關(guān)于停車場(chǎng)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題[教學(xué)試題]

1、承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)院（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?/p>

2、 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 日期： 2013 年 11 月 2 日評(píng)閱編號(hào)(教師評(píng)閱時(shí)填寫)：教學(xué)#類別汽車車庫(kù)庫(kù)存的優(yōu)化方案摘要 本文研究的是關(guān)于汽車車庫(kù)庫(kù)存的問(wèn)題，通過(guò)分析汽車參數(shù)以及車庫(kù)數(shù)據(jù)，對(duì)車庫(kù)進(jìn)行合理的規(guī)劃，建立了傾斜泊車模型、單向排列模型、交叉排列模型，利用AutoCAD對(duì)以上模型進(jìn)行逐一的分析，分別回答了題目所給的所有問(wèn)題。 針對(duì)問(wèn)題一，首先分析了傳統(tǒng)平行泊車的弊端，平行泊車難度較大，需要司機(jī)較高的駕駛技術(shù)，因此，我們建立了傾斜泊車模型。查閱了相關(guān)汽車的資料并根據(jù)汽車的參數(shù)了解汽車的最小轉(zhuǎn)彎半徑。其次通過(guò)對(duì)車庫(kù)空間利用率以及道路通暢度的綜合考慮，我們認(rèn)為當(dāng)停

3、車位與通道成一定夾角時(shí)效果最佳，并利用最小的轉(zhuǎn)彎半徑求得極限角度。最后根據(jù)實(shí)際環(huán)境中的不確定因素，我們將停車位大小適當(dāng)進(jìn)行增加，大大提高了安全性。 針對(duì)問(wèn)題二，首先，根據(jù)題目中所給條件，即可以把車子先行調(diào)出，然后再調(diào)動(dòng)內(nèi)部的車，使內(nèi)部車輛可以駛出。為了進(jìn)一步提高車庫(kù)的利用率，我們決定設(shè)計(jì)一個(gè)去掉通車道，只保留消防車道的方案。其次，我們根據(jù)停車位不同的排列方式設(shè)計(jì)了兩種不同的模式，即單向排列模型及交叉排列模型。分別得出這兩種模型的函數(shù)關(guān)系式，再通過(guò)小轎車和商務(wù)車兩種車位所占面積，小轎車和商務(wù)車駛?cè)胪＼囄蛔罴呀嵌鹊惹闆r，分別計(jì)算出兩種模型各能停多少輛小轎車和商務(wù)車在車庫(kù)中。最后，我們對(duì)這兩種模型進(jìn)

4、行了比較，最終選擇交叉排列模型為最佳模型。 針對(duì)問(wèn)題三，我們通過(guò)問(wèn)題二的模型進(jìn)行了分析，由于條件三的改變，使得模型得到簡(jiǎn)化。由于車子的前輪可以90度轉(zhuǎn)動(dòng)，即小車的轉(zhuǎn)彎半徑可以忽略不計(jì)。再結(jié)合消防通道的設(shè)計(jì)，明確了車從車庫(kù)開(kāi)出的具體方向，設(shè)計(jì)了最優(yōu)化的調(diào)運(yùn)方案，使得調(diào)運(yùn)方案費(fèi)時(shí)最短。 最后就對(duì)本文模型建立的不足之處進(jìn)行剖析，并闡明了實(shí)際建設(shè)的停車場(chǎng)與理論設(shè)計(jì)的停車場(chǎng)的不同之處，需要具體問(wèn)題具體分析。關(guān)鍵詞：傾斜泊車模型 交叉排列模型 車庫(kù)利用率 安全性 教學(xué)#類別一 問(wèn)題的立意與背景1.1 背景資料： 由于生活質(zhì)量和收入水平的不斷提高，越來(lái)越多的城市居民有金錢基礎(chǔ)和購(gòu)車欲望。在最近幾年我國(guó)城市機(jī)

