理論力學(xué)動(dòng)量矩定律ppt

1、第十一章第十一章 動(dòng)動(dòng) 量量 矩矩 定定 理理 11-1 11-1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 1 1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn) O 的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩 () O Mmvrmv 對(duì)對(duì) z z 軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩 ()() zOxy MmvMmv 代數(shù)量代數(shù)量, ,從從 z 軸正向看軸正向看, , 逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正, ,順時(shí)針為負(fù)順時(shí)針為負(fù). . vm r )( vmMO )( vmM z ()() Ozz MmvMmv 1 () n OOii i LMmv 1 () n zzii i LMm v 2 2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 對(duì)軸的動(dòng)量

2、矩對(duì)軸的動(dòng)量矩 O zz LL Oxyz LL iL jL k 即即 （1 1） 剛體平移剛體平移 () zzC LM mv () OOC LM mv 二者關(guān)系二者關(guān)系 （2 2） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) iiiiizz rvmvmML)( 2 iiiii rmrrm 2 iiz rmJ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 zz JL dd ()() dd O Mmvrmv tt dd () dd r mvrmv tt 11-2 11-2 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 1 1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 設(shè)設(shè)O為定點(diǎn)為定點(diǎn), ,有有 d ()( ) d OO MmvMF t F v 0 質(zhì)點(diǎn)對(duì)某質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)定

3、點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的 一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù), ,等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩. . 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 d ()( ) d xx MmvMF t d ()( ) d yy MmvMF t d ()( ) d zz MmvMF t 投影式投影式: ddd ()() ddd O Oi iOi i L MmvMmv ttt (e) d () d O Oi L MF t 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)的動(dòng)量矩對(duì) 時(shí)間的導(dǎo)數(shù)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的 外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和. (i)(e) d ()()

4、() d OiiOiOi MmvMFMF t (i)(e) d ()()() d Oi iOiOi MmvMFMF t 2.2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 0 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 (e) d () d x xi L M F t (e) d () d y yi L MF t 投影式投影式: : (e) d () d z zi L MF t 問題：問題：內(nèi)力能否改變質(zhì)內(nèi)力能否改變質(zhì) 點(diǎn)系的動(dòng)量矩？點(diǎn)系的動(dòng)量矩？ 3 3動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩守恒定律 若若 則則 常量。常量。 (e) ()0 z MF z L 有心力有心力：力作用線始終通過某固定點(diǎn)：力作用線始終通過某固定點(diǎn)

5、, , 該點(diǎn)稱該點(diǎn)稱力心力心. . ( )0 O MF ()M mvrmv 常矢量常矢量 若若 (e) ()0 O MF O L 則則 常矢量常矢量, , 面積速度定理：面積速度定理： 質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒. . (1) (1) 與與 必在一固定平面內(nèi)必在一固定平面內(nèi), ,即點(diǎn)即點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面曲線的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面曲線. .r v d (2) d r rmvrmb t 常量 d d r r t 即即 常量常量 d2drrA d d A t 因此因此, , 常量常量 面積速度面積速度 思考：誰先到達(dá)頂部？思考：誰先到達(dá)頂部？ (e) sin O M

6、MmgR RmgMmvRJ t sin d d 2 2 sin mRJ mgRMR a 已知：已知： , ,小車不計(jì)摩擦小車不計(jì)摩擦. . ,MJRm a 求求: :小車的加速度小車的加速度 . . RvmJLO解解: : R v a t v d d 由由 , ,得得 例例11-111-1 已知：已知： , , , , , , , , , , ,不計(jì)摩擦不計(jì)摩擦. . m O J 1 m 2 m 1 r 2 r 求求: :（1 1） N F （2）O 處約束力處約束力 （3 3）繩索張力繩索張力 ， 1 T F 2 T F 例例11-211-2 )( 2 22 2 11 rmrmJ O (e)

7、 1 12 2 ()() O MFm rm r g 2 22 2 11 2211 )( d d rmrmJ grmrm t O 由由 , ,得得 (e) d () d O O L MF t 222111 rvmrvmJL OO 解：解： (1)(1) （2 2）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 Cy ammmgmmmF)()( 2121N N F 21 2211 21 2211 )( mmm rmrm mmm amam m ym ya i ii CCy 1111T1 1 rmamFgm )( 11T1 rgmF )()( 221121N rmrmgmmmF （3 3） 研究研究 1 m 2222

