德列等人將超對稱方程進行玻色化來獲得新的可積的玻色系統(tǒng)，如玻色化的supersymmetric kdv(skdv)方程，supersymmetric ito(sito)方程。其本質就是得到消去了費米子的方程組，從而避開反對易費米領域。使得方程的求解簡化。 n = 1時skdv方程的形式， （0-1） 通過擴展經(jīng)典的時空（x，t）建立一個

13、超時空（，x，t），其中是格拉斯曼變量，u是一個費米子場。 （0-2）這導致了一個非平凡的結果 (0-3)其中 是協(xié)變導數(shù)，方程（0-3）成為： （0-4） （0-5）其中u和是玻色子和費米子各自組成的領域，在公式（0-4）(0-5)中消去，這仍然是通常的經(jīng)典的kdv方程。眾所周知的ito方程為: (0-6)這是第一次提出的ito方程和它的雙線性backlund變換，lax對和多孤子等得到的解決方案10。由于ito方程具有一個孤立子方程的典型特性，大量對ito方程的研究已經(jīng)進行。這個可積的方程，如kac-moody代數(shù)、雙hamilton結構、非線性疊加公式可積等性質得到了進一步的發(fā)現(xiàn)。最近，

14、超對稱ito方程的一個，兩個和三個孤子解已經(jīng)得到。n=1時slto方程為： （0-7）其中是協(xié)變導數(shù)。它是在通常的空間變量（x，t）上所建立的超時空變量（，x, t），是格拉斯曼變量，u是一個費米場。組件（0-7）的版本成為： （0-8） （0-9）其中u和分別是玻色子和費米子組件領域。當費米子領域消失，超對稱系統(tǒng)就退化為已知的經(jīng)典方程（0-6）。本文下面章節(jié)將逐步引出兩個和三個費米子的玻色化skdv方程和sito方程，最后得到n個費米子參數(shù)的玻色化skdv方程和sito方程。并對這些玻色化的超對稱方程利用形變映射法構造其精確解。1. 兩費米子skdv方程和sito方程的玻色化研究1.1 兩費

15、米子情況下skdv方程和sito方程的玻色化 首先，在kdv方程中，對和u的組件領域的形式擴展為 （1-1） （1-2）是兩個格拉斯曼參數(shù)，而系數(shù)pp（x，t），qq（x，t），（x，t）和 （x，t）是相對時空（x，t）四常用的復雜的功能變量，然后skdv系統(tǒng)（1-1）（1-2）改為 （1-3） （1-4） （1-5） （1-6） 這是在兩費米子參數(shù)情況下的玻色化skdv系統(tǒng)（1-3）-（1-6），式（1-3）正是通常的已被廣泛研究的kdv方程。式（1-4）和（1-5）分別在p和q均勻時是線性的，在式（1-6），是線性非齊次的。因此，在原則上，這些方程可以容易解決的。這是玻色化方法解決skd

16、v方程的一個優(yōu)點。 對ito微分方程的超對稱擴展是一個交換耦合方程系統(tǒng)和反對易的領域。為了避免在處理超對稱方程費米子場反交換的困難，擴展組件領域和兩個費米子參數(shù)的u。 （1-7） （1-8） 其中是兩個格拉斯曼參數(shù)，而參數(shù)，和是相對于時空變量x和t四常用或復雜的函數(shù)。然后，將（1-7）-（1-8）替代到ito系統(tǒng)（0-8）-（0-9），我們得到的方程： （1-9） （1-10） （1-11） （1-12）上面的方法只是兩個費米子參數(shù)情況下對lto系統(tǒng)（0-8）-（0-9）的玻色化程序。方程（1-9）正是通常已經(jīng)被廣泛的研究的ito微分方程11-13。方程（1-10）（1-11）分別在和是線性的

17、，均勻的。在方程（1-9）-（1-12）是線性非齊次方程。這些方程原則上通常是可以輕松解決的純玻色子系統(tǒng)。這是玻色化方法的優(yōu)點所在。1.2形變映射法構造skdv方程和sito方程的精確解首先考慮純玻色方程（1-3 ）-（1-6）的行波解。其行波變量，其中k，和為常數(shù)，（1-3）（1-6）轉化為常微分方程（ode）系統(tǒng) （1-13） （1-14） （1-15） （1-16） 備注：行波在超空間=，與在那些通常的時空 x，t ，格拉斯曼常數(shù)是不同的。此后，行波解的討論只在通常的時空 x，t 而不在超空間 x，t，。顯然，式（1-13）是眾所周知的行波化的kdv方程的周期波解，包括孤波的解決方案。為

