2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性 四 直角三角形的射影定理創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 -1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精四 角三角形的射影定理對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p141射影（1）點(diǎn)在直線上的正射影：從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影（2）線段在直線上的正射影：線段的兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線上的正射影間的線段（3)射影:點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱為射影2射影定理(1)文字語(yǔ)言：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng);兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)（2）圖形語(yǔ)言:如圖，在rtabc中，cd為斜邊ab上的高，則有cd2adbd,ac2adab,bc2bdab。對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p14射影定理的有關(guān)計(jì)算例1如圖，在rtabc中,cd為斜邊ab上的高，若ad2 c

2、m,db6 cm，求cd，ac，bc的長(zhǎng)思路點(diǎn)撥在直角三角形內(nèi)求線段的長(zhǎng)度，可考慮使用勾股定理和射影定理解cd2addb2612，cd2(cm）ac2adab2（26)16，ac4(cm)bc2bdab6(26)48，bc4（cm)故cd、ac、bc的長(zhǎng)分別為2 cm，4 cm,4 cm。（1）在rtabc中，共有ac、bc、cd、ad、bd和ab六條線段，已知其中任意兩條,便可求出其余四條（2)射影定理中每個(gè)等積式中含三條線段，若已知兩條可求出第三條1.如圖，在rtabc中，c90,cd是ab上的高已知bd4，ab29,試求出圖中其他未知線段的長(zhǎng)解：由射影定理，得bc2bdab，bc2.又a

3、dabbd29425。且ac2ab2bc2，ac5.cd2adbd，cd10.2已知：cd是直角三角形abc斜邊ab上的高，如果兩直角邊ac，bc的長(zhǎng)度比為acbc34。求：(1）adbd的值；（2)若ab25 cm，求cd的長(zhǎng)解:(1)ac2adab，bc2bdab，。(）2（)2。（2）ab25 cm，adbd916，ad259（cm），bd2516（cm）cd12（cm)。與射影定理有關(guān)的證明問(wèn)題例2如圖所示，cd垂直平分ab，點(diǎn)e在cd上，dfac，dgbe,f、g分別為垂足求證：afacbgbe.思路點(diǎn)撥先將圖分解成兩個(gè)基本圖形（1）（2),再在簡(jiǎn)單的圖形中利用射影定理證明所要的結(jié)論

4、證明cd垂直平分ab，acd和bde均為直角三角形，且adbd.又dfac，dgbe，afacad2，bgbedb2。ad2db2，afacbgbe.將原圖分成兩部分來(lái)看，就可以分別在兩個(gè)三角形中運(yùn)用射影定理，實(shí)現(xiàn)了溝通兩個(gè)比例式的目的在求解此類問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵就是把握基本圖形,從所給圖形中分離出基本圖形進(jìn)行求解或證明3如圖所示，設(shè)cd是rtabc的斜邊ab上的高求證：cacdbcad。證明：由射影定理知：cd2adbd，ca2adab，bc2bdab。cacdad,bcadad。即cacdbcad.4rtabc中有正方形defg，點(diǎn)d、g分別在ab、ac上,e、f在斜邊bc上求證：ef2befc

5、.證明：過(guò)點(diǎn)a作ahbc于h。則deahgf。,。又ah2bhch，degfbefc.而degfef,ef2befc。對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p15一、選擇題1已知rtabc中，斜邊ab5 cm，bc2 cm,d為ac上一點(diǎn)，deab交ab于e,且ad3。2 cm，則de(）a1。24 cmb1。26 cmc1.28 cm d1.3 cm解析:如圖,aa，rtadertabc，,de1。28。答案：c2已知直角三角形中兩直角邊的比為12，則它們?cè)谛边吷系纳溆氨葹?）a12 b21c14 d41解析：設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為1和2，則斜邊長(zhǎng)為，兩直角邊在斜邊上的射影分別為和.答案：c3一個(gè)直角三角形的一