5、動(dòng)車的增長(zhǎng)速度平均在15%左右，一個(gè)新的私家車消費(fèi)高潮很快就要到來(lái)。隨著人們對(duì)汽車的需求量的增加，汽車制造商們也加快了汽車制造的步伐。而與此同時(shí)一個(gè)城市對(duì)汽車的需求量較大，故而需要一次性輸送一大批汽車。但是這所有的汽車不能在同一時(shí)間全部制造完成，汽車制造廠的車庫(kù)庫(kù)存問(wèn)題由此產(chǎn)生，如何解決好車庫(kù)庫(kù)存問(wèn)題，使車庫(kù)利用率最大化，對(duì)于工廠來(lái)說(shuō)有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。1.2 需要解決的問(wèn)題：如何利用已知的車庫(kù)大小來(lái)停放最多的車輛，即在滿足一定要求并符合國(guó)家安全條例的條件下，盡可能的提高倉(cāng)庫(kù)的利用率。1. 在保證滿足安全，道路通暢的條件下，通過(guò)車型的有關(guān)數(shù)據(jù)，建立模型，選擇最佳的車位形狀。提高倉(cāng)庫(kù)利用率。2.

6、 在滿足車輛無(wú)法調(diào)出時(shí)，可以先將阻礙的車輛開(kāi)出車庫(kù)外的情況下，建立模型，使得車庫(kù)利用率達(dá)到最大化。3. 在問(wèn)題2的解決情況下，假定汽車前輪可以左右轉(zhuǎn)動(dòng)90度，且車速相同。建立模型，使車庫(kù)四個(gè)角落的汽車全部開(kāi)出所需時(shí)間最小的方案。二 問(wèn)題的解決思路根據(jù)這個(gè)問(wèn)題的實(shí)際背景和現(xiàn)有的汽車參數(shù)數(shù)據(jù)，首先依據(jù)所查文獻(xiàn)中的汽車的相關(guān)技術(shù)參數(shù)及車庫(kù)的安全參數(shù)對(duì)車庫(kù)的車位形狀選擇的確定做定量的分析與綜合求解；然后依據(jù)求解的車位形狀，綜合所有因素，解出最后的終極方案。問(wèn)題1）首先通過(guò)查閱相關(guān)資料了解到汽車的主要運(yùn)動(dòng)原理，從而就轉(zhuǎn)彎半徑和輪距，汽車長(zhǎng)度的概念及數(shù)據(jù)，結(jié)合所求解得到的相關(guān)公式，根據(jù)理論分析和實(shí)際需求對(duì)

7、車庫(kù)的車位形狀進(jìn)行選擇。然后由于是兩種車型，故而需要通過(guò)分區(qū)域來(lái)停放。最后聯(lián)系安全隱患問(wèn)題最終確定車庫(kù)的庫(kù)存設(shè)計(jì)方案。問(wèn)題2）在不用考慮每輛汽車都能單獨(dú)調(diào)出的情況下，可以將所有的除消防車道以外的通車道撤去，增大車庫(kù)利用率，最后聯(lián)系安全隱患問(wèn)題最終確定車庫(kù)的庫(kù)存設(shè)計(jì)方案。問(wèn)題3）利用問(wèn)題二中建立的模型，再根據(jù)條件中給出的車輛前輪可以轉(zhuǎn)動(dòng)90度，結(jié)合消防通道的設(shè)計(jì)，明確四個(gè)角落的車輛開(kāi)出的方向。確定最優(yōu)化的調(diào)運(yùn)方案。三 基本假設(shè)1）假設(shè)每種汽車的大小結(jié)構(gòu)都是相同的，不同種汽車的大小不同，結(jié)構(gòu)相同。2）假設(shè)車子的車寬車長(zhǎng)都是固定不變的。3）假設(shè)存放車輛的司機(jī)的駕駛能力都是一樣的，屬于中等水平。4）假