18、了解決ode系統(tǒng)（1-13）（1-16），我們嘗試建立行波解的經(jīng)典的kdv方程和skdv方程之間的形變映射關系，然后構造skdv方程和kdv方程的精確解。首先從式（2-7）解決。結果表示為 (1-17)其中和為兩個積分常數(shù)，=1。唯一的非齊次線性常微分方程（1-16）可以一次直接集成，成為 (1-18)其非齊次項 (1-19)其中是一個積分常數(shù)。為了得到p，q和的映射關系，我們介紹變量變換如下 (1-20) 使用轉換（1-20），通過等式（1-17）消除，該線性常微分方程（1-14）（1-15）以及（1-18）改為 （1-21） （1-22） (1-23)其中 (1-24) 在此基礎上，構造形

19、變映射關系為 (1-25) (1-26) 其中是任意的常數(shù)，而且有如下方程 從（1-25）-（1-26）的關系，為得到的解決方案可以從式（1-23）作為 (1-27)其中和是兩個積分常數(shù)。因此，我們得到一般的兩個費米子參數(shù)的skdv系統(tǒng)的行波解 * (1-28) (1-29)是通常為已知的kdv方程的解。 現(xiàn)在考慮玻色化sito方程（1-9）-（1-12）的行波解。介紹行波變量與常數(shù)k，和，（1-9）-（1-12）轉化為普通微分方程（組） （1-30） （1-31） （1-32） （1-33） 為了求得（1-30）精確解，我們試圖建立一般ito方程和sito方程之間的行波解的映射和形變的關系，

20、然后去與已知的ito方程解決方案結合得到方程的精確解。 首先，從（1-30）解出 （1-34） 為了簡化（1-33），我們將線性非齊次方程整體化一次 （1-35） 為積分常數(shù)。為了得到的，的映射關系，我們引入了變量變換如下 （1-36） 使用轉換（1-36），通過（1-34）消去，線性常微分方程（1-31）-（1-32）以及（1-35）成為 （1-37） （1-38） （1-39） 其中 （1-40） 通過（1-37）-（1-40）構造形變映射關系 （1-41） （1-42） （1-43） 是任意常數(shù)。在（1-43）可以通過得到的解。如果我們知道的解，再考慮（1-41）-（1-43），（1-3

21、6）和（1-24）-（1-25），那么兩個費米子參數(shù)系統(tǒng)的行波解都會得到。在這里，我們列出一個解決方案為例。的解決方案可以使用（1-34）表示為如下形式 （1-44）替代（1-44）到（1-41）-（1-43）并且組合（1-36）和（1-7）-（1-8），我們可以得到的sito系統(tǒng)的解決方案。2. 三費米子skdv方程和sito方程的玻色化研究2.1三費米子情況下skdv方程和sito方程的玻色化 對于skdv方程，在三格拉斯曼參數(shù)和的情況下，和u的領域擴展為 （2-1） （2-2） 其中的系數(shù)，pipi（x，t）（i1，2，3，4）和u，u（x，tj）（j = 0，1，2，3）是八個真實的或

22、復雜的玻色函數(shù)的顯示變量。然后skdv系統(tǒng)（1-7）（1-8）改變?yōu)?（2-3） （2-4） （2-5） (2-6)正是類似于以前的案例，系統(tǒng)（2-3）（2-6）也沒有費米子數(shù)量。此外，方程（2-3）正是kdv方程。其余七個方程的線性分別為和。它的方程數(shù)量被觀察到非均勻的增加，使尋找這種玻色子的skdv系統(tǒng)有些復雜。 對于sito方程，在三格拉斯曼參數(shù)和的情況下，構件和u的領域擴大為 (2-7) (2-8)是格拉斯曼參數(shù)，是八個常用函數(shù)，則sito方程變?yōu)?(2-9) (2-10) (2-11) (2-12)方程（2-9）-(2-12)是三費米參數(shù)的玻色化sito系統(tǒng)。2.2形變映射法構造sk

23、dv方程和sito方程的精確解 首先考慮玻色化的skdv方程，行波變量，其中k，和為任意常數(shù)，玻色系統(tǒng)（2-3）-（2-5）成為 (2-13) (2-14) (2-15) (2-16)式（2-13）和（1-34）是一樣的這是很明顯的，而方程組（2-14）（2-16）類似于（1-35）（1-36）。最后一個方程的左邊系數(shù)與方程組（2-14）（2-16）一致，但它的右邊和相關，不一定為零。為了解決常微分方程組（2-14）（2-16），以下的方法在上一節(jié)中曾經(jīng)采用，我們首先解決和。整合非齊次常微分方程（2-15）（2-16）一次，我們有 (2-17) (2-18) (2-19)其中和為常數(shù)?？紤]到變

