初中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：讓思維發(fā)展成為數(shù)學(xué)課堂的主線

1、讓思維發(fā)展成為數(shù)學(xué)課堂的主線 摘要：針對現(xiàn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，偏重于以知識體系為線索或情境為線索展開教學(xué)的現(xiàn)況，提出讓思維發(fā)展成為數(shù)學(xué)課堂的主線.即通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動，揭示數(shù)學(xué)思維過程，啟迪和發(fā)展學(xué)生思維，將知識發(fā)生、發(fā)展過程與學(xué)生學(xué)習(xí)知識的心理活動統(tǒng)一起來.并結(jié)合課例著重闡述了在數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想的教學(xué)中，如何以思維發(fā)展為主線的課堂教學(xué)設(shè)計(jì).關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維 教學(xué)設(shè)計(jì) 課堂主線 有效的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是三維目標(biāo)的和諧達(dá)成：知識與技能（認(rèn)知目標(biāo)）、過程與方法（策略目標(biāo)）、情感態(tài)度與價(jià)值觀（情感目標(biāo)）.在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)線索時(shí)，一是由于知識與技能的目標(biāo)更易表述更為顯性，二是由于當(dāng)前的學(xué)業(yè)考試很難體現(xiàn)數(shù)學(xué)思

2、維的發(fā)展水平，更難體現(xiàn)情感態(tài)度，認(rèn)知目標(biāo)仍占主體，所以數(shù)學(xué)課堂中以知識體系為教學(xué)線索的，占據(jù)了多數(shù).而從新課改以來，在各類課堂技能的比賽課、觀摩課中，情感目標(biāo)受到應(yīng)有的重視，由此發(fā)展而來的以情境為主線的數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)也日漸普及.然而“數(shù)學(xué)是思維的體操”.認(rèn)知目標(biāo)是基礎(chǔ)，策略目標(biāo)是核心，情感目標(biāo)是“伴生物”.所以讓思維發(fā)展成為教學(xué)主線，才能更好地凸顯數(shù)學(xué)教學(xué)的思維價(jià)值.以思維發(fā)展為教學(xué)主線，其關(guān)鍵是遵循學(xué)生思維的發(fā)展規(guī)律展開教學(xué).按數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容分，數(shù)學(xué)課堂類型主要是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)、數(shù)學(xué)原理與方法的教學(xué)、數(shù)學(xué)問題策略的教學(xué).數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)原理與方法的教學(xué)中容易體現(xiàn)，也為大多教師所采用.但對數(shù)學(xué)概念的

3、教學(xué)普遍作為陳述性知識進(jìn)行傳授，對數(shù)學(xué)思想的教學(xué)容易混同于數(shù)學(xué)具體方法教學(xué)重于概括而非領(lǐng)悟，效果不佳.為此針對數(shù)學(xué)概念教學(xué)和數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)兩個(gè)方面，談?wù)勔詳?shù)學(xué)思維發(fā)展為主線的設(shè)計(jì)思路：1、數(shù)學(xué)概念教學(xué)中思維主線的設(shè)計(jì)學(xué)生獲得概念的方式主要是“概念形成”和“概念同化”.概念形成主要依靠對感性材料的抽象概括，而概念同化則主要依靠對感性經(jīng)驗(yàn)的抽象概括.在概念教學(xué)中貫穿思維主線，就是通過提供充分而典型的感性材料，或通過喚醒學(xué)生已有的感性經(jīng)驗(yàn)，從而獲得數(shù)學(xué)概念的過程.現(xiàn)以人教版“多邊形”一課的設(shè)計(jì)為例：環(huán)節(jié)一：多邊形的概念（分步依次呈現(xiàn)三角形、四邊形、五邊形，）師：這是我們非常熟悉的圖形，叫三角形，請