8、設(shè)每輛車都能按規(guī)定停車，不超出車位線。5)假設(shè)汽車制造廠制造的大小車型的數(shù)量是一樣的。四 符號(hào)系統(tǒng)-汽車最小轉(zhuǎn)彎半徑-汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向中心到內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡-停車位的長(zhǎng)邊與通道的夾角 -通車道的最小寬度-停車位的縱向?qū)挾?-小轎車的長(zhǎng)度-停車位寬度 -小轎車車位寬度-商務(wù)車車位寬度 -停車位末端與消防車道之間的距離-停車位長(zhǎng)度 -小三角形頂點(diǎn)到虛線的距離-上下兩個(gè)停車位的斜向距離 -商務(wù)車車位長(zhǎng)度-除去消防車道后倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)度 -除去消防車道后倉(cāng)庫(kù)的寬度-小轎車車位長(zhǎng)度 -最頂端可以停放車輛的最大值-一列停車位的最大個(gè)數(shù) -多余空間總車位數(shù)量-最終空余的面積-多余空間的面積五 模型的建立與求解5.1

9、 車庫(kù)車輛泊位規(guī)劃模型（有通車道） 5.1.1 單輛車停車位最佳角度 由于考慮到問(wèn)題一中所有汽車都需要暢通無(wú)阻的開(kāi)出車庫(kù)，所以汽車從通道進(jìn)入車位一般得轉(zhuǎn)彎，在這里就應(yīng)該考慮到汽車的最小轉(zhuǎn)彎半徑。汽車轉(zhuǎn)彎半徑(RADIUS OF TURNING CIRCLE)就是指當(dāng)方向盤轉(zhuǎn)到極限位置時(shí),外側(cè)前輪軌跡圓半徑.轉(zhuǎn)彎半徑在很大程度上代表了汽車能夠通過(guò)狹窄彎曲地帶或繞開(kāi)不可越過(guò)障礙物的能力。我們查閱相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)不同大小的車型的最小轉(zhuǎn)彎半徑和長(zhǎng)寬并不相等，數(shù)據(jù)如下：車子的具體參數(shù)（單位：mm）車型長(zhǎng)/寬最小轉(zhuǎn)彎半徑小轎車4833/18105700商務(wù)車4930/18956300 可設(shè)車子的最小轉(zhuǎn)彎半徑為

10、，那么汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向中心到汽車內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡為，如下圖所示：車輛轉(zhuǎn)彎模擬圖 對(duì)于通暢考慮需要有一條邊是靠近通道的，為了使得該車位的小轎車自由進(jìn)出。要求出單輛車停車位最佳角度，我們?cè)O(shè)該矩形停車位的長(zhǎng)邊與通道的夾角為。為了留出通道空間及使得車庫(kù)利用率最大化。所以，我們需要假設(shè)該通道的所有車位都保持著與該車位相同的角度和距離平行排列，如下圖所示：車輛行駛路徑圖 車輛沿著箭頭方向行駛轉(zhuǎn)彎角度駛?cè)胲囄?。具體小轎車的行駛?cè)胲囄坏那樾稳缦聢D所示：車輛駛?cè)雸D 為通車道的最小寬度。小轎車從通車道以角度進(jìn)入停車位，所以通道的最小寬度。 在保證車輛能夠自由進(jìn)出的前提下，本著要求通道寬度盡量小的原則，每輛車均以角度

11、停放，用表示小轎車的寬度，用表示車輛長(zhǎng)度，考慮到消防安全問(wèn)題，所以根據(jù)汽車庫(kù)設(shè)計(jì)防火規(guī)范(GBJ67-84)中的下表所示：汽車與汽車之間以及汽車與墻、柱之間的間距注：當(dāng)墻、柱外有暖氣片等突出物時(shí)，汽車與墻、柱的間距應(yīng)從其凸出部分外緣算起。所以停車位的寬度應(yīng)比車輛的寬度要寬，用表示停車位的縱向?qū)挾?用表示停車位寬度，用表示停車位長(zhǎng)度，圖中上虛線分割停車位的小三角區(qū)域可以提供給上面或下面的停車位使用，表示停車位末端與消防車道之間的距離，表示小三角形頂點(diǎn)到虛線的距離。如下圖所示：所以可得關(guān)于的函數(shù)，且有：現(xiàn)在按照上圖所示，計(jì)算每輛車占據(jù)的停車位面積S（）。假設(shè)該排車位是無(wú)限長(zhǎng)的，可以忽略該排車位兩端

