2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第五章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算教學(xué)案 選修2-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 復(fù)數(shù)的加法與減法已知復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi(a,b，c，dr）問題1：多項(xiàng)式的加減實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng)，類比想一想復(fù)數(shù)如何加減？提示：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加（減）就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減),即（abi）(cdi)（ac）(bd）i.問題2：類比向量的加法，復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律嗎？提示：滿足1加(減）法法則設(shè)abi與cdi（a，b,c，dr)是任意復(fù)數(shù)，則(abi）（cdi)（ac）(bd）i.2運(yùn)算律對任意的z1，z2，z3c，有z1z2z2z1(交換律)(z1z2）z3z1（z2z3)(結(jié)合律)。復(fù)數(shù)的乘法問題1：復(fù)數(shù)的加減法類似多

2、項(xiàng)式加減,試想：復(fù)數(shù)相乘是否類似兩多項(xiàng)式相乘?提示：是問題2：復(fù)數(shù)的乘法是否滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對加法的分配律？提示：滿足問題3:試舉例驗(yàn)證復(fù)數(shù)乘法的交換律提示：若z1abi，z2cdi（a，b,c，dr)z1z2(abi）（cdi）（acbd）（bcad)i,z2z1(cdi)（abi)(acbd)(bcad）i。故z1z2z2z1。復(fù)數(shù)的乘法（1)定義：(abi)（cdi)（acbd)（adbc）i。(2）運(yùn)算律：對任意z1，z2，z3c,有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2）z3z1（z2z3）乘法對加法的分配律z1(z2z3）z1z2z1z3復(fù)數(shù)的乘方：任意復(fù)數(shù)z，z1，z

3、2和正整數(shù)m，n，有zmznzmn，(zm）nzmn，(z1z2)nzz.共 軛 復(fù) 數(shù)觀察下列三組復(fù)數(shù)：（1）z12i；z22i；（2）z134i；z234i;(3)z14i；z24i。問題1:每組復(fù)數(shù)中的z1與z2有什么關(guān)系?提示：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)問題2：試計(jì)算每組中的z1z2,你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？提示：z1與z2的積等于z1的實(shí)部與虛部的平方和共軛復(fù)數(shù)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這樣的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用來表示，也就是當(dāng)zabi時(shí)，abi.于是za2b2|z|2。復(fù)數(shù)的除法我們知道實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，類似地，復(fù)數(shù)的除法也是復(fù)數(shù)乘法的逆運(yùn)算,給出兩

4、個(gè)復(fù)數(shù)abi，cdi（cdi0）若（cdi）(xyi)abi，則xyi叫做復(fù)數(shù)abi除以cdi的商問題1：根據(jù)乘法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)相等的概念，請用a，b,c，d表示出x，y.提示：由(cdi）(xyi）abi得xcyd(xdyc)iabi.即問題2：運(yùn)用上述方法求兩個(gè)復(fù)數(shù)的商非常繁瑣，有更簡便的方法求兩個(gè)復(fù)數(shù)的商嗎？提示：可以用分母的共軛復(fù)數(shù)同乘分子與分母后,再進(jìn)行運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法法則設(shè)z1abi，z2cdi（cdi0)，則i(cdi0)1復(fù)數(shù)的加法、減法和乘法與多項(xiàng)式的加法、減法和乘法相類似，但應(yīng)注意在乘法中必須把i2換成1,再把實(shí)部、虛部分別合并2復(fù)數(shù)的除法和實(shí)數(shù)的除法有所不同，實(shí)數(shù)的除法可以

5、直接約分、化簡得出結(jié)果；而復(fù)數(shù)的除法是先將兩復(fù)數(shù)的商寫成分式，然后分母實(shí)數(shù)化(分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)） 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算例1計(jì)算:(1)(12i)（34i)（56i);(2)5i（34i)(13i）;（3)(abi)(2a3bi）3i（a，br）思路點(diǎn)撥利用復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的法則計(jì)算精解詳析(1)（12i）（34i）（56i)(42i)（56i）18i。(2)5i（34i）（13i)5i(4i)44i.(3)（abi）（2a3bi）3i（a2a）b(3b)3ia(4b3）i。一點(diǎn)通復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的方法技巧：（1)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加、減，虛部與虛部相加、減；(2)把i看作一個(gè)字母，類比多項(xiàng)式加

