關于停車場數(shù)學建模問題[教學試題]

1、承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）： 所屬學院（請?zhí)顚懲暾娜?/p>

2、 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 日期： 2013 年 11 月 2 日評閱編號(教師評閱時填寫)：教學#類別汽車車庫庫存的優(yōu)化方案摘要 本文研究的是關于汽車車庫庫存的問題，通過分析汽車參數(shù)以及車庫數(shù)據(jù)，對車庫進行合理的規(guī)劃，建立了傾斜泊車模型、單向排列模型、交叉排列模型，利用AutoCAD對以上模型進行逐一的分析，分別回答了題目所給的所有問題。 針對問題一，首先分析了傳統(tǒng)平行泊車的弊端，平行泊車難度較大，需要司機較高的駕駛技術，因此，我們建立了傾斜泊車模型。查閱了相關汽車的資料并根據(jù)汽車的參數(shù)了解汽車的最小轉彎半徑。其次通過對車庫空間利用率以及道路通暢度的綜合考慮，我們認為當停

3、車位與通道成一定夾角時效果最佳，并利用最小的轉彎半徑求得極限角度。最后根據(jù)實際環(huán)境中的不確定因素，我們將停車位大小適當進行增加，大大提高了安全性。 針對問題二，首先，根據(jù)題目中所給條件，即可以把車子先行調出，然后再調動內部的車，使內部車輛可以駛出。為了進一步提高車庫的利用率，我們決定設計一個去掉通車道，只保留消防車道的方案。其次，我們根據(jù)停車位不同的排列方式設計了兩種不同的模式，即單向排列模型及交叉排列模型。分別得出這兩種模型的函數(shù)關系式，再通過小轎車和商務車兩種車位所占面積，小轎車和商務車駛入停車位最佳角度等情況，分別計算出兩種模型各能停多少輛小轎車和商務車在車庫中。最后，我們對這兩種模型進

4、行了比較，最終選擇交叉排列模型為最佳模型。 針對問題三，我們通過問題二的模型進行了分析，由于條件三的改變，使得模型得到簡化。由于車子的前輪可以90度轉動，即小車的轉彎半徑可以忽略不計。再結合消防通道的設計，明確了車從車庫開出的具體方向，設計了最優(yōu)化的調運方案，使得調運方案費時最短。 最后就對本文模型建立的不足之處進行剖析，并闡明了實際建設的停車場與理論設計的停車場的不同之處，需要具體問題具體分析。關鍵詞：傾斜泊車模型 交叉排列模型 車庫利用率 安全性 教學#類別一 問題的立意與背景1.1 背景資料： 由于生活質量和收入水平的不斷提高，越來越多的城市居民有金錢基礎和購車欲望。在最近幾年我國城市機

5、動車的增長速度平均在15%左右，一個新的私家車消費高潮很快就要到來。隨著人們對汽車的需求量的增加，汽車制造商們也加快了汽車制造的步伐。而與此同時一個城市對汽車的需求量較大，故而需要一次性輸送一大批汽車。但是這所有的汽車不能在同一時間全部制造完成，汽車制造廠的車庫庫存問題由此產生，如何解決好車庫庫存問題，使車庫利用率最大化，對于工廠來說有著重要的現(xiàn)實意義。1.2 需要解決的問題：如何利用已知的車庫大小來停放最多的車輛，即在滿足一定要求并符合國家安全條例的條件下，盡可能的提高倉庫的利用率。1. 在保證滿足安全，道路通暢的條件下，通過車型的有關數(shù)據(jù)，建立模型，選擇最佳的車位形狀。提高倉庫利用率。2.

6、 在滿足車輛無法調出時，可以先將阻礙的車輛開出車庫外的情況下，建立模型，使得車庫利用率達到最大化。3. 在問題2的解決情況下，假定汽車前輪可以左右轉動90度，且車速相同。建立模型，使車庫四個角落的汽車全部開出所需時間最小的方案。二 問題的解決思路根據(jù)這個問題的實際背景和現(xiàn)有的汽車參數(shù)數(shù)據(jù)，首先依據(jù)所查文獻中的汽車的相關技術參數(shù)及車庫的安全參數(shù)對車庫的車位形狀選擇的確定做定量的分析與綜合求解；然后依據(jù)求解的車位形狀，綜合所有因素，解出最后的終極方案。問題1）首先通過查閱相關資料了解到汽車的主要運動原理，從而就轉彎半徑和輪距，汽車長度的概念及數(shù)據(jù)，結合所求解得到的相關公式，根據(jù)理論分析和實際需求對

7、車庫的車位形狀進行選擇。然后由于是兩種車型，故而需要通過分區(qū)域來停放。最后聯(lián)系安全隱患問題最終確定車庫的庫存設計方案。問題2）在不用考慮每輛汽車都能單獨調出的情況下，可以將所有的除消防車道以外的通車道撤去，增大車庫利用率，最后聯(lián)系安全隱患問題最終確定車庫的庫存設計方案。問題3）利用問題二中建立的模型，再根據(jù)條件中給出的車輛前輪可以轉動90度，結合消防通道的設計，明確四個角落的車輛開出的方向。確定最優(yōu)化的調運方案。三 基本假設1）假設每種汽車的大小結構都是相同的，不同種汽車的大小不同，結構相同。2）假設車子的車寬車長都是固定不變的。3）假設存放車輛的司機的駕駛能力都是一樣的，屬于中等水平。4）假

