2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)課(二) 推理與證明教學(xué)案 1-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精復(fù)習(xí)課(二)直接證明與間接證明合情推理（1)近幾年的高考中歸納推理和類(lèi)比推理有時(shí)考查，考查的形式以填空題為主，其中歸納推理出現(xiàn)的頻率較高，重點(diǎn)考查歸納、猜想、探究、類(lèi)比等創(chuàng)新能力（2）處理與歸納推理相關(guān)的類(lèi)型及策略與數(shù)字有關(guān)：觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律可解與式有關(guān)：觀察每個(gè)式的特點(diǎn),找到規(guī)律后可解進(jìn)行類(lèi)比推理，應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比，提出猜想其中找到合適的類(lèi)比對(duì)象是解題的關(guān)鍵1歸納推理的特點(diǎn)及一般步驟2類(lèi)比推理的特點(diǎn)及一般步驟典例(1）在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形abc的內(nèi)切圓面積為s1，外接圓面積為s2,則,推廣到空間可以得到類(lèi)

2、似結(jié)論：已知正四面體p。abc的內(nèi)切球體積為v1，外接球體積為v2，則()a.b.c。 d.(2）(陜西高考）觀察下列等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)解析(1）正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為13,故。(2)等式的左邊的通項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為1;右邊的每個(gè)式子的第一項(xiàng)為,共有n項(xiàng)，故為.答案（1）d(2)1類(lèi)題通法(1）用歸納推理可從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但應(yīng)注意，僅根據(jù)一系列有限的特殊事例，所得出的一般結(jié)論不一定可靠，其結(jié)論的正確與否，還要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的理論證明(2）進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上思考,不要被表面現(xiàn)象所迷惑,否則，只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類(lèi)比，就會(huì)犯機(jī)械類(lèi)比

3、的錯(cuò)誤1某種樹(shù)的分枝生長(zhǎng)規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1，1,2,3,5，則預(yù)計(jì)第10年樹(shù)的分枝數(shù)為()a21 b34c52 d55解析:選d因?yàn)?11,321，532,即從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，所以第10年樹(shù)的分枝數(shù)為213455.2在平面幾何中：abc的c內(nèi)角平分線ce分ab所成線段的比為.把這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間：在三棱錐abcd中（如圖)，dec平分二面角a。cd.b且與ab相交于e,則得到類(lèi)比的結(jié)論是_解析：由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得 .答案：演繹推理(1）演繹推理在高考中不會(huì)刻意去考查，但實(shí)際上是無(wú)處不在，常以數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何等主干知

4、識(shí)為載體進(jìn)行考查（2)解答此類(lèi)問(wèn)題，結(jié)合已學(xué)過(guò)的知識(shí)和生活中的實(shí)例，了解演繹推理的含義、基本方法在證明中的應(yīng)用是關(guān)鍵演繹推理是由一般到特殊的推理，其結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍，所以其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的因此，在演繹推理中，只要前提及推理正確，結(jié)論必然正確典例已知f（x） ，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，點(diǎn)pn在曲線yf(x）上（nn*)，且a11，an0.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2)求證：sn（1),nn*。解（1）f（an),且an0，,4(nn*)數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)1，公差d4，14（n1)，a。an0，an(nn*）(2）證明：an，sna1a2an（1）(）(）（1)類(lèi)題

5、通法應(yīng)用三段論證明問(wèn)題時(shí)，要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件(小前提），根據(jù)需要引入相關(guān)的適用的定理和性質(zhì)(大前提)，并保證每一步的推理都是正確的，嚴(yán)密的，才能得出正確的結(jié)論常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤：（1）條件理解錯(cuò)誤（小前提錯(cuò));(2)定理引入和應(yīng)用錯(cuò)誤（大前提錯(cuò))；(3）推理過(guò)程錯(cuò)誤等1已知a，函數(shù)f(x)ax，若實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)f（n），則m,n的大小關(guān)系是。解析：當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f（x）ax為減函數(shù),a(0,1），函數(shù)f（x)x為減函數(shù),故由f(m）f（n），得m0，b0，ab1,所以1ab2,，ab，所以4,又(ab)24，所以8(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立）法二：分析法因?yàn)閍0,b0，ab1，要

6、證8。只要證8,只要證8，即證4.也就是證4。即證2,由基本不等式可知，當(dāng)a0，b0時(shí)，2成立，所以原不等式成立類(lèi)題通法綜合法和分析法的特點(diǎn)（1)綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用的方法,綜合法是由因?qū)Ч乃季S方式，而分析法的思路恰恰相反，它是執(zhí)果索因的思維方式(2）分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法：分析法是倒溯，綜合法是順推，二者各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法容易探路,且探路與表述合一，缺點(diǎn)是表述易錯(cuò)；綜合法條理清晰,易于表述，因此對(duì)于難題常把二者交互運(yùn)用,互補(bǔ)優(yōu)缺，形成分析綜合法，其邏輯基礎(chǔ)是充分條件與必要條件1已知a0，b0,如果不等式恒成立,那么m的最大值等