12、停車位浪費(fèi)掉的面積，因?yàn)樗鼈儽黄骄矫總€(gè)車位上去的公攤面積很小，可以不計(jì)。從車輛所占的停車位來(lái)看，它占據(jù)的面積是，另外，它所占的通道面積為。因?yàn)橐粋€(gè)通車道可以由兩排車位使用，所以我們得到 我們先求小轎車占用的停車位的最小面積，將、代入，可得求導(dǎo)可得所以當(dāng)即時(shí)，達(dá)到最小，分析表明，當(dāng)停車位與通車道夾角時(shí)可以使每輛小轎車占據(jù)停車位的面積達(dá)到最小。同理可得，當(dāng)停車位與通車道夾角為時(shí)可以使每輛商務(wù)車占據(jù)停車位的面積達(dá)到最小。5.1.2 僅有一種車型的全局車位排列 本著通道順暢的原則，我們所設(shè)計(jì)的通車道是單向的，由上得出與單向通道的夾角為，可使單位車輛占據(jù)的面積最小，此時(shí)寬度為R的單向通道可提供給兩邊的

13、停車位使用，通車道兩邊的停車位角度應(yīng)該相對(duì)，如圖1所示： 圖1 顯而易見(jiàn)，停車排數(shù)最多只能是通道數(shù)的兩倍，即：，當(dāng)按照一排停車位，一條通道，一排停車位這樣三排一組的形式加以組合，依次排列，此時(shí)。所以，車庫(kù)的形狀應(yīng)如圖2所示：圖25.2 車庫(kù)車輛泊位規(guī)劃模型（無(wú)通車道）5.2.1 車庫(kù)設(shè)計(jì)模型 在車輛無(wú)法調(diào)出時(shí)，可以先將阻礙的車輛開(kāi)出車庫(kù)外，在這種情況下，我們將空間的利用率進(jìn)一步提升，即將除消防車道以外的所有通車道省去。如下圖所示：圖3 亦或是如圖4所示：圖45.2.1 車庫(kù)設(shè)計(jì)優(yōu)化模型比較考慮到使車庫(kù)的利用率最大化，所以在這里我們需要比較圖3和圖4兩種車庫(kù)的車位規(guī)劃模型，選擇出最優(yōu)化的方案。先

14、討論圖3的模型，即單向排列模型。用表示除去消防車道后倉(cāng)庫(kù)的寬度，用表示除去消防車道后倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)度。可以看出，當(dāng)比較大的時(shí)候，停車位末端會(huì)與消防通道末端相隔較大的距離，這較大的距離所產(chǎn)生的空間，我們稱為多余空間。在這多余空間里，我們還可以設(shè)計(jì)放一些停車位使得車庫(kù)利用率最大化。如下圖所示：用表示上下兩個(gè)停車位的斜向距離，用表示一列停車位的最大個(gè)數(shù)，且為正整數(shù)，用表示最頂端可以停放車輛的最大值，表示模型一中最頂端可以停放車輛的最大值減去，用表示多余空間中，從下端開(kāi)始，每增加一列停車位，就經(jīng)過(guò)i行的停車位數(shù)量。用表示多余空間總車位數(shù)量?？梢粤谐鲆韵率阶樱? 用表示最終空余的面積，用表示多余空間的面積，得

15、出以下式子：最終的空余面積的表達(dá)式：再討論圖4的模型，即交叉排列模型：由圖可知，因?yàn)槊肯噜弮蓚€(gè)停車位所朝方向相同，我們不妨將這朝向相同的兩列車位設(shè)為一組，設(shè)其長(zhǎng)為a,其中,再分別計(jì)算出橫向及縱向可停車總數(shù)，設(shè)起分別為A,B，則，但是要注意的是，剩余距離的不同可能會(huì)影響結(jié)果，下面分不同情況討論：1） ，即縱向剩余距離足夠時(shí)，則可以再多停一列。2）如果4m，故而消防車道應(yīng)取為R。而由上面證明可知寬度為R的消防通道足夠使商務(wù)車通過(guò)5m的車庫(kù)門。 以一排停車位，一條通道，一排停車位為一組求出寬度:將具體數(shù)值代入可得，。由上可知寬度為200m的倉(cāng)庫(kù)真正可用的寬度需要減去消防通道的寬度4m，即真正寬度，同