4、你說說“三角形”的定義.生：由三條線段首尾順次連接組成的圖形，叫“三角形”.師：這個(gè)圖形呢？叫四邊形，你能說說它的定義嗎？生：由四條線段首尾順次連接組成的圖形，叫“四邊形”.師：這個(gè)圖形叫五邊形，它的定義是生：由五條線段首尾順次連接組成的圖形，叫“五邊形”.師：像這些圖形三角形、四邊形、五邊形、六邊形等我們把它統(tǒng)稱為多邊形.你能給“多邊形”下一個(gè)定義嗎？生： 這一設(shè)計(jì)不是直接給出“多邊形”的概念，而是通過具體的感性材料三角形、四邊形、五邊形、六邊形等，供學(xué)生辨別，從中分化出它們的共同屬性，從而形成“多邊形”的概念.變陳述性知識（直接傳授）的教學(xué)為策略性知識（觀察抽象對比歸納）.環(huán)節(jié)二：多邊形的

5、分類，（同時(shí)呈現(xiàn)下列9個(gè)圖形）先讓學(xué)生逐一判斷是不是多邊形.然后擦去不是多邊形的圖形，讓學(xué)生對剩下的7個(gè)圖形加以分類.通過交流討論，學(xué)生得出兩種分法：一是按邊數(shù)分成：三角形、四邊形、五邊形、六邊形等；二是按內(nèi)角有沒有大于180分.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察如何辨認(rèn)內(nèi)角大于180的圖形特征，有的學(xué)生說：“凹進(jìn)去的這個(gè)角.”有的學(xué)生說：“延長角的一邊看看就清楚了.”這樣一來學(xué)生不僅能自已給出多邊形的分類，還能對“凸多邊形”和“凹多邊形”名稱有個(gè)感性的認(rèn)識，并能用自已的話給凸多邊形和凹多邊形下描述性的定義. 這一設(shè)計(jì)不茍同于課本，課本的思路是：結(jié)合圖（1）（2），介紹像圖（1）畫出多邊形的任何一邊所在的直線，

6、整個(gè)多邊形都在這條直線同側(cè)，這樣的多邊形叫做.而像圖（2）畫出多邊形的任何一邊所在的直線，整個(gè)多邊形位于這條直線的兩側(cè)，這樣的多邊形叫做.這樣只注重結(jié)果的教學(xué)，學(xué)生缺乏感性認(rèn)識，沒有思維可言，只能通過識記去學(xué)習(xí).而本課這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)則通過提供充足的感性素材，讓學(xué)生經(jīng)歷分類活動的過程，把對多邊形的分類作為“凸多邊形”“凹多邊形”概念獲得的基礎(chǔ).通過分類活動有助于學(xué)生更深刻地理解這三個(gè)概念之間的關(guān)系，進(jìn)而形成概念系統(tǒng)，有利于記憶和檢索.充分體現(xiàn)了概念教學(xué)的過程性，讓學(xué)生經(jīng)歷比較、辨別、分類、歸納、抽象、概括等各種思維活動.更為可貴的是學(xué)生想到不是按邊與邊的位置關(guān)系來分類，而是按內(nèi)角大小的不同，這一

7、想法可能源于三角形的分類：一是按邊分，二是按角分.這一敘述角度出乎教師的預(yù)設(shè)之外，但從思維的發(fā)展來看，又是那么地自然.所以以思維發(fā)展為主線進(jìn)行概念教學(xué)，還有助于提高學(xué)生概括的能力和類比學(xué)習(xí)的能力.環(huán)節(jié)三：正多邊形的概念 （通過課件，逐步呈現(xiàn)正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形等）師：在你所見到過的所有三角形中，那一類最特殊？生：等邊三角形？師：說說它的特殊之處？生1：三條邊都相等.生2：三個(gè)角都相等.師：在所有四邊形中，你見到最特殊的是什么四邊形？生：正方形？師：為什么說它特殊呢？生：因?yàn)檎叫蔚乃臈l邊都相等，四個(gè)角都相等.師：如果只有四個(gè)角相等的四邊形是正方形嗎？生：不一定，如矩形.師：如果