6、條直角邊為3 cm,斜邊上的高為2.4 cm,則這個(gè)直角三角形的面積為（）a7。2 cm2 b6 cm2c12 cm2 d24 cm2解析：長(zhǎng)為3 cm的直角邊在斜邊上的射影為1。8(cm），由射影定理知斜邊長(zhǎng)為5(cm)，三角形面積為52。46（cm2）答案：b4如圖所示，在abc中，acb90，cdab,d為垂足,若cd6 cm，addb12，則ad的值是（）a6 cm b3 cmc18 cm d3 cm解析：addb12，可設(shè)adt，db2t.又cd2addb，36t2t，2t236，t3（cm），即ad3 cm。答案：b二、填空題5若等腰直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)為1，則該三角形在直線l

7、上的射影的最大值為_(kāi)解析:射影的最大值即為等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)答案：6如圖所示，四邊形abcd是矩形，bef90，這四個(gè)三角形能相似的是_解析：因?yàn)樗倪呅蝍bcd為矩形,所以ad90.因?yàn)閎ef90，所以1290。因?yàn)?390，所以13.所以abedef.答案:7在abc中，a90，adbc于點(diǎn)d，ad6，bd12,則cd_，ac_，ab2ac2_.解析：如圖，ab2ad2bd2,又ad6,bd12，ab6.由射影定理可得，ab2bdbc，bc15。cdbcbd15123。由射影定理可得，ac2cdbc，ac3.4。答案：3341三、解答題8如圖：在rtabc中,cd是斜邊ab上的高,de是

8、rtbcd斜邊bc上的高，若be6，ce2。求ad的長(zhǎng)是多少解:因?yàn)樵趓tbcd中，debc,所以由射影定理可得：cd2cebc，所以cd216，因?yàn)閎d2bebc,所以bd4。因?yàn)樵趓tabc中,acb90，cdab，所以由射影定理可得：cd2adbd，所以ad。9如圖,在abc中，cdab于d,且cd2adbd，求證：acb90。證明：cdab，cdabdc90.又cd2adbd，即adcdcdbd,acdcbd.cadbcd.又acdcad90，acbacdbcdacdcad90。10已知直角三角形周長(zhǎng)為48 cm,一銳角平分線分對(duì)邊為35兩部分(1)求直角三角形的三邊長(zhǎng)；（2）求兩直角

9、邊在斜邊上的射影的長(zhǎng)解：（1)如圖，設(shè)cd3x，bd5x，則bc8x，過(guò)d作deab，由題意可得，de3x，be4x，aeac12x48。又aeac，ac246x，ab242x。(246x)2（8x）2(242x）2，解得:x10(舍去），x22。ab20，ac12，bc16，三邊長(zhǎng)分別為:20 cm，12 cm，16 cm.(2)作cfab于f點(diǎn)，ac2afab.af(cm);同理：bf（cm)兩直角邊在斜邊上的射影長(zhǎng)分別為 cm， cm。對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p16近兩年高考中，由于各地的要求不同，所以試題的呈現(xiàn)形式也不同但都主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),射影定理，平行線分線段成比例定理；一般試題

10、難度不大，解題中要注意觀察圖形特點(diǎn)，巧添輔助線對(duì)解題可起到事半功倍的效果在使用平行線分線段成比例定理及其推論時(shí)，一定要搞清有關(guān)線段或邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系,切忌搞錯(cuò)比例關(guān)系1.如圖，在梯形abcd中，abcd，ab4,cd2，e，f分別為ad，bc上的點(diǎn)，且ef3，efab，則梯形abfe與梯形efcd的面積比為_(kāi)解析:由cd2，ab4，ef3，得ef（cdab），ef是梯形abcd的中位線，則梯形abfe與梯形efcd有相同的高，設(shè)為h，于是兩梯形的面積比為（34）h（23）h75.答案：752。如圖，圓o上一點(diǎn)c在直徑ab上的射影為d，點(diǎn)d在半徑oc上的射影為e。若ab3ad，則的值為_(kāi)解析：連接a