16、理倉(cāng)庫(kù)真正可以用的長(zhǎng)度為。所以橫向可停小轎車的數(shù)量為,縱向可停小轎車的數(shù)量為，因?yàn)槭Ｓ嗑嚯x不足以增加小轎車位，故小轎車最終擺放為24行120列。同時(shí)我們可求出小轎車車位可改造為商務(wù)車車位最大數(shù)量為,故我們應(yīng)該設(shè)置為小轎車和商務(wù)車的車位數(shù)量分別為各12行，列數(shù)同為120列。所以得到車位的設(shè)計(jì)模型如下圖：5.4.2 問(wèn)題二、三的求解 問(wèn)題二條件中提到不用考慮每輛汽車都需要單獨(dú)調(diào)出，所以可以將所有的除消防車道以外的通車道撤去，我們建立了模型三、四來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。我們比較具體問(wèn)題中模型三和模型四哪一個(gè)更加優(yōu)化，選擇出最優(yōu)化的停車方案。關(guān)于模型三，我們需要得出一行停車位中最多可以放多少個(gè)小轎車停車位。將

17、數(shù)值代入公式，即一行最多可以放置97個(gè)小轎車停車位。再根據(jù)公式。求出一列停車位的最大個(gè)數(shù)個(gè)。根據(jù)，將代入可得，由于都是正整數(shù)，將代入得到當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，將以上運(yùn)算所得數(shù)據(jù)代入求得所以整個(gè)停車廠車位的總數(shù)目為個(gè)。關(guān)于模型四，因?yàn)槎际菍⒍嘤嗫臻g利用起來(lái)故而可以套用問(wèn)題一的形式，即橫向可停小轎車的數(shù)量為，橫向縱可停小轎車的數(shù)量為，即小轎車擺放為38行120列，另且,故多余的空間可多造的小汽車位為，所以停車廠總車位個(gè)數(shù)共為個(gè)。與模型三相比，停車位個(gè)數(shù)多于模型三。所以我們選擇模型四解決問(wèn)題二、三。同時(shí)我們可求出小轎車車位可改造為商務(wù)車車位最大數(shù)量為,故我們應(yīng)該設(shè)置小轎車和商務(wù)車的車位數(shù)量分別為各36

18、行和2行,其中小轎車有5行為121列，其余為120列，且商務(wù)車120列。 問(wèn)題三中，假定每輛汽車開(kāi)出倉(cāng)庫(kù)時(shí)的速度均相同，且汽車前輪可以左右轉(zhuǎn)動(dòng)90度，意味著汽車的橫著進(jìn)出停車位。而我們所要求的是將車庫(kù)4個(gè)角落全部開(kāi)出所需最少時(shí)間的調(diào)運(yùn)方案。根據(jù)汽車庫(kù)設(shè)計(jì)防火規(guī)范(GBJ67-84)，我們?cè)趩?wèn)題二所建立的模型中設(shè)置了消防通道，所以我們可以將車輛從消防通道中駛出車庫(kù)大門。即我們?cè)谶@里簡(jiǎn)化了問(wèn)題三。只需將四個(gè)角落的車子沿消防通道開(kāi)出便能達(dá)到最少的時(shí)間。如下圖箭頭所示：圖7六 對(duì)未來(lái)的展望 停車場(chǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)際上是一個(gè)比較復(fù)雜的非線性整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。首先我們將具體問(wèn)題理想化，建立了一般停車場(chǎng)大致可以參考的布局和模型，有利于問(wèn)題的簡(jiǎn)化性。其次，我們將多種模型進(jìn)行對(duì)比，使設(shè)計(jì)更加優(yōu)良。最后，我們對(duì)于利用率