8、設每輛車都能按規(guī)定停車，不超出車位線。5)假設汽車制造廠制造的大小車型的數(shù)量是一樣的。四 符號系統(tǒng)-汽車最小轉彎半徑-汽車轉彎時轉向中心到內側轉向車輪軌跡-停車位的長邊與通道的夾角 -通車道的最小寬度-停車位的縱向寬度 -小轎車的長度-停車位寬度 -小轎車車位寬度-商務車車位寬度 -停車位末端與消防車道之間的距離-停車位長度 -小三角形頂點到虛線的距離-上下兩個停車位的斜向距離 -商務車車位長度-除去消防車道后倉庫的長度 -除去消防車道后倉庫的寬度-小轎車車位長度 -最頂端可以停放車輛的最大值-一列停車位的最大個數(shù) -多余空間總車位數(shù)量-最終空余的面積-多余空間的面積五 模型的建立與求解5.1

9、 車庫車輛泊位規(guī)劃模型（有通車道） 5.1.1 單輛車停車位最佳角度 由于考慮到問題一中所有汽車都需要暢通無阻的開出車庫，所以汽車從通道進入車位一般得轉彎，在這里就應該考慮到汽車的最小轉彎半徑。汽車轉彎半徑(RADIUS OF TURNING CIRCLE)就是指當方向盤轉到極限位置時,外側前輪軌跡圓半徑.轉彎半徑在很大程度上代表了汽車能夠通過狹窄彎曲地帶或繞開不可越過障礙物的能力。我們查閱相關資料發(fā)現(xiàn)不同大小的車型的最小轉彎半徑和長寬并不相等，數(shù)據(jù)如下：車子的具體參數(shù)（單位：mm）車型長/寬最小轉彎半徑小轎車4833/18105700商務車4930/18956300 可設車子的最小轉彎半徑為

10、，那么汽車轉彎時轉向中心到汽車內側轉向車輪軌跡為，如下圖所示：車輛轉彎模擬圖 對于通暢考慮需要有一條邊是靠近通道的，為了使得該車位的小轎車自由進出。要求出單輛車停車位最佳角度，我們設該矩形停車位的長邊與通道的夾角為。為了留出通道空間及使得車庫利用率最大化。所以，我們需要假設該通道的所有車位都保持著與該車位相同的角度和距離平行排列，如下圖所示：車輛行駛路徑圖 車輛沿著箭頭方向行駛轉彎角度駛入車位。具體小轎車的行駛入車位的情形如下圖所示：車輛駛入圖 為通車道的最小寬度。小轎車從通車道以角度進入停車位，所以通道的最小寬度。 在保證車輛能夠自由進出的前提下，本著要求通道寬度盡量小的原則，每輛車均以角度

11、停放，用表示小轎車的寬度，用表示車輛長度，考慮到消防安全問題，所以根據(jù)汽車庫設計防火規(guī)范(GBJ67-84)中的下表所示：汽車與汽車之間以及汽車與墻、柱之間的間距注：當墻、柱外有暖氣片等突出物時，汽車與墻、柱的間距應從其凸出部分外緣算起。所以停車位的寬度應比車輛的寬度要寬，用表示停車位的縱向寬度,用表示停車位寬度，用表示停車位長度，圖中上虛線分割停車位的小三角區(qū)域可以提供給上面或下面的停車位使用，表示停車位末端與消防車道之間的距離，表示小三角形頂點到虛線的距離。如下圖所示：所以可得關于的函數(shù)，且有：現(xiàn)在按照上圖所示，計算每輛車占據(jù)的停車位面積S（）。假設該排車位是無限長的，可以忽略該排車位兩端

12、停車位浪費掉的面積，因為它們被平均到每個車位上去的公攤面積很小，可以不計。從車輛所占的停車位來看，它占據(jù)的面積是，另外，它所占的通道面積為。因為一個通車道可以由兩排車位使用，所以我們得到 我們先求小轎車占用的停車位的最小面積，將、代入，可得求導可得所以當即時，達到最小，分析表明，當停車位與通車道夾角時可以使每輛小轎車占據(jù)停車位的面積達到最小。同理可得，當停車位與通車道夾角為時可以使每輛商務車占據(jù)停車位的面積達到最小。5.1.2 僅有一種車型的全局車位排列 本著通道順暢的原則，我們所設計的通車道是單向的，由上得出與單向通道的夾角為，可使單位車輛占據(jù)的面積最小，此時寬度為R的單向通道可提供給兩邊的