6、、減中的合并同類項(xiàng)1計(jì)算（1i)（2i)(32i）解：（1i）（2i）(32i）1（）i（32i）4(2)i。2若（310i)y(2i)x19i，求實(shí)數(shù)x，y的值解:原式化為3y10yi(2xxi)19i.即(3y2x)(x10y）i19i。復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例2計(jì)算:(1)（1i)(1i)(1i)；（2）(2i)（15i)(34i）2i；(3）（23i）(12i）i5；(4)2.思路點(diǎn)撥按照復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算精解詳析(1）（1i）（1i)(1i)1i2（1i）21i1i.(2）（2i)（15i）（34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)（34i)2i（311i）

7、(34i）2i(912i33i44i2）2i5321i2i5323i.（3）原式i5(i2）2iii。(4)21817.一點(diǎn)通（1)復(fù)數(shù)的乘法可以把i看作字母，按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行，注意把i2化成1，進(jìn)行最后結(jié)果的化簡；復(fù)數(shù)的除法先寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，并進(jìn)行化簡(2)im(mn）具有周期性，且最小正周期為4，則i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nn）；i4ni4n1i4n2i4n30（nn）3(新課標(biāo)全國卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i）z2i，則z（）a1ib。1ic。1i d.1i解析：z1i，故選a. 答案：a4（新課標(biāo)全國卷）若復(fù)數(shù)z滿足 (34i)

8、z|43i，則z的虛部為()a4 b。c。4d.解析：因?yàn)?3i| 5，所以已知等式為（34i）z5，即zi，所以復(fù)數(shù)z的虛部為，選擇d.答案：d5計(jì)算：(1）（4i5）（62i7）（7i11)(43i);(2)。解:(1)(4i5)（62i7)（7i11）(43i)（4i)（62i)(7i）(43i)248i6i22821i4i34739i。（2)(1i)4ii（1i)22i(2i）24i.共 軛 復(fù) 數(shù)例3已知zc，為z的共軛復(fù)數(shù)，若z3i13i，求z。精解詳析設(shè)zabi（a，br），則abi(a，br)，由題意得（abi)（abi）3i(abi）13i，即a2b23b3ai13i，則有解

9、得或所以z1或z13i。一點(diǎn)通已知關(guān)于z和的方程，求z的問題,解題的常規(guī)思路為設(shè)zabi（a，br）,則abi,代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程組求解6.（四川高考）如圖,在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)a表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()aabbccdd解析:因?yàn)閤yi的共軛復(fù)數(shù)是xyi，故選b.答案：b7(新課標(biāo)全國卷)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是()a2i b2ic1i d.1i解析:z1i，所以1i。答案：d8已知復(fù)數(shù)z15i，z2i3，且12，求復(fù)數(shù)z。解：由已知得:15i，23i，12（5i）（3i)22i，zi.1復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)運(yùn)算順序一致，即先算平方,再算乘除,最后算加

10、減，同時(shí)要注重復(fù)數(shù)運(yùn)算中的獨(dú)特技巧，如:（1i)22i，i，i4n1,i4n1i,i4n21，i4n3i(nn)等,在解題中可使運(yùn)算簡化2解決共軛復(fù)數(shù)問題時(shí)，除用共軛復(fù)數(shù)定義解題外，也常用下列結(jié)論簡化解題過程zz|2|2；zrz；z0，z為純虛數(shù)z. 1（12i）（）a2ib22ic22i d.2解析：原式i22i。答案：b2已知a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，若的模為2，則a()a2 b。c. d。1解析：因?yàn)?ai,所以 2，又a0，故a。故選b.答案：b3計(jì)算：（)a0 b1ci d.2i解析:3ii2i.故選d.答案：d4(1i）20（1i）20的值是（)a1 024 b1 024c0 d.

11、512解析：(1i)20（1i)20（1i）210(1i)210(2i)10(2i)10(2i）10（2i）100。答案：c5(天津高考)已知a，br,i是虛數(shù)單位若（ai）（1i)bi，則abi_.解析:因?yàn)?ai)(1i）a1（a1）ibi，a，br，所以解得所以abi12i。答案:12i6若復(fù)數(shù)z滿足z（1z）i1，則zz2_。解析：由題得zizi10，則zi，所以zz2i21。答案：17計(jì)算：(1）(i)2（45i）；（2)。解：(1)(i)2(45i）2（1i）2（45i)4i(45i)2016i。（2）1i。8已知復(fù)數(shù)z滿足（z2）iai（ar）(1）求復(fù)數(shù)z；（2）a為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z2對