11、c,bc，則acb90.設(shè)ad2,則ab6，于是bd4，od1.如圖，由射影定理得cd2adbd8，則cd2。在rtocd中,de.則ce ，eoocce3。因此8.答案：8對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p16平行線分線段相關(guān)定理平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理，其實(shí)質(zhì)是揭示一組平行線在與其相交的直線上截得的線段所呈現(xiàn)的規(guī)律，主要用來(lái)證明比例式成立、證明直線平行、計(jì)算線段的長(zhǎng)度，也可以作為計(jì)算某些圖形的周長(zhǎng)或面積的重要方法,其中,平行線等分線段定理是線段的比為1的特例例1如圖,在abc中，debc，dhgc。求證：egbh.證明debc，.dhgc，。aeabacadahag。egbh。例2如圖,直線

12、l分別交abc的邊bc,ca,ab于點(diǎn)d，e,f,且afab，bdbc，試求。解作cnab交df于點(diǎn)n，并作egab交bc于點(diǎn)g，由平行截割定理，知，,兩式相乘，得,即.又由afab，得2，由bdbc，得，所以2.相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)揭示了形狀相同,大小不一定相等的兩個(gè)三角形之間的邊、角關(guān)系其應(yīng)用非常廣泛，涉及到多種題型，可用來(lái)計(jì)算線段、角的大小，也可用來(lái)證明線段、角之間的關(guān)系，還可以證明直線之間的位置關(guān)系其中，三角形全等是三角形相似的特殊情況例3如圖所示，ad、cf是abc的兩條高線，在ab上取一點(diǎn)p,使apad，再?gòu)膒點(diǎn)引bc的平行線與ac交于點(diǎn)q.求證:pqcf.

13、證明ad、cf是abc的兩條高線，adbbfc90。又bb，abdcbf。又pqbc，apqabc.。.又apad，cfpq。例4四邊形abcd中，abcd，ce平分bcd，cead于點(diǎn)e，de2ae，若ced的面積為1，求四邊形abce的面積解如圖，延長(zhǎng)cb、da交于點(diǎn)f，又ce平分bcd，cead.fcd為等腰三角形，e為fd的中點(diǎn)sfcdfdce2edce2sced2，efed2ae。faaefd。又abcd，fbafcd。（）2()2。sfbasfcd。s四邊形abcesfcdscedsfba21。射影定理射影定理揭示了直角三角形中兩直角邊在斜邊上的射影，斜邊及兩直角邊之間的比例關(guān)系,

14、此定理常作為計(jì)算與證明的依據(jù)，在運(yùn)用射影定理時(shí)，要特別注意弄清射影與直角邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分清比例中項(xiàng)，否則在做題中極易出錯(cuò)例5如圖，在abc中，acb90，cdab于d,deac于e，efab于f。求證：ce2bddf。證明acb90，deac，debc。.同理：cdef,。acb90，cdab，ac2adab。ce2bddf.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p41（時(shí)間：90分鐘，滿分：120分)一、選擇題（本大題共10小題,每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1如圖，已知aabbcc，abbc13，那么下列等式成立的是(）aab2abb3abbccbcbc dabab解析：

15、aabbcc，.3abbc。答案:b2.如圖，acb90。cdab于d，ad3、cd2，則acbc的值是（)a32 b94c。 d.解析：rtacdrtcbd，。答案：a3在rtabc中，cd為斜邊ab上的高，若bd3 cm,ac2 cm，則cd和bc的長(zhǎng)分別為()a. cm和3 cmb1 cm和 cmc1 cm和3 cmd. cm和2 cm解析：設(shè)adx，則由射影定理得x(x3）4，即x1(負(fù)值舍去），則cd(cm),bc2（cm）答案：d4如圖，在abc中，bac90,ad是斜邊bc上的高，de是acd的高，且ac5，cd2，則de的值為(）a。 b。c。 d.解析:ac2cdbc，即52