24、量變換 (2-20)以及使用（2-20）消除，我們可以將常微分方程（2-14）（2-16）和（2-17）化為， (2-21) (2-22) (2-23)其中 (2-24) (2-25)重復最后一段過程，一般可以得到三個費米子參數(shù)skdv系統(tǒng)的行波解 (2-26) (2-27) (2-28)其中是任意常數(shù)，并且。 現(xiàn)在要得到玻色化sito方程（2-9）-(2-12)的行波解。先介紹行波變量，（2-9）-(2-12)轉化為常微分方程 (2-29) (2-30) (2-31) (2-32)利用在上一節(jié)中所采用的方法，我們可以獲得非齊次微分方程（2-33）-（2-34） (2-33) (2-34)是任

25、意的常數(shù)。我們利用變量變換方法進行如下的考慮 (2-35)通過（2-35）變換和消除，線性常微分方程可以由（2-29）變?yōu)?(2-36) (2-37) (2-38)其中 (2-39)一般三費米子參數(shù)的行波解可以通過（3-41）得到 (2-40) (2-41) (2-42)是任意常數(shù)。3. n費米子skdv方程和sito方程的玻色化研究3.1 n費米子情況下skdv方程和sito方程的玻色化 對于n2個費米子的參數(shù)的skdv系統(tǒng)，組件域和u可以擴大為 (3-1)其中和的系數(shù)為實數(shù)或復數(shù)的經(jīng)典時空變量（x，t）的玻色函數(shù)。替代式（3-1）為skdv模型，我們得到以下的玻色系統(tǒng)的方程 (3-2) (

26、3-3) (3-4)其中變換算符為 現(xiàn)在考慮n2費米子參數(shù)的sito系統(tǒng)。其組件域和u可以展開為 (3-5) (3-6)，的系數(shù)為實數(shù)或復數(shù)的經(jīng)典時空變量（x，t）的玻色函數(shù)。替代（3-6）為模型，我們得到以下的玻色系統(tǒng)的方程 (3-7) (3-8) (3-9)其中 (3-10)3.2 形變映射法構造skdv方程和sito方程的精確解 一般n個費米子參數(shù)的skdv方程的行波解可以寫為 (3-11)其中 (3-12) (3-13) (3-14) (3-15)其中代表kdv方程（4-2）的解。，是任意的常數(shù)。 一般n費米子參數(shù)sito方程的行波解可以寫為 (3-16)其中 并且 (3-17)代表一

27、般ito方程的解，是任意常數(shù)。4. 結論 由于超對稱系統(tǒng)所具有的的廣泛意義使得將非線性方程超對稱化成為了一項重要的工作。近年來，人們已經(jīng)得到了多個超對稱化的可積非線性方程：korteweg-de vries(kdv)方程,modified korteweg-de vries(mkdv)方程，sine-gordon方程，ito方程以及經(jīng)典boussinesq方程等。求解超對稱方程精確解的方法并不唯一，如今發(fā)展起來的hopf-cole變換、逆散射法、雙線性hirota方法、齊次平衡法、backlund變換法、darboux變換法、常系數(shù)riccati展開法和tanh函數(shù)法、dressing方法等都

28、是比較經(jīng)典的求解方法。但由于反對易的費米領域會帶來一些在處理超對稱方程的困難，得到超對稱系統(tǒng)的精確解比純玻色子系統(tǒng)困難得多。所以本文采用玻色化方法來研究skdv方程和sito方程從而避開反對易費米領域使求解簡化。 首先，本文介紹經(jīng)典的skdv方程和sito方程，然后引出兩個、三個和n個費米子的耦合玻色系統(tǒng)。該系統(tǒng)通常是微分方程和一些線性微分方程。接著利用形變映射法，得到了玻色化系統(tǒng)的精確解。不僅skdv方程和sito方程能夠進行玻色化擴展，其他超對稱方程也是可以利用這樣的玻色化擴展方法，mkdv方程和 schrodinger方程就是一個可以進行繼續(xù)研究的例子。通過玻色化過程所得到的結論與通過其他方法所得到的結論是完全不同的，如雙線性方法得到的結論。玻色化程序不僅能夠有效地適用于超對稱可積系統(tǒng)而且能夠適用于其他不可積的超對稱系統(tǒng)。該方法將是解決這些問題的強大的工具，今后在這些方面值得我們去學習和研究。參考文獻1 ablowitz m j, kaup d j, newell a c, etal. method for solving the sine-gordon equationj. phys. re