7、于（)a10b9c8 d7解析：選ba0，b0，2ab0.不等式可化為m(2ab）52。52549,即其最小值為9，m9，即m的最大值等于9.2若abcd0且adbc,求證:。證明：要證，只需證（)2()2，即ad2bc2，因adbc，只需證，即adbc，設(shè)adbct，則adbc（td）d（tc)c(cd）（cdt）0，故adbc成立，從而成立。反證法（1)反證法是證明問(wèn)題的一種方法，在高考中很少單獨(dú)考查,常用來(lái)證明解答題中的一問(wèn)(2）反證法是間接證明的一種基本方法,使用反證法進(jìn)行證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾1使用反證法應(yīng)注意的問(wèn)題:利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,并用假設(shè)命題

8、進(jìn)行推理，沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的2一般以下題型用反證法：（1）當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡(jiǎn)單、更具體、更明確；(2)否定性命題、唯一性命題，存在性命題、“至多”“至少”型命題；(3)有的肯定形式命題，由于已知或結(jié)論涉及無(wú)限個(gè)元素，用直接證明比較困難,往往用反證法典例（1）否定:“自然數(shù)a，b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為()aa，b，c都是偶數(shù)ba，b，c都是奇數(shù)ca，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)da，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)（2）已知：ac2（bd）求證：方程x2axb0與方程x2cxd0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根解析(1）自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有

9、四種情形:3個(gè)都是奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù),2個(gè)偶數(shù)1個(gè)奇數(shù)，3個(gè)都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)時(shí)正確的反設(shè)為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”答案：d(2)證明：假設(shè)兩方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根則1a24b0與2c24d0，有a2c22ac，即ac2(bd）,與已知矛盾，故原命題成立類(lèi)題通法反證法是利用原命題的否命題不成立則原命題一定成立來(lái)進(jìn)行證明的，在使用反證法時(shí)，必須在假設(shè)中羅列出與原命題相異的結(jié)論,缺少任何一種可能，反證法都是不完全的1已知xr,ax2，b2x，cx2x1，試證明a，b，c至少有一個(gè)不小于1.證明：假設(shè)a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，則有abc3，

10、而abc2x22x32233，兩者矛盾，所以假設(shè)不成立,故a，b,c至少有一個(gè)不小于1.2設(shè)二次函數(shù)f（x）ax2bxc（a0)中的a，b，c都為整數(shù)，已知f（0）,f(1）均為奇數(shù)，求證：方程f(x)0無(wú)整數(shù)根證明:假設(shè)方程f(x）0有一個(gè)整數(shù)根k,則ak2bkc0，f（0)c，f(1）abc都為奇數(shù)，ab必為偶數(shù)，ak2bk為奇數(shù)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k2n（nz），則ak2bk4n2a2nb2n(2nab）必為偶數(shù)，與ak2bk為奇數(shù)矛盾;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k2n1（nz)，則ak2bk(2n1)（2naab)為一奇數(shù)與一偶數(shù)乘積，必為偶數(shù)，也與ak2bk為奇數(shù)矛盾綜上可知方程f（x)0無(wú)整數(shù)根

11、1用演繹推理證明函數(shù)yx3是增函數(shù)時(shí)的大前提是（ ）a增函數(shù)的定義b函數(shù)yx3滿足增函數(shù)的定義c若x1x2，則f(x1)1等價(jià)于xln xxex.設(shè)函數(shù)g(x）xln x，則g（x）1ln x。所以當(dāng)x時(shí),g（x）0;當(dāng)x時(shí),g(x)0.故g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而g(x）在（0,)上的最小值為g.設(shè)函數(shù)h（x）xex，則h（x)ex(1x）所以當(dāng)x（0,1）時(shí)，h(x）0；當(dāng)x（1，)時(shí)，h（x）0.故h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減,從而h(x)在(0，）上的最大值為h（1)。綜上，當(dāng)x0時(shí),g（x）h(x），即f(x)1.11下面（a）、（b)、(c）、

12、（d）為四個(gè)平面圖（1)數(shù)出每個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)，并將相應(yīng)結(jié)果填入下表：頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a）463（b）12（c）6（d)15(2)觀察上表,若記一個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為e，f,g，試推斷e,f,g之間的等量關(guān)系；（3）現(xiàn)已知某個(gè)平面圖有2 016個(gè)頂點(diǎn),且圍成2 016個(gè)區(qū)域,試根據(jù)以上關(guān)系確定該平面圖的邊數(shù)解：（1)頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a）463(b）8125（c)694（d)10156(2)egf1.（3）邊數(shù)feg12 0162 01614 031.12.abc是以b為直角頂點(diǎn)的直角三角形，ab1，bc2，d為bc的中點(diǎn)直線l過(guò)點(diǎn)a且垂直于平面abc，p是l上異于a的點(diǎn)(如右圖）（1)證明：p在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有bpdbad;（2)證明：p在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，cpdcad并不恒成立證明：(1)由pa平面abc和cbab得cbpb，于是tanbpdtanbad,而這兩個(gè)角都是銳角,bpdbad。(2）cpd，cad都是銳角，cpdcadcoscpdcoscad。要證coscpdcoscad不恒成立，也就是只要證明存在點(diǎn)p,使得coscpdcoscad成立令pax0，在rtpab中,pb，