16、2bc，bc.ab 。，de。答案:a5如圖所示，給出下列條件：bacd；adcacb；;ac2adab.其中單獨(dú)能夠判定abcacd的個(gè)數(shù)為()a1 b2c3 d4解析:由bacd，再加上公共角aa,可得兩個(gè)三角形相似；由adcacb，再加上公共角aa,可得兩個(gè)三角形相似；，而夾角不一定相等，所以兩個(gè)三角形不一定相似;ac2adab可得,再加上公共角aa，可得兩個(gè)三角形相似答案：c6.如圖,debc，sades四邊形dbce18，則addb的值為()a14 b13c12 d15解析:由sades四邊形dbce18得sadesabc19.debc，adeabc.(）2.，。答案：c7abc和d

17、ef滿足下列條件，其中不一定使abc與def相似的是（）aad4538，c2622,e108bab1，ac1。5，bc2，de12，ef8,df16cbca，acb，abc，de,ef,dfdabac，dedf,ad40解析：a中ad，be108，abcdef；b中abacbcefdedf234；abcefd;d中，ad，abcdef；而c中不能保證三邊對(duì)應(yīng)成比例答案：c8在rtacb中,c90。cdab于d.若bdad14，則tanbcd的值是（)a. b。c。 d2解析:由射影定理得cd2adbd，又bdad14。令bdx,則ad4x（x0），cd24x2，cd2x，tanbcd.答案：c

18、9.在abcd中，e為cd上一點(diǎn)，dece23,連接ae、be、bd且ae、bd交于點(diǎn)f，則sdefsebfsabf(）a41025 b4925c235 d2525解析：abcd,abfedf。(）2.又def和bef等高。答案:a10如圖，已知ab，3。則aeec（）a.b。c。 d。解析：ab，。3,bc3cd,bd4cd.又，。.。.答案：a二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分把答案填寫在題中的橫線上）11如圖,d，e分別是abc邊ab,ac上的點(diǎn),且debc,bd2ad，那么ade的周長(zhǎng)abc的周長(zhǎng)等于_解析:debc，adeabc.bd2ad，ab3ad.答案：12如

19、圖，在abc中，debc，dfac，aeac35,de6，則bf_。解析：debc，bcde610,又dfac,defc6。bfbcfc4.答案:413如圖,在abc中，debc，be與cd相交于點(diǎn)o，直線ao與de、bc分別交于n、m,若dnmc14，則nebm_，aeec_.解析:，。又，.aeec13.答案：141314陽(yáng)光通過(guò)窗口照到室內(nèi),在地面上留下2.7 m寬的亮區(qū)(如圖所示）,已知亮區(qū)一邊到窗下的墻角距離ce8。7 m，窗口高ab1。8 m，那么窗口底邊離地面的高bc等于_m。解析：bdae,.bc.ab1.8 m，de2。7 m,ce8。7 m，cdcede8。72。76(m）

20、bc4(m)答案：4三、解答題(本大題共4個(gè)小題，滿分50分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15（本小題滿分12分）如圖,abc中，bc的中點(diǎn)為d，adb和adc的平分線分別交ab、ac于點(diǎn)m、n.求證：mnbc。證明:md平分adb，.nd平分adc,。bddc，.mnbc。16（本小題滿分12分）如圖,已知：abc中，abac，ad是中線，p是ad上一點(diǎn)，過(guò)c作cfab，延長(zhǎng)bp交ac于e，交cf于f，求證：bp2pepf。證明:連接pc，abac，ad是中線,ad是abc的對(duì)稱軸,故pcpb,pceabp。cfab，pfcabp，故pcepfc,cpefpc，epccpf，故，即pc2pepf，bp2pepf。17（本小題滿分12