8、2T2 rmamgmF )( 22T2 rgmF 2 m（4 4） 研究研究 求：剪斷繩后求：剪斷繩后, , 角時(shí)的角時(shí)的 . . 已知：兩小球質(zhì)量皆為已知：兩小球質(zhì)量皆為 , ,初始角速度初始角速度 。m 0 例例11-311-3 0 2 0 22 1 maamaLz 2 )sin(2 2 lamLz 時(shí)時(shí), , 0 0 時(shí)時(shí), , 2 0 2 )sin( la a 12 zz LL 解解： 11-3 11-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 12 , n F FF 主動(dòng)力主動(dòng)力: : d ()()() d i zzizN JMFMF t () zi MF d () d z

9、zi JMF t 即即: ( ) zz JMF 或或 2 2 d ( ) d zz JMF t 或或 轉(zhuǎn)動(dòng) 微分 方程 約束力約束力: : 21 NN ,FF 已知：物理擺（復(fù)擺），已知：物理擺（復(fù)擺）， 。 求：微小擺動(dòng)的周期求：微小擺動(dòng)的周期 。 aJm O , 例例11-411-4 2 2 d sin d O Jmga t 解解： sin微小擺動(dòng)時(shí)，微小擺動(dòng)時(shí)， mga t JO 2 2 d d 0 d d 2 2 O J mga t 即即： )sin(t J mga O O 通解為通解為 稱稱角振幅角振幅， 稱稱初相位初相位，由初始條件確定，由初始條件確定. .O mga J T O

10、2 周期周期 求：制動(dòng)所需時(shí)間求：制動(dòng)所需時(shí)間 . .t 已知：已知： ，動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)，動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù) 。RFJ NO , 0 f 例例11-511-5 0 0 N 0 dd t O JfF R t 0 N O J t fF R N d d O JFRf F R t 解解： 1111 RFMJ t 2222 MRFJ t 2 12 2 1 12 2 1 1 i J J i M M 21 1 2 1221 ,MM R R iJJ 1 已知已知： 。 求：求： 。 解解： tt FF 1 2 12 2 1 R R i 因因 ， ，得，得 例例11-611-6 2 1 n zii i Jm r 1

11、1-4 11-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1. 1. 簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算 (1)(1)均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 3 d 3 2 0 l xxJ l l lz 2 3 1 mlJ z lm l 由由 ，得，得 4 2 0 (2d)2 4 R OAA R Jrr r 222 mRmRRmJ iiz （2 2）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2d iiiA mr r （3 3）均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 A m R 式中式中： 2 2 1 mRJO 或或 2 2.

12、. 回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑） m J z z 2 zz mJ或或 2 C zz JJmd 3 3平行軸定理平行軸定理 C zdzz 式中 式中 軸為過質(zhì)心且與軸為過質(zhì)心且與 軸平行的軸，軸平行的軸， 為為 C z與與 軸之間的距離。軸之間的距離。 即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過 質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量 與兩軸間距離平方的乘積與兩軸間距離平方的乘積. . 22 11 () C zi Jm xy )( 222 yxmrmJ iiz )( 2 1 2 1

13、 dyxmi iii mdymdyxm 2 1 2 1 2 1 2)( 證明證明： 2 C zz JJmd 0 4 4組合法組合法 O J 求求： . l d 已知：桿長為已知：桿長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，圓盤半徑為，圓盤半徑為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 . . 1 m 2 m 盤桿OOO JJJ 2 3 1 mlJ O 桿 2 2 2 2 ) 2 () 2 ( 2 1d lm d mJ O 盤 ) 8 3 ( 22 2 ldldm ) 8 3 ( 3 1 22 2 2 1 ldldmlmJO 解解： 21 JJJ z 2 22 2 11 2 1 2 1 RmRm 解解： 2 22 mR l 2 11 m

14、R l其中其中 22 12 ()l RRm由由 ，得得 )( 2 1 2 2 2 1 RRmJ z 44 12 1 () 2 z Jl RR 2222 1212 1 ()() 2 l RRRR 21 ,RRm已知：已知： 。 z J 求求 ： . . 5 5實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 思考：思考：如圖所示復(fù)擺如何確定對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？如圖所示復(fù)擺如何確定對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？ 將曲柄懸掛在軸將曲柄懸掛在軸 O上，作微幅擺動(dòng)上，作微幅擺動(dòng). . mgl J T2 由由 lm,TJ其中其中 已知已知, , 可測得，從而求得可測得，從而求得 . . 6. 6. 查表查表法法均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 薄壁圓

15、薄壁圓 筒筒 細(xì)直桿細(xì)直桿 體積體積慣性半徑慣性半徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 簡簡 圖圖 物體的物體的 形狀形狀 2 12 l m J C z 2 3 l m J z 32 l C z 3 l z 2 mRJ z R z Rlh2 薄壁空薄壁空 心球心球 空心圓空心圓 柱柱 圓柱圓柱 )3( 12 2 1 22 2 lR m JJ mRJ yx Z )3( 12 1 2 22 lR R yx z lR 2 )( 2 22 rR m J z )( 2 1 22 rR z )( 22 rRl 2 3 2 mRJ z R z 3 2 Rh 2 3 圓環(huán)圓環(huán) 圓錐體圓錐體 實(shí)心球?qū)嵭那?2 2 5 z JmR