13、停車位使用，通車道兩邊的停車位角度應該相對，如圖1所示： 圖1 顯而易見，停車排數(shù)最多只能是通道數(shù)的兩倍，即：，當按照一排停車位，一條通道，一排停車位這樣三排一組的形式加以組合，依次排列，此時。所以，車庫的形狀應如圖2所示：圖25.2 車庫車輛泊位規(guī)劃模型（無通車道）5.2.1 車庫設計模型 在車輛無法調出時，可以先將阻礙的車輛開出車庫外，在這種情況下，我們將空間的利用率進一步提升，即將除消防車道以外的所有通車道省去。如下圖所示：圖3 亦或是如圖4所示：圖45.2.1 車庫設計優(yōu)化模型比較考慮到使車庫的利用率最大化，所以在這里我們需要比較圖3和圖4兩種車庫的車位規(guī)劃模型，選擇出最優(yōu)化的方案。先

14、討論圖3的模型，即單向排列模型。用表示除去消防車道后倉庫的寬度，用表示除去消防車道后倉庫的長度。可以看出，當比較大的時候，停車位末端會與消防通道末端相隔較大的距離，這較大的距離所產生的空間，我們稱為多余空間。在這多余空間里，我們還可以設計放一些停車位使得車庫利用率最大化。如下圖所示：用表示上下兩個停車位的斜向距離，用表示一列停車位的最大個數(shù)，且為正整數(shù)，用表示最頂端可以停放車輛的最大值，表示模型一中最頂端可以停放車輛的最大值減去，用表示多余空間中，從下端開始，每增加一列停車位，就經過i行的停車位數(shù)量。用表示多余空間總車位數(shù)量?？梢粤谐鲆韵率阶樱? 用表示最終空余的面積，用表示多余空間的面積，得

15、出以下式子：最終的空余面積的表達式：再討論圖4的模型，即交叉排列模型：由圖可知，因為每相鄰兩個停車位所朝方向相同，我們不妨將這朝向相同的兩列車位設為一組，設其長為a,其中,再分別計算出橫向及縱向可停車總數(shù)，設起分別為A,B，則，但是要注意的是，剩余距離的不同可能會影響結果，下面分不同情況討論：1） ，即縱向剩余距離足夠時，則可以再多停一列。2）如果4m，故而消防車道應取為R。而由上面證明可知寬度為R的消防通道足夠使商務車通過5m的車庫門。 以一排停車位，一條通道，一排停車位為一組求出寬度:將具體數(shù)值代入可得，。由上可知寬度為200m的倉庫真正可用的寬度需要減去消防通道的寬度4m，即真正寬度，同

16、理倉庫真正可以用的長度為。所以橫向可停小轎車的數(shù)量為,縱向可停小轎車的數(shù)量為，因為剩余距離不足以增加小轎車位，故小轎車最終擺放為24行120列。同時我們可求出小轎車車位可改造為商務車車位最大數(shù)量為,故我們應該設置為小轎車和商務車的車位數(shù)量分別為各12行，列數(shù)同為120列。所以得到車位的設計模型如下圖：5.4.2 問題二、三的求解 問題二條件中提到不用考慮每輛汽車都需要單獨調出，所以可以將所有的除消防車道以外的通車道撤去，我們建立了模型三、四來解決這個問題。我們比較具體問題中模型三和模型四哪一個更加優(yōu)化，選擇出最優(yōu)化的停車方案。關于模型三，我們需要得出一行停車位中最多可以放多少個小轎車停車位。將

17、數(shù)值代入公式，即一行最多可以放置97個小轎車停車位。再根據(jù)公式。求出一列停車位的最大個數(shù)個。根據(jù)，將代入可得，由于都是正整數(shù)，將代入得到當時，當時，.當時，將以上運算所得數(shù)據(jù)代入求得所以整個停車廠車位的總數(shù)目為個。關于模型四，因為都是將多余空間利用起來故而可以套用問題一的形式，即橫向可停小轎車的數(shù)量為，橫向縱可停小轎車的數(shù)量為，即小轎車擺放為38行120列，另且,故多余的空間可多造的小汽車位為，所以停車廠總車位個數(shù)共為個。與模型三相比，停車位個數(shù)多于模型三。所以我們選擇模型四解決問題二、三。同時我們可求出小轎車車位可改造為商務車車位最大數(shù)量為,故我們應該設置小轎車和商務車的車位數(shù)量分別為各36

18、行和2行,其中小轎車有5行為121列，其余為120列，且商務車120列。 問題三中，假定每輛汽車開出倉庫時的速度均相同，且汽車前輪可以左右轉動90度，意味著汽車的橫著進出停車位。而我們所要求的是將車庫4個角落全部開出所需最少時間的調運方案。根據(jù)汽車庫設計防火規(guī)范(GBJ67-84)，我們在問題二所建立的模型中設置了消防通道，所以我們可以將車輛從消防通道中駛出車庫大門。即我們在這里簡化了問題三。只需將四個角落的車子沿消防通道開出便能達到最少的時間。如下圖箭頭所示：圖7六 對未來的展望 停車場的優(yōu)化設計實際上是一個比較復雜的非線性整數(shù)規(guī)劃問題。首先我們將具體問題理想化，建立了一般停車場大致可以參考的布局和模型，有利于問題的簡化性。其次，我們將多種模型進行對比，使設計更加優(yōu)良。最后，我們對于利用率