8、只有四條邊相等的四邊形是正方形嗎？生：不一定，如菱形.師：可見要使四邊形為正方形，那么四個(gè)角都相等，四條邊都相等這兩條件缺一不可.師：那么最特殊的五邊形呢？六邊形呢？生：師：我們把等邊三角形也叫正角三形，像這樣正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形等，我們統(tǒng)稱為生：正多邊形.師：請給正多邊形下一定義.生：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形. 課本是先給出正多邊形的概念，再把正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形作為正多邊形的例子.從“多邊形正多邊形正三角形、正方形、”也即采用概念同化的方式.概念的同化屬于接受學(xué)習(xí)，要使學(xué)生有意義地同化新概念，新概念必須具有邏輯意義，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必

9、須具備同化新概念的適當(dāng)知識.但學(xué)生對正多邊形缺乏足夠的感性知識，以致對“各個(gè)角都相等”“各條邊都相等”這兩條件缺一不可的認(rèn)識不到位，感到抽象而硬加記憶. 本課在這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，從“三角形正三角形”、“四邊形正方形”、“五邊形正五邊形”等，繼而再由“正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形等正多邊形”合理運(yùn)用概念的同化和概念的形成兩種方式.使學(xué)生對新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念建立更為廣泛的聯(lián)系，理解這些概念之間的層次關(guān)系，形成結(jié)構(gòu)功能良好的概念體系，從而準(zhǔn)確地掌握概念的本質(zhì)，形成比較完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).更為重要的是，讓學(xué)生經(jīng)歷“一般到特殊”，再從“特殊到一般”的兩個(gè)思維活動過程，把原來陳述性的知

10、識正多邊形的概念，變?yōu)椴呗孕缘慕虒W(xué)如何研究一類幾何圖形.2、數(shù)學(xué)思想教學(xué)中思維主線的設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法兩者聯(lián)系甚密，有時(shí)難以區(qū)分.但兩者有明顯的不同：數(shù)學(xué)方法往往與程序性知識相聯(lián)系，可通過具體數(shù)學(xué)問題解答后，加以概括，通常有步驟可遁.而數(shù)學(xué)思想往往與策略性知識相聯(lián)系，在同一數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，可能有多種不同的數(shù)學(xué)方法.所以在教學(xué)中，數(shù)學(xué)方法的教學(xué)可通過解題反思、歸納、運(yùn)用等環(huán)節(jié)加以掌握，而數(shù)學(xué)思想的教學(xué)則靠體驗(yàn)感悟，逐步形成.2、1 對眾多類似數(shù)學(xué)方法的對比歸納中，感悟出它們的共同思路，形成數(shù)學(xué)思想.如“多邊形的內(nèi)角和”一課的教學(xué)中，對內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)及證明設(shè)計(jì)如下：（根據(jù)教學(xué)進(jìn)程，逐步呈現(xiàn)三

11、角形、四邊形、五邊形及輔助線）師：我們知道三角形的內(nèi)角和是180.你知道四邊形的內(nèi)角和嗎？生：360師：你是怎么得到的？生：把它分成兩個(gè)三角形.師：如何分？生：師：那五邊形的內(nèi)角和呢？誰有什么方法把它求出來嗎？生1：把它分成四邊形和三角形.生2：把它分成三個(gè)三角形.師：那么六邊形呢、七邊形呢、你能求出n邊形的內(nèi)角和嗎？生：師生共同歸納得出n邊形的內(nèi)角和=（n-2）180師：你是怎樣推導(dǎo)出這個(gè)公式的？還有不同推導(dǎo)方法嗎？學(xué)生討論交流，教師利用幾何畫板動態(tài)演示：讓輔助線的交點(diǎn)從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)處，移到多邊形的一邊上，再移到多邊形的內(nèi)部.從而得出三種不同的推導(dǎo)方法.在此基礎(chǔ)上教師引導(dǎo)學(xué)生對這三種方法