16、R z 5 2 3 3 4 R 2 22 3 10 3 (4) 80 z xy Jmr JJ mrl )4( 80 3 10 3 22 lr r yx z 2 3 r l 22 3 () 4 z Jm Rr 22 4 3 rR z 22 2 r R 矩形薄矩形薄 板板 長方體長方體 橢圓形橢圓形 薄板薄板 22 2 2 () 4 4 4 z y y m Jab m Ja m Jb 2 2 2 1 22 b a ba y x z abh 22 22 22 () 12 () 12 () 12 z y y m Jab m Jac m Jbc )( 12 1 )( 12 1 )( 12 1 22 22

17、 22 cb ca ba y x z abc 22 2 2 () 12 12 12 z y y m Jab m Ja m Jb b a ba y x z 289. 0 289. 0 )( 12 1 22 abh 11-5 11-5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 1 1對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩 CCiiiii LMmvrmv Ciiir Lrmv iCir vvv CiiCiiir Lrmvrmv ( )0 iiCiiC rmvmrv x y z x y z C C r O i m i r i r irii vmr ? 0 () OCii Lrrmv ) Ciii

18、i rmvrmv C vm C L OCCC LrmvL e dd dd O CCCii L rmvLrF tt 2 2 相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 ee Ciii rFrF ddd ddd CC CCC rL mvrmv ttt x y z x y z C C r O i m i r i r C v 0 ( )e i F e d d C ii L rF t e d () d C Ci L MF t 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì) 時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的 外力對(duì)質(zhì)

19、心的主矩外力對(duì)質(zhì)心的主矩. . 思考：思考：如何實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制？如何實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制？ 動(dòng)量矩守恒定律實(shí)例動(dòng)量矩守恒定律實(shí)例 航天器中反作用輪姿航天器中反作用輪姿 態(tài)控制系統(tǒng)示意簡圖態(tài)控制系統(tǒng)示意簡圖 例例11-711-7 已知：均質(zhì)圓盤質(zhì)量為已知：均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，沿地面純滾動(dòng)，角速度，沿地面純滾動(dòng)，角速度 為為 。 求：圓盤對(duì)求：圓盤對(duì)A、C、P三點(diǎn)的動(dòng)量矩。三點(diǎn)的動(dòng)量矩。 C A P C A P 解：解：點(diǎn)點(diǎn)C為質(zhì)心為質(zhì)心 2 2 mR JL CC 點(diǎn)點(diǎn)P為瞬心為瞬心 2 3 2 mR JL PP 或或 2 3 2 1 2 22 mR mRmRLRmvL CCP 2

20、) 12( 2 1 2 2 2 2 2 22 mR mRmRLRmvL CCA 是否可以如下計(jì)算：是否可以如下計(jì)算： 2 3 )( 2 2 mR mRJJL CAA e e () C CC maF JMF 2 e 2 2 e 2 d d d () d C CC r mF t JMF t 11-6 11-6 剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) 隨質(zhì)心平移隨質(zhì)心平移 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng) 投影式投影式： e e e () Cxx Cyy CC maF maF JMF et en e () Ct Cn CC maF maF JMF 以上各組均稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程以上各

21、組均稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程. . 已知：半徑為已知：半徑為r ，質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動(dòng)，的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動(dòng)， 如圖所示如圖所示. .設(shè)輪的慣性半徑為設(shè)輪的慣性半徑為 ，作用于輪的力偶矩為，作用于輪的力偶矩為M . . 求輪心的加速度求輪心的加速度. .如果圓輪對(duì)地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為如果圓輪對(duì)地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f ，問問 力偶力偶M 必須符合什么條件不致使圓輪滑動(dòng)必須符合什么條件不致使圓輪滑動(dòng)? ? C 例例11-811-8 M 解解： N 2 Cx Cy C maF maFmg mMFr 22 22 N , , C C C C F r Mr aM rmr FmaFmg 純滾動(dòng)的條件純滾動(dòng)的條件： sN Ff F 即即 22 s C r Mf mg r C a 0 C ar 已知：均質(zhì)圓輪半徑為已知：均質(zhì)圓輪半徑為r 質(zhì)量為質(zhì)量為m ，受到輕微擾動(dòng)后，受到輕微擾動(dòng)后， 在半徑為在半徑為R R 的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示. .設(shè)表面足夠設(shè)表面足夠 粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無滑動(dòng)粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無滑動(dòng). . 求求: :質(zhì)心質(zhì)心C 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.