12、進(jìn)行比較、歸納，從而讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化思想”：這一設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的教學(xué)不同于數(shù)學(xué)方法的教學(xué)，而是在一系列的探究活動中，得到多種解決問題的方法，并對這些方法進(jìn)行反思、歸納、提煉形成一種思維方向轉(zhuǎn)化思想.以思維的發(fā)展為主線展開教學(xué)，就是通過數(shù)學(xué)思維活動，包括數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)實(shí)踐活動等，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學(xué)家的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的過程.2、2 從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)中提煉出解決問題的基本策略，形成數(shù)學(xué)思想.認(rèn)知是思維的基礎(chǔ)，但學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)生往往不是來自數(shù)學(xué)知識的本身，而來自于數(shù)學(xué)的有效活動.斯托利亞：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動過程的教學(xué)”.所以數(shù)學(xué)思維教

13、學(xué)的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)合適思維載體，通過學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)自然萌發(fā)數(shù)學(xué)思維.如在消元法解二元一次方程組第一課時(shí)的教學(xué)中，對“消元思想”教學(xué)設(shè)計(jì)如下：先引導(dǎo)學(xué)生對問題“如圖，兩天平都達(dá)到平衡，你能算出1個(gè)正方體的質(zhì)量嗎？”獨(dú)立思考,交流算法.得出一題多解：200200方法一，設(shè)一個(gè)正方體的質(zhì)量為x克,則由第一個(gè)天平可知一個(gè)圓柱的質(zhì)量為3x克,再由第二個(gè)天平可列出方程: 3x+x=200, 解得x=50. 所以1個(gè)正方體的質(zhì)量為50克.方法二，由第一個(gè)天平可知一個(gè)圓柱的質(zhì)量就等于3個(gè)正方體的質(zhì)量,如果把第二個(gè)天平中的圓柱用3個(gè)正方體代替,也就相當(dāng)于4個(gè)正方體的質(zhì)量等于200克,所以每個(gè)正方體為50克.方法三，

14、設(shè)一個(gè)正方體的質(zhì)量為x克,一個(gè)圓柱的質(zhì)量為 y克,則由兩天平的平衡關(guān)系,可列出方程組師：對于采用方法一的同學(xué),能將一個(gè)實(shí)際問題符號化,轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,能力值得肯定.對于采用方法二的同學(xué),能想到用正方體來代替圓柱,從而直接找到正確答案,思路值得借鑒.而采用方法三的同學(xué)嘗試用剛學(xué)過的二元一次方程組來解決這一問題，勇氣可嘉.只是這個(gè)方程組如何解呢？讓學(xué)生通過交流討論，由解法二得到思維啟迪，y就是3x,那么方程x+y=200,也就是x+3x=200,那么x=50.至此教師可加以引導(dǎo)和歸納：通過把y用3x去代替，原來有兩個(gè)未知數(shù)x,y,現(xiàn)在化成了一個(gè)未知數(shù)x,而且我們不難發(fā)現(xiàn)這一方程也正是方法一所列的方程.這個(gè)過程我們稱之為”消元”.”消”即減少,”元”即未知數(shù),所以”消元”也就是減少未知數(shù)的個(gè)數(shù).這一設(shè)計(jì)，針對學(xué)生缺乏”消元”數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),老師設(shè)法從學(xué)生類似的生活經(jīng)驗(yàn)中提取素材,幫助學(xué)生形成正確的思維方向.而探討一題多解不只是為訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，更為“消元思想”的形成埋下伏筆.方法一為代入法解二元一次方程組提供對比.方法二能促進(jìn)學(xué)生萌生樸素的消元思想.通過探討方法三中求方程組的解，用這一具體而又現(xiàn)實(shí)的問題引領(lǐng)學(xué)生思維的順次展開，在這一系列的思維活動之后，教師進(jìn)一步提煉學(xué)生的思維成果,滲透”消元”思想，水到渠成.以思維